1、1,第二章 数学基础（3学时）,一. 基本要求与基本知识点（1）掌握数论的有关基本定义、Euclid算法、同余概念及二次剩余概念；（2）掌握熵和互信息的概念；（3）了解三个NP-完全问题。二. 教学重点与难点（1）数论的有关基本定义和定理；（2）信息论的有关定义和定理。数论、信息论和算法复杂性理论是近代密码学的理论基础，本章给出简单介绍。,2,2.1数论基础,2.1.1 引言约定：字母N表示全体自然数集合，Z表示全体整数集合，即 N=0，1，2， Z=，-2，-1，0，1，2，定义2.1.1 如果存在一个整数k Z，使得n=kd，则称d整除n，记作d|n，其中d称作n的因数（Divisors）
2、，n称作d的倍数。如果不存在这样一个整数k Z使得n=kd，则称d不整除n，记作d+n。（1）若a、b、c均为整数，若c|a且c|b，则称c是a和b的公因数。把a和b的所有公因数中最大的，称为a和b的最大公因数（Greatest Common Divisors），记作gcd(a,b)。（2）若a、b、c均为整数，若a|c且b|c，则称c是a和b的公倍数。把a和b的所有公倍数中最小的，称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a,b)。 例如：gcd(12，60)=12， lcm(15，20，30)=60,3,2.1数论基础,定义2.1.2 整数p(1)称为素数（Prime Number），如果除1和
3、其本身除外，p没有任何其它因数。不是素数的整数称为合数。 例如： 7=17，7没有1和7以外的因数，因此7是素数； 6=23，6有因数2和3，因此6是合数。 从此定义可知，正整数集合可分为三类：素数、合数和1。定理2.1.1 （算术基本定理）任何一个正整数m，都存在唯一的因数分解形式： m=p1e1p2e2pnen 其中ei N，pi是素数且p1p20，则存在两个整数q、r使得：a=bq+r 0rb成立，其中q和r唯一确定。定理2.1.3 设a、b N，则存在两个整数v、u，使得：ua+bv= gcd(a,b)定理2.1.4（Eulid算法）又称辗转除法，由定理2.1.2，得以下等式：a=bq
4、1+r1 0r1bb=r1q2+r2 0r2r1r1=r2q3+r3 0r3r2rn-2=rn-1qn+rn 0rnrn-1rn-1=rnqn+1+rn+1 rn+1=0则有：gcd(a,b)= rn,6,2.1数论基础,重复使用带余数除法（即每次的余数为除数去除上一次的除数）。每进行一次带余数除法，余数会递减，而b是有限的，因此经过一定次数的带余数除法，余数变为0。最后一个不为0的余数rn就是a和b的最大公因数。例：求gcd (1970，1066)=？【解】 用欧几里德算法的计算过程如下：197011066+90410661904+1629045162+94162=194+6894168+2
5、668226+1626116+1016110+61016+46=14+2422+0因此gcd (1970，1066) = 2,7,2.1数论基础,进行回代：2=6-14=6-1(10-16)=6-10+16=26-10=2(16-110)-10=216-210-10=216-310=216-3(26-116)=216-326+316=516-326=5(68-226)-326=568-1026-326=568-1326=568-13(94-168)=568-1394+1368=1868-1394=18(162-194)-1394=18162-1894-1394=18162-3194=18162
6、-31(904-5162)=18162-31904+155162=173162-31904=173(1066-1904)-31904=1731066-173904-31904=1731066-204904=1731066-204(1970-11066)=1731066-2041970+2041066=3771066-2041970故：2=3771066-2041970与定理2.1.3中ua+bv= gcd(a,b)相对应，a=1970，b=1066， u =-204 ，v=377由此可见，gcd(a,b)可以以线性形式ua+bv表达。,8,2.1数论基础,2.1.3 同余定义2.1.3 设a、
