1、 2013届高三数学章末综合测试题（9）数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1在等差数列a n中，若a 1a 2a 12a 1324，则a 7为( )A6 B7 C8 D9解析：a 1a 2a 12a 134a 724，a 76. 答案：A2若等差数列a n的前n项和为S n，且满足1，则数列 an的公差是( )A. B1 C2 D3解析：由S nna 1d，得S 33 a13d， S22a 1d，代入1，得d2，故选C. 答案：C3已知数列a 11，a 25，a n2 a n1 a n(nN *)，则a 2 011等于( )A1 B4 C 4 D5解析：由已知，得a 11，
2、a 25，a 34， a41，a 55，a 64，a 71，a 85，故a n是以6为周期的数列，a 2 011a 63351 a 11. 答案：A4设a n是等差数列，S n是其前n项和，且S 5S 6，S 6S 7S 8，则下列结论错误的是( )Ad0 Ba 70CS 9S 5 DS 6与S 7均为S n的最大值解析：S 5S 6，a 60.S 6 S7，a 70.又S 7S 8，a 80.假设S 9S 5，则a 6a 7a 8a 90，即 2(a7a 8)0.a 70，a 80，a 7a 80.假设不成立，故S 9S 5.C 错误. 答案：C5设数列a n是等比数列，其前n项和为S n，
3、若S 33a 3，则公比 q的值为( )A B.C1或 D2或来X k b 1 . c o m解析：设首项为a 1，公比为q，则当q1时，S 33a 13a 3，适合题意当q1时，3a 1q2，1q 33q 23q 3，即1q q23q 2,2q2q10，解得q1(舍去)，或q.综上，q1，或q. 答案：C6若数列a n的通项公式a n5 2n2 4 n1 ，数列 an的最大项为第x项，最小项为第y项，则xy等于 ( )A3 B4 C5 D6解析：a n5 2n2 4 n1 5 2，n2时，a n最小；n1时，a n最大此时x1，y2，x y3. 新 课 标 第 一 网答案：A7数列a n中，
4、a 115,3a n1 3an2(nN *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )Aa 21a22 Ba 22a23 Ca 23a24 Da 24a25解析：3a n1 3a n2，a n1 a n，即公差d .a na 1(n1) d15(n1)令a n0，即15(n1)0，解得n23.5.又nN *，n23，a 230，而a 240，a 23a240. 答案：C8某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A1.1 4a B1.1 5aC11(1.1 51)a D10(1.1 61)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列 a1a
5、， ana(110%) n1 (1n6)总产值为S 6a 111(1.1 51) a. 答案：C9已知正数组成的等差数列a n的前20项的和为100，那么 a7a14的最大值为( )A25 B50 C 1 00 D不存在解析：由S 20100，得a 1a 2010. a 7a 1410.又a 70，a 140，a 7a14 225. 答案：A10设数列a n是首项为m，公比为q( q0)的等比数列， Sn是它的前n项和，对任意的nN *，点( )A在直线mx qyq0上B在直线qx mym0上C在直线qx myq0上D不一定在一条直线上解析：由得q ny1，代入得x(y1) ， 即qxmym0
6、. 答案：B11将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，第n组有n个数，则第n组的首项为( )An 2n Bn 2n2Cn 2n Dn 2n2解析：因为前n1组占用了数列2,4,6，的前123 (n1)项，所以第n组的首项为数列2,4,6，的第1项 ，等于 22n 2n2. 答案：D12设mN *，log 2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)F(2)F(1 024)的值是( )A8 204 B8 192C9 218 D以上都不对解析：依题意，F(1) 0，F(2)F(3)1，有2 个F(4)F(5)F(6) F(7) 2，有2 2个F(8) F (1
7、5)3，有2 3个F(16) F (31)4，有2 4个F(512) F(1 023)9，有2 9个F(1 024)10，有1个故F(1) F(2) F (1 024)01222 232 392 910.令T1222 232 392 9，则2T12 222 382 992 10.，得T22 22 32 992 1092 102 10292 1082 102，T82 1028 194， w w w .x k b 1.c o mF(1) F(2) F (1 024)8 194108 204. 答案：A第卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ，共20分13若数列a n满足
