1、第三章 概率3.3.1 几何概型,1、古典概型的两个基本特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.,2、计算古典概型的公式：,那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?,一、复习回顾.,问题：猜中的概率是多少？这是什么概型问题？,取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？,二、问题情境1.,分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是3m绳子上的任意一点，并且每一点被剪的可能性相等。,下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走
2、去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？,卧 室,书 房,问题情境2.,解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则,有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,问题情境3,分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.,几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.,三、
3、基本概念,几何概型概率计算公式:,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于1m.,取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？,记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.,古典概型,几何概型,共同点,不同点,基本事件个数的有限性,基本事件发生的等可能性,基本事件发生的等可能性,基本事件个数的无限性,知识串联：两种概型 概率公式的联系,例1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开 收音机想听电台整点报时，求他等待 的时 间不多于10分钟的概率.,分析：因为电台每隔1小时报时一次，他在060之间任何一个时刻打开收音机是等
4、可能的，但060之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。,四、例题讲解,则事件A发生恰好是打开收音机的时刻位于50，60时间段内，因此由几何概型的求概率公式得,例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为
5、什么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）,分析：,不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.,试验的基本事件是:,金币的中心投在由若干个小正方形组成的阶砖面里.,设事件A=金币不与小正方形边相碰,=金币的中心要投在绿色小正方形内,参加者获奖的概率为:,解：,由几何概型的定义知：,解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.,练习,8/15,某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？,解：记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘
6、客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生.所以,练习2,答：候车时间大于10 分钟的概率是,分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:,3.欧阳修卖油翁中写道：“乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是 (假设油滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）,练习,4、射箭比
7、赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?,练习,： 5、一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率是,练 习,解析；如果离四个顶点距离都大于3，那么蚂蚁所处的位置应该四个四分之一圆之外，圆的圆心为4个顶点，半径都是3，,A,B,C,D,1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型。2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目,几何概型的概率公式. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。,五、课堂小结,