7、b是两个整数，m是一个正整数，如果m|b-a，即b-a=km，则称a与b对模m同余（Congruence），记作a b(mod m)。（ 即a和b对m具有相同的余数。令a=k1m+r b=k2m+r b-a=k1m+r-(k2m+r)=(k1-k2)m=km )定理2.1.5 同余性质设a、b、c是整数，m是正整数，则有：（1）自反的，即a a(mod m)；（2）对称的，即若a b(mod m) ，则b a (mod m)；（3）传递的，即若a b(mod m)，b c(mod m)，则a c(mod m)；,9,2.1数论基础, 我们用a (mod m)表示a被m除的余数，即r=a(mod
8、 m)，则有： a(mod m)= b(mod m)，表示为a b(mod m) 如果用a (mod m)代替a，就说a被模m约简。下面以约简的概念来定义模m的算术运算：Zm是一个集合0，1，m-1，其上有两种运算+和。在Zm的+和如同实数的加法和乘法，但要将结果被模m约简。例：在Z16上做算术运算1113实数运算1113=143 =816+15，被模16约简后结果为15，因此在Z16上，1113=15。定义2.1.4 如果对两个整数a和b有gcd(a,b)=1，则称a与b互素。1与任何整数互素。定义2.1.5 Euler（欧拉）函数是定义在正整数上的函数，它在正整数m的值等于1，2，.，i，
9、.，m-1中与m互素的数的个数记作(m)。例如m=6，1，2，3，4，5中与m互素的数为1，5，则有： (m)= (6)=2,10,2.1数论基础,定理2.1.6 设正整数m的标准分解形式为： m=p1e1p2e2pnen则 (m)= m(1-1/p1) (1-1/p2) (1-1/pn)例如m=6， 其标准分解形式为6=2131因此，(m)= (6)=6(1-1/2) (1-1/3)=2。定理2.1.7 Euler（欧拉）定理 若整数a和m互素，则 a(m) 1 (mod m)例如a=3，m=10由定理2.1.6，10=2151， 因此， (m)= (10)=10(1-1/2) (1-1/5
10、)=4代入定理2.1.7公式中有： a(m)=34=81 1 (mod 10) 1 (mod m),11,2.1数论基础,2.1.4 中国剩余定理设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0，an0， ai N(i=1,2,n)，若m是一个正整数，则 f(x) 0 (mod m) (1)称作为模m的同余式，n称为同余式的次数，n=1时称为一次同余式，n=2时称为二次同余式。若a是使f(a) 0 (mod m)成立的一个整数，则a叫做同余式（1）的解。事实上，满足x a (mod m)的所有整数都使同余式（1）成立，因此同余式（1）的解通常写成x a (mod m)。,12,2.1数论基
11、础,定理2.1.7（中国剩余定理）设m1,m2,mk是k个两两互素的正整数，m=m1m2mk，Mi=m/mi，i=1,2,k，则同余方程组：x b1(mod m1)，x b2(mod m2)，x bk(mod mk)有解：X M1M1b1+M2M2b2+MkMkbk(mod m)其中MiMi 1(mod mi)，i=1,2,k。中国剩余定理是数论中最有用的定理之一，定理说明了某一范围的整数可通过它对两两互素的整数（如mi）取模所得余数来重构。例如Z10（共10个数，0，1，9）中的每个数，可通过它们对2和5（10的素因子，即10=2x5）取模所得的两个余数来重构。假设已知十进制数x的余数为0和
12、3，即 x (mod 2)=0且x (mod 5)=3，则可得到x是Z10中的偶数，且被5除后余数是3，因此8是满足这一关系的唯一x。,13,2.1数论基础,【例1】求解 x 1(mod2) x 2(mod3) x 3(mod5)【解】由已知条件： b1=1，b2=2，b3 =3，m1=2，m2=3，m3 =5依中国剩余定理： m=m1m2m3=235=30 M1=m/m1=30/2=15， M2=m/m2=30/3=10， M3=m/m3=30/5=6 且有： 即： M1M1 1(mod m1) 15M1 1(mod 2)- M2M2 1(mod m2) 10M2 1(mod 3)- M3M
