1、矢量与张量常用公式的证明 并矢的常用公式有 （ 1） ()()()ABABAB = + KKKK（ 2） ()( ) ( )ABABAB = KKKK设 S 为区域 的边界曲面， nK为 S 的法向单位矢量（由内指向外） ，有 （ 3） d( ) d ( )SSAB V AB=KK KK Kv（ 4） ddSSA V A= KK Kv（ 5） ddSSu V u=Kv（ 6） d() d ()SSAB V AB=KK KKKv（ 7） ddSSA V A=KK Kv设 L为曲面 S 的边界， L的方向与 S 的法线方向成右手螺旋关系，有 （ 8） ddLSlu S u=K Kv说明：以下的证明
2、都是在直角坐标系 下进行的，在直角坐标系下，kkex=K，keK为常矢量，可放在kx前或后。常把kx记为k ，所以kke=K。在证明过程中注意 ddiiSSe=KK， ddiille=KK，时刻不忘爱因斯坦求和约定。并且在证明过程中，经常利用公式ijijkkee e=KK K，ijk i j kA BABe=K KK，ijk i j kA Ae = KK， ()A BC KKKijk i j kABC= 等。 下面是证明过程： （ 1） ()( )( ) ( )kk iijj k ijk ijABe AeBe ABee = = K KKKK KKK() ()kijkij kkjjABe ABe
3、= =KKj kk k k j j jjkk k kj jB AABeBeAA Be =+ = + K KK()( )( )()()()jj k k k k jjB eAABeBAAB=+ =+K KKK()()A BA B= + KK（ 2） ()( )( ) ( )kk iijj k ijk ijABe AeBe ABee = = K KKKK KKKikj jki kippjA BBA ee=+KK（ki kippee e =K KK） kip i k j p j j kip k i p jA Bee B Aee = +KK KK( )()( )()ikpi kp jj kip kip
4、jjA eBe AeBe = + KK KK（ijk i j kA BABe=K KK，ijk i j kA Ae = KK） ( )()()()A BABABAB= + = KKKKKKKK在后面的几个公式的中，要利用 Gauss 公式 ddSA SAV= K KKv， Gauss 公式也可以写成 ddSSA V A= KK Kv，或者 ddii iiSSA V A= v。 （ 3） d()d( )iiVAB VABe = KKKKd() d()ii iiSVABe SABe= =KKKv（把iABK看成 Gauss 公式中的 AK） d( ) d( )iiSSSABe SAB= =KK K
5、KKKvv（ 4） 首先证明公式： ddiSiff SVx=v， （面元 ddiiSSe=KK） 1123d(00)dSSf SfeeeS=+KKKKvv1231(00)d dff eeeV Vx= + + =KKK同样地，有22ddSff SVx=v和33ddSff SVx=v三式可以合写成： dddiiSiff SVfVx= v由上面的公式，得 ddijk i j kSSSA SAe=KKKvvdijk k i jSeSA=Kv（ 利用公式ijk i j kA BABe=K KK） dijk k i jeVA=K（ 利用公式 ddiiSf SfV= v，把jA 看成 f ） dijk i
6、j kVAe=KdVA=K（ 利用公式ijk i j kA Ae = KK） （ 5） ( )dd dii i iSS SSu u Se u S e= KKKvv v( )diiuVe=K（ 利用公式 ddiiSf SfV= v） ddiiVe u V u=K（ 6） d()(d )ijki jkSSSAB SABeee= KKKKKKvvd( )ijki jkVABeee= KKK（ 利用公式 ddiiSf SfV= v，把j kA B 看成 f ） d( )( )ii jjkkVe AeBe=KKKd()VAB=K K（ 7） ( )dd d diijj jiij jiijSS S SSA
7、 SeAe ASee ASee= KKKK KK KKvv v v( )dij ijVAee=KK（ 利用公式 ddiiSf SfV= v，把jA 看成 f ） d( )( ) dii j jVeAe VA= =KKK（ 8） 由公式 ()ijk i j kA BC ABC=KKK， Stokes 公式 d()dLSA lAS = KK KKv可以写成 ddii ijkij kLSA lAS=v令12300A ue e e=+KKKK，由 Stokes 公式得 11ddik i kLSul uS=v同理，还有22ddik i kLSul uS=v，33ddik i kLSul uS= v上面三
8、式合写成 ddj ijk i kLSul uS=v，由此式有 ( )dd dj jjjLL Llu u le u l e= KKKvv vddijk i k j ijk i k jSSuS e uSe= = KKddijk i k j kij k i jSSuSe S ue= = KK（ijk kij = ） dijk i j kSSue=K（ 为了更清楚，哑标变换 ,kiijjk ） diji jSSuee=KK（ijijkkee e=KK K） (d ) ( ) dii j jSSSe ue S u=KKK我们可以把 Gauss 公式 ddSA SAV=KK Kv改写成 ddSSA V A= KK Kv由上面的 Gauss 公式可以看到，如果我们分别把点乘改成叉乘和外积，则得公式（ 4）和（ 7） ddSSA V A= KK KvddSSA V A=KK Kv如果把 Gauss 公式中的一阶张量 AK，分别改成零阶张量、二阶张量，则得公式（ 5）和（ 3） ddSSu V u=Kvd( ) d ( )SSAB V AB=KK KKKv把公式 ddSSA V A= KK Kv中的一阶张量 AK，改成二阶张量，则得公式（ 6） d() d ()SSAB V AB=KK KKKv
