1、1高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 一、知识要点：1琴生不等式凸函数的定义：设连续函数 的定义域为 ，对于区间 内任意两点 ，都()fx,ab,ab12,x有 ，则称 为 上的下凸（凸）函数；1212()(xff()f反之，若有 ，则称 为 上的上凸（凹）函数。12fffx,琴生(Jensen)不等式（1905 年提出）：若 为 上的下凸（凸）函数，则()ab1212()(n nxxffxff （想象 边形的重心在图象的上方， 个点重合时“ 边形”的重心在图象上）琴生(Jensen) 不等式证明：1） 时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设 时命题成立，即nk12
2、12()()(k kxxffxfxf那么当 时，设 ，111kA211111 ()()()() (2kkkkk xxAfAf f 11111)()()()() 22kikki kkkxAfxfff所以 2(kffxA 所以 ，得证11 1()()k kf f 2加权平均琴生(Jensen) 不等式：若 为 上的下凸（凸）函数， 且 ， 则()fx,ab 1,0nii11()nniiii fx3曲线凸性的充分条件：设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数，（1）如果对任意 xI, ，则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的；0f（2）如果对任意 xI, ，则 y=f(x)在 I 内是上凸的。(
3、)4幂平均不等式： 若 ，且 ， ，则 ,0ix11()()nniix由幂平均不等式得3322abcabc2二、例题精析例 1设 ， ，0ix(1,2)n1ix求证： 1212 nnxx例 2已知 ， ，求证：,0abc1bc13abc例 3应用琴生(Jensen) 不等式证明幂平均不等式：若 ，且 ， ，则0,0ix11()()nniix例 4应用琴生(Jensen) 不等式证明赫尔德（ Holder）不等式：是 个正实数， ，,(1)iabin2,则 1212()()nnnabab三、精选习题1在圆内接 边形中，试证明正 边形的面积最大。n2设 是实数，则在 中，有mABCtanttan3
4、tABCmm3设 ，且 ，求证：0,ab1ab2215ab4已知函数 ， ，证明：()lngx0ab()2()0abgag35已知 ，且 ，求证：,0xyz1xyz322218()()(xyz6若 ，且 ，求证：0ix1210nx1210nxx7已知 ，且 。求证：,0xyz12xyz3641410yxz8已知 3x（1）当 时，有不等式 ；01t(1)(2)(3)ttttxx（2）当 时，有不等式 。9设 是 内一点，求证： 中至少有一个小于或等于 。PABC,PABCA3010设 ，且 ，证明：0ix(1,2)n12nxx1sininx四、拓展提高：411已知 ，且 ，求证：,0abc1a
5、bc3331166bcaabc高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式 例 1 【分析】 ，适合应用琴生不等式1nix【解答】设函数 ，则 ，()f32()1)xf311223 3(1)()() 044)xxf x 所以 在 上下凸，0, 1212( )nnxxn xx所以 1211nx又由算术平均不小于平方平均得 212nnxxx所以 12nn所以 1212 nnxxx 【思考】构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键。例 2 【分析】两边取自然对数，把积化为和【解答】 1 1ln(1)l()ln()ln22abcabc因为 在 上是上凸函数，且()fx(0,()1
6、ab由加权平均琴生不等式 1111()ln()ln()ln()(1)()22222abc c（ ）3c23abcab5所以 13abc【思考】 “两边取自然对数，把积化为和”是处理乘积问题的常用手段例 3 【分析】11 111()()()()nnnnnniiiiiiixxx构造 解题)f【解答】证明： 时， 为下凸函数，0()fx，1212()nnxx1 1122()()nnxxx用 代替 ，得证。当 和 时，有同样的结论。ii 【思考】 两边同形，把 看成 是关键。11()()nniixixi由幂平均不等式得3322abcabc例 4 【分析】变形： ，再变形122121()()nn121
7、12() ()1nn nabab 对第 项取自然对数，得 是加权平均琴生i 212llnab (Jensen)不等式的形式。【解答】证明：令 ， 上凸，112,nnABb()lfx，所以lnln()iiiiabaB()iiiiaabAB累加得 ，得证。111() 1nniiiiiAB推广： ，对 ，有0ija1,niik12 21()()()()n nn kk kkjjjjjj jjjaa 证明： 12 111 1llll()j j njnnn nj j nj j jj j j j jaak【思考】好方法是在有目的的变形之后想到的。1设圆半径为 ，内接正 边形的面积为 ，各边所对圆心角分别为
8、，rS2,n212(sinisin)S6函数 在区间 上是上凸函数， （因为 ）()sinfx0,()sin0fx所以 1212siinn故 12(sii)siSr r当 时，正 边形的面积最大，最大值为12n 21sinr2当 时， 在区间 上是下凸函数，m()taxfm0,（因为 ， ）2sin1()cocsfxx23sin()0coxmf所以 tanttan3t tanABCABCmm3 的图象是等轴双曲线 的上支，在区间 上是下凸函数，2()1fx21yxR所以 ，所以15()(fbf225b4 ，所以 在 上是下凸函数()ln,0gxgx)lngx(0,)所以 2()aab5令 ，则
9、211()xyz22211l()l()ln()xyz设 ，则 ，2)lnf34()xf63 34 21057)(57)( 0)(x 所以 在 上是下凸函数，于是，由琴生不等式得2)ln(f(,)232118l ln)3ln()l()gxyz38()6由 为上凸函数，有yx121210nnxxx所以 120n21212131()( )n nxx 12nx所以 n7故 12010nxx7令 ， ， ，()4f24()()xf324()1xabf其中， ， ，02x31a30b故可知 ， 是 上是上凸函数()f()f0,2由琴生不等式 36()414110yxzf8设 ，则 ，()tf2(),t t
10、fxftx（1）当 时， ， 在 上是上凸函数，02)t()tf(,)所以 （因为 ，所以等号不能取）2xff所以 ()1)()()fx递推得 ，23fffx从而有 ，故x(1)(2)(3)ttttxx（2）当 时， ， 在 上是下凸函数，t()0tft)f0,类似（1）可证 1)(t t9如图，引进 ，, ,sinisnisniPBACPBAC所以 sinsi设 ，则()lfx2co1(),()0sisixffx所以 在 时上是上凸函数，0,)2lnsisinlnni)lsi6lsi6所以 1sinsi8中必有一个其正弦值不大于 ，设 ，,21sin2当 时，命题成立，当 时，必有 ，命题也成立。30 503010由 ，得 ，所以ix(1,)n1(,)nxxsinix设 ，则 ， ，sn()l,f(lsilf20sif所以 在 时上是上凸函数，x0)8所以 即11()ninii xff1()niifxf所以 1()()1si sinii nnfxnfxe11因为 667abcbca，cb1667caabc11()()()8()()cabacb22222)633bac2()acc设 ，则它是上凸函数，由琴生不等式得3)ft123123()xfxxf333 3166(6)()1bcabcaa bc333311cc又 ，所以2abcab21ab所以32333366cab赠品9