13、3 1(mod m3) 6M3 1(mod 5)-,14,2.1数论基础,由、可得M1=1，M2=1，M3=1，将以上参数代入X M1M1b1+M2M2b2+MkMkbk(mod m) 1151+1102+163(mod 30) 53(mod 30)23(mod 30) #,15,2.1数论基础,【例2】求解 x 0(mod 2) x 0(mod 3) x 1(mod 5) x 6(mod 7)【解】由已知条件： b1=0，b2=0，b3 =1， b4 =6 m1=2，m2=3，m3 =5， m4=7 依中国剩余定理： m=m1m2m3m4=2357=210 M1=m/m1=210/2=105
14、， M2=m/m2=210/3=70， M3=m/m3=210/5=42， M4=m/m4=210/7=30 且有： 即： M1M1 1(mod m1) 105M1 1(mod 2)- M2M2 1(mod m2) 70M2 1(mod 3)- M3M3 1(mod m3) 42M3 1(mod 5)-M4M4 1(mod m4) 30M4 1(mod 7)-由、可得M1=1，M2=1。,16,2.1数论基础,下面求解M3=？，M4=？首先分析如下：由于M3=m/m3，所以M3与m3互素，即42与5互素，于是 gcd（42，5）=1依据定理2.1.3，存在两个整数M3和v，使得 gcd（42，
15、5）= 1 =42M3+5v两边同时对模5做求余运算，即可得： 42M3 1(mod 5)（同式）由以上分析可知，必须求出gcd（42，5）的线性表达式42M3+5v，即可得到M3。根据Eulid算法，此处a=42，b=5 42=58+2 5=22+1因此 gcd（42，5）=1,17,2.1数论基础,进行回代： 1=5-22=5-2(42-58)=5-242 =5-242+165=175-242即线性表达式为: 1=175-242两边同时对模5做求余运算，得: (-2)42 1(mod 5) (5-2)42 1(mod 5) 342 1(mod 5)与对照，可知M3=3同理由30M4 1(m
16、od 7)，可得M4=4将以上参数代入x M1M1b1+M2M2b2+MkMkbk(mod m) 11050+1700+3421+4306 (mod 210) 846(mod210) 6(mod 210) #,18,2.1数论基础,1.1.5二次剩余考虑以下同余式x2 1(mod 5)，x2 2(mod 5)，x2 3(mod 5)，x2 4(mod 5)不难发现：x=1，x=4满足x2 1(mod 5) x=2，x=3满足x2 4(mod 5)不存在整数x，满足x2 2(mod 5)和x2 3(mod 5)于是我们说1，4是模5的二次剩余，而2，5是模5的二次非剩余。定义2.1.6设gcd(
17、a, p)=1，即a和p互素。若同余式x2 a(mod p)有解，则称a为模p的二次剩余，否则称a为模p的二次非剩余。 定理2.1.9 若gcd(a, p)=1，则a是模p的二次剩余的充要条件为：ap-1/2 1 (mod p)a是模p的二次非剩余的充要条件为： ap-1/2 -1 (mod p),19,2.1数论基础,定义2.1.7 legendre符号( )是一个对于给定素数p定义在一切整数a上的函数，其值规定如下：例如，( )=( )=1，( )=( )=-1，( )=0。,20,2.2信息论基础,2.2.1熵的概念随机事件：指事件发生的结果是随机的、不确定的。随机变量：取值为某随机事件
18、发生的任一可能结果。概率分布：反映随机变量取随机事件可能结果的分布情况。熵：反映随机变量的不确定性。熵是信息的数学测度或不确定性，它是以概率分布的一个函数来进行计算的。假设x为一随机变量，它根据概率分布P(x)在一个有限集合上取值，我们用熵表示随机变量x的不确定性，记为H(x)。 “不确定性”与“信息量”有着密切关系。如某事件发生的结果只有一种可能，则说明该事件是确定的。若事件发生的结果有k种可能，则事件是不确定的，且随着k的增加，不确定性增大，所包含的信息量越多。即随机变量x的可能取值越大（k越大），随机变量的不确定性越大，所含信息量就越大。,21,2.2信息论基础,定义2.2.1 离散随机
