1、国际大学生数学建模竞赛的(MCM)思想和理论,20110.1,主要内容,1. 国际大学生数学模型竞赛的目的(Aim)2. 国际大学生数学模型竞赛的思想(Thought)3. MCM竞赛的基本规范和思路(Schedule)4. MCM常用的数学方法和理论(M. Theory)5. 国际竞赛获奖案例剖析(N. Example)6. 优秀论文剖析(U. Example),1. 国际大学生数学模型竞赛的目的,国际大学生数学模型竞赛的目的就是大学生总体素质的培养目的，包括：(1) 不是简单的数学竞赛(Not only Math)；(2) 专业的背景，说明任何专业和方向都可以用数学的方法描述、求解(Mod
2、eling and resolve)，所有专业(All specialities)的高级研究都是数学问题(Theory)；(3) 任何人必须具备团队(Team)合作的精神。,2. 国际大学生数学模型竞赛的思想,First and Important:国际大学生数学模型竞赛的思想是以工程(Project)方法处理任何事物的思想。Second: 任何事物的处理都依靠一定程序和方法(尤其是数学方法)，养成良好习惯。Last: 工程(Project)的思想，系统(System)的概念。,3. MCM竞赛的基本规范和思路,专业背景(Speciality),数学描述(Read in M ),数学的分析(A
3、nalyses in M),建立基本模型(Basic modeling),求解与模型优化(Resolving and Opt),结论(Result and Answer),报告(Special Report),4. MCM常用的数学方法和理论,4.1 数学方法 数学的方法大致可以简单分成下面三类：(1) 数学，专门以研究数及其关系为目的的数学方法形成的诸多分支，例如数论。(2) 形学，专门以研究图形各项性能指标的数学方法及形成的诸多分支，如仿射几何学。(3) 方法学，在一系列求解问题的步骤中纯粹使用数学语言表述的过程，如人工智能。 实际应用中很多时候使用交叉数学方法，关键的是用数学方法表示、求
4、解、解的形式。,4. MCM常用的数学方法和理论,4.2 数学理论 数学是什么？ 我们把数学分成两个大的领域，一个是研究问题数学的表示方法，另外一个就是研究这些表示的求解方法。所以专业的数学分成了很细的研究方向供我们使用在不同的专业背景中。 那么在竞赛中我们需要关注那些比较有用的数学方法呢？下面就MCM竞赛中经常遇见的各个数学科目进行简单介绍。,组合数学 在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。 传统的四色问题 、中国邮差问题 、任务分配问题 、装箱问题 、野人传教士问题、管理调度问题 、金融分析、投资方案确定等。 在企业管理和生产过程中多数
5、问题都是与组合数学密切相关的，如货物的堆放与调度、项目的管理和人事管理等问题。,2 6 5 3 9 7 9,1 7 2 4 3 1 4,8 1 6 2,1 2,9 1,u0,v0,代数学 代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。 例：计算2k, 1, 2k-1, 2, 2k-2, 3, , k+1, k的反(逆)序数及其奇偶性。从前面
6、开始，2k-i都是反序的，只有自然数1，2，3是正序排列的，1前面1个大数，2前面2个大数，2k-1前面有1个大数，所以反序数 1+2+(k-1)+k +(k-1)+2+1=k2 , 排列奇偶性与k一致,微分方程 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻影响，计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程。一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常
7、数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。通常是求满足某种指定条件的特解。,例：例如研究人口数量的发展和变化，必须能够总结出其发展变化的规律，也可以说是找出人口发展模型的数学表达式但是我们认识到人口数量不仅与时间有关，同时与出生率和死亡率有关，否则不能正确地把握人口发展的动态因此综合考虑这些因素，这个表达式不是比例方程所能完全表达的而不得不建立一个用偏微分方程来描述的人口模型。其中 表示死亡率 表示生命常数。,数论 人类计数是从自然数开始的，关于所有整数计算关系和特性的研究就是数论。自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内
8、容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 按照研究方法来说，数论可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。 数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠。,拓扑学 其实拓扑(空间)的定义是一种非常抽象的概念，需要许多十分抽象的定义作基础。 拓扑学里只讨论拓扑等价，如几何圆、方、三角形的形状、大小不同，但拓扑变换下它们都是等价图形。在一个
9、球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。,例：我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。 德国数学家莫比乌斯1858年发现了莫比乌斯曲面(将长方形纸片的两条竖边反向粘贴可以做成此模型)，这种曲面就不能用不同颜色涂满两个侧面。,几何学 可以说人类数学的起源主要分成两个分支,代数学与几何学，他们与人类的一切活动有密切的关系。 原始社会人类在生产和生活中积累了许多有关物体形状、大小和相互间位
10、置关系的知识。古埃及人为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，产生了许多测量土地方面的技术，从而产生了几何学的初步知识。希腊人在跟埃及人通商中学到了测量与绘画等的几何初步知识，并在这些知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。希腊文“几何学” 的意义就是“测量土地技术”。 “几何”一词最早是在明代利玛窦、徐光启合译几何原本时由徐光启所创，后世多认为是拉丁化的希腊语GEO的音译。,我国对几何学的研究也有悠久的历史。公元前一千年前我国的黑陶文化时期，陶器上的花纹就有菱形、正方形和圆内接正方形等许多几何图形。公元前五百年，在墨翟所著的墨经里有几何图形的一些知识。在九章算术里
11、，记载了土地面积和物体体积的计算方法。在周髀算经里，记载了直角三角形的三边之间的关系，著名的“勾三股四弦五”的勾股定理(“商高定理”)，祖冲之的圆周率著称世界，我国古代数学家刘徽、王孝通等对几何学都作出了重大的贡献。 现代几何学研究分为平面几何、立体几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何、解析几何、射影几何、仿射几何、代数几何、微分几何、计算几何、拓扑学等。,数理统计 例如已知对某种钙片中的镁元素进行了两次测量，第一次取了8颗钙片，第二次取了6颗钙片作为样本，经测量获得数据如下（单位：毫克）：第一次 2.36,3.14,7.52,3.48,2.76,5.43,6.54,7.41第二次 4.38,4
12、.25,6.54,3.28,7.21,6.54 那么如何知道这两次测量有无显著差异呢？这就要用到数理统计中的假设检验的知识只须在条件下提出假设：然后对于显著性水平 ，n1=6, n2=8时查秩和临界值表得 T1=29, T2=61，由于统计量T=49，所以294961，故接受H0，所以认为两次测量无差异。,数值分析 一段高速公路从K35+000M到K35+450M路段中轴线海拔高程测得的数据如下：Xi +000 +025 +050 +075 +100 +125 +150 +175 +200Yi 60.41 60.585 60.585 60.740 60.940 60.952 60.957 61.083 61.219Xi +225 +250 +300 +325 +350 +375 +400 +425 +450Yi 61.309 61.355 61.48 61.478 62.07 62.42 62.40 62.39 62.29 但是从这些零散的数据如何得出一条符合这些数据的最佳直线呢？以前的待定系数法显然已不能解决问题，这样就要用到了数值分析中的线性数据拟合方法了，从而得出最佳直线方程Y=0.0042X+60.3283。,5. 国际竞赛获奖案例剖析,5. 国际竞赛获奖案例剖析,6. 我校获奖优秀案例剖析,6. 我校获奖优秀案例剖析,谢 谢！,
