1、妙用“ ”的性质 ,巧解复数问题翁华木(武汉市黄陂一中 ,湖北 430300)我们知道 , 1 的立方根是 1 , , 2 , 其中 =- 12 + 32 i , 2 = - 12 - 32 i. 有以下几条常用的性质 :1) 3 = 1 , 3 = 1 ;2) = 1 ;3) 2 = , 2 = ;4) 1 + + 2 = 0 ,1 + + 2 = 0.借用“ ”的性质 ,可简化有关的计算步骤 ,降低思维难度 ,巧解有关的复数问题 .1 简化计算过程例 1 计算 3 + i26- 3 - i26+ ( 3 + i)50(1 - i) 100 .解 3 + i2 = - 1 + 3 i2 i
2、= i ,3 - i2 = - 1 - 3 i2 i = - 2i , 3 + i =2i ,原式 = i6- - 2i6- (2 )50i50 ( - 2 i) 50= - 1 + 1 - 50 = - 2 = 12 + 32 i.点评 在复数的计算中 ,含有 3 i 的形式都可以转化成 或 2 ,从而借助 的性质简化计算 .例 2 已知 z = - 21 + 3 i , 求 1 + z + z2 + +z2001的值 .解 z = - 21 + 3i= 1- 12 - 32 i= 1 2 = , 1 + z + z2 + + z2001 = 1 - z20021 - z =1 - 2002
3、1 - = 1 - 1 - = 1.点评 的性质可作如下推广 : 1) 3 n = 1 , 3 n + 1 = , 3 n + 2 = 2 ;2) n + n + 1 + n + 2 = 0 , n + n + 1 + n + 2 = 0.2 降低思维难度例 3 是否存在正整数 m , n ,使等式 ( 3 + i) m= (1 + i) n 成立 ? 若成立 ,求出最小的正整数 m , n ;若不成立 ,试说明理由 .解 由 ( 3 + i) m = (1 + i) n 得 | 3 + i| m = | 1 +i| n ,即 2 m = 2 n , n = 2 m .将 n = 2 m 代入
4、题设等式 ,得( 3 + i) m = (1 + i) 2 m ,即 3 + i2 im= 1 ,由此可得1 - 3 i2m= 1 , ( - ) m = 1.由 的性质知 , m 的最小值是 6 ,此时 n 的最小值是 12.故存在最小的正整数 m = 6 , n = 12 ,使等式成立 .点评 机智地把题设条件转化成 = - 12 +32 i 的形式 ,简化了此类问题的求解过程 .例 4 已知 是实系数一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的一个虚根 ,且 3 R,求证 : a , b , c 三数成等比数列 .证 1) 当 c = 0 时 ,方程 ax2 + bx + c = 0
5、 无虚根 ;2) 当 b = 0 时 ,方程 ax2 + bx + c = 0 有虚根 ,但只能是纯虚根 ,从而 3 | R.故 a , b , c 均不为零 . 3 R, 可 设 = k 或 = k 2 = - 12 + 32 i ,其中 k R且 k 0.则方程的另一根为 ,由根与系数的关系 ,得ba = - ( + ) = - ( k + k2) = k , ca = = k2 ,于是 b2a2 =ca , b2 = ac.即 a , b , c 成等比数列 .点评 对于一个虚数 ,若 3 R,则可设 =k 或 = k 2 = - 12 + 32 i ,其中 k R,且 k 0.并注意到 k = k 2 , k 2 = k ,常能使问题得到简捷求解 .(收稿日期 :2002 - 01 - 18)01 数 学 通 讯 2002 年第 10 期 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