19、变量x的熵H(x)定义为： H(x)=- 其中p(x)表示随机变量x的概率分布。例如，随机变量x取0，1两个值（及随机事件可发生两种结果），其中P(x=0)= P(x=1)=1/2，则 H(x)=- P(x=0)log2 P(x=0)- P(x=1)log2 P(x=1)=1/2*(-1)-1/2*(-1)=1当k=1（确定事件）时，H(x)=0；定义2.2.2 两个离散随机变量(x,y)的联合熵H(x)定义为：H(xy)=-其中p(xy)表示随机变量(x,y)的联合概率分布。定义2.2.3两个离散随机变量(x,y)的条件熵H(x)定义为：H(x|y)=-其中p(xy)表示随机变量(x,y)的
20、联合概率分布，p(x|y)表示随机变量(x,y)的条件概率分布。定理2.2.1 离散随机变量x的熵H(x)定义为： H(xy)= H(x)+ H(y|x),22,2.2信息论基础,2.2.2互信息互信息是一个事件包含另一个事件的信息的度量，或者是已知另外一事件（称作B）的情况下，事件（称作A）不确定性的减少。定义2.2.4两个离散随机变量x和y，它们具有概率分布p(x)和p(y)及联合概率p(xy)，则互信息定义为：I(x;y)= 如果随机变量x和y统计独立， p(xy)=p(x)p(y) ，则I(x;y)=0 ， 即y不含x的任何信息。定理2.2.2互信息具有对称性，即 I(x ; y) =
21、H(x)-H(x|y) = H(y)-H(y|x) = I(y ; x),23,2.3计算复杂性简介,1、计算复杂性从理论上讨论什么样的问题可由计算机来完成，理论上可计算的问题实际上是否可行等，均属于计算复杂性理论研究范畴。计算复杂性表示解决问题的算法所需要的时间与空间资源的多少。通常算法按其时间和空间的复杂性进行分类。如问题的输入规模为n，复杂性为O(nt)(t为常数)，则算法是“多项式的”； 复杂性为O(tf(n) (t为常数)，则算法是“指数的”。计算复杂性理论给出了求解一个问题的计算是“容易”还是“困难”的确切定义，这有助于确定一个密码算法的安全强度。2、问题分类计算复杂性理论按照解决
22、问题的算法对问题进行分类。能够用多项式时间算法解决的问题称之为易解的；不能在多项式时间内解决的问题称之为难解的。定义2.3.1 P类问题：在多项式时间内可以完成的问题；NP类问题：在多项式时间内可以验证的问题；在NP类问题中，有一类问题称为NP完全类问题，所有NP类问题都可以转换为NP完全类问题。因此NP完全类问题只要有一个问题有多项式求解算法，则整个NP类问题都属于P类问题（即可在多项式时间内完成）。,24,2.3计算复杂性简介,由于NP完全类问题目前不存在有效的算法，若想破译一密码相当于解决一个NP完全类问题，显然该密码是计算安全的。因此说NP完全类问题是密码学的基础之一。3、三个NP完全
23、类问题：（1）整数分解问题求两个大素数的乘积是容易进行的，但要分解两个大素数的乘积N=pq，求出它的素因子p和q则是非常困难的。但如果给定素因子p和q，则可很容易验证N=pq是否成立。（2）背包问题将背包问题抽象为数学模型：设长度为n的向量A=(a1,a2,an)，任意给定一个正整数k，寻找有没有一些ai的和恰好等于k，即求方程 的解向量x=(x1,x2,xn)，其中xi=0或xi=1。 当n较大时，很难求得解向量。但如果给定向量x=(x1,x2,xn)，那么可以很容易验证它是否为背包问题的解。,25,2.3计算复杂性简介,（3）离散对数问题设x，r，n是正整数。已知x，r和n，可以很快地求出： y xr(mod n)反过来，如果已知y，x和n，求r使得： y xr(mod n)成立，此即离散对数问题。 当y，x和n较大时，求r非常困难。但如果给定一个整数r，那么可以很容易验证它是否为 y xr(mod n) 的解。,26,2.4本章总结,（1）数论的有关基本定义（2）Euclid算法（3）同余概念（4）二次剩余概念（5）熵和互信息的概念（6）三个NP-完全类问题,27,第二章完,