8、关系a 12，a n1 3a n2，该数 列的通项公式为_解析：a n1 3a n2两边加上1得， an1 13(a n1)，a n1是以a 113为首项，以 3为公比的等比数列，a n133 n1 3 n，a n3 n1.答案：a n3 n114已知公差不为零的等差数列a n中，Ma nan3 ，N an1 an2 ，则M与N的大小关系是_解析：设a n的公差为d，则d 0.MNa n(an3d)(a nd)(a n2d)a n23da na n23da n2d 22d 20，MN.答案：MN15在数列a n中，a 16，且对任意大于1的正整数n，点 (，)在直线xy上，则数列的前 n项和S
9、 n_.解析：点(，)在直线xy上，即数列 n为等差数列(n1) ( n1)n，a n6n 2.6S n6.6.答案：16观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于2 009 2.解析：设第n行的各数之和等于2 009 2，则此行是一个首项a 1n，项数 为2n1，公差 为1的等差数列故Sn(2n1)2 009 2， 解得n1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分) 已知数列 an中，a 1，a n1 a n1(nN *)，令b na n2.(1)求证：b n是等比数列，并求b n；(2)求通项a n并求a n
10、的前n项和S n.解析：(1)，b n是等比数列b 1a 12，b nb 1qn1 n1 .(2)anb n22，Sna 1a 2a n32n32n2n3.18(12分) 若数列 an的前n项和S n2 n.(1)求a n的通项公式；(2)若数列b n满足b 11，b n1 b n(2 n1)，且c n，求数列c n的通项公式及其前n项和T n.解析：(1)由题意S n2 n，得S n1 2 n1 (n2)，两式相减，得a n2 n2 n1 2 n1 (n2)当n1时，2 11 1S 1a 1 2.a n(2)b n1 b n(2n1)，b 2b 11，b3b 23，b4b 35，bnb n1
11、 2n3.以上各式相加，得bnb 1135(2n 3)(n1) 2.b 11，b nn 22n，c nT n202 112 222 3( n2)2 n1 ，2T n402 212 322 4( n2)2 n.T n22 22 32 n1 ( n2)2 n(n2) 2n2 n2(n2)2 n2(n3)2 n.T n2(n 3)2n.19(12分) 已知等差数列 an的前n项和为S n，公差d0，且S 3S 550，a 1，a 4，a 13成等比数列(1)求数列a n的通项公式；(2)若从数列a n中依次取出第2项，第4项，第8项，第2 n项，按原来顺序组成一个新数列b n，记该数列的前n项和为T
12、 n，求T n的表达式解析：(1)依题意，得解得a na 1(n1)d32( n1) 2n1，即a n2n1.(2)由已知，得b na 2n22 n12 n1 1，T nb 1b 2b n(2 21) (2 31)(2 n1 1)n2 n2 4n.20(12分) 设数列 an的前n项和为S n，且ba n2 n(b1)S n.(1)证明：当b2时，a nn2 n1 是等比数列；(2)求通项a n. 新 课 标 第 一 网解析：由题意知，a 12，且ba n2 n(b1) Sn，ban1 2 n1 (b1)S n1 ，两式相减，得b(a n1 a n)2 n( b1)a n1 ，即a n1 ba
13、 n2 n.(1)当b2时，由知，a n1 2a n2 n.于是a n1 (n1)2 n2a n2 n(n1)2 n2.又a 1 12010，a nn2 n1 是首项为1，公比为2的等比数列(2)当b2时，由(1)知，a nn2 n1 2 n1 ，即a n(n1)2 n1当b2时，由得an1 2 n1 ba n2 n2 n1 ba n2 nb，因此a n1 2 n1 bb n.得a n21(12分) 某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业 25小时，可以筑起
14、第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由解析：设从现有这辆车投入工作算起，各 车的工作时间依次 组成数列a n，则a na n1.所以各车的工作时间构成首项为24，公差 为的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车设还需组织(n1)辆车，则a1a 2a n24n2025.所以n 2145n3 0000，解得25n120，且n73.所以n min25，n124.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保 证在24小时内完成第二道防 线2
15、2(12分) 已知点集L(x，y)|ym n，其中m(2x2 b,1)，n(1,12b)，点列P n(an，b n)在点集L中， P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列 an为等差数列，且公差为1，nN*.(1)求数列a n，b n的通项公式；(3)设c n(n2)，求c 2c 3c 4c n的值解析：(1)由ymn，m(2x 2b,1)，n(1,12b)，得y2x1，即L ：y2x1.P 1为L 的轨迹与y轴的交点，P 1(0,1)，则a 10，b 11.数列a n为等差数列，且公差 为1，a nn1(nN *)代入y2x1，得b n2n1(nN *)(2)P n(n1,2n1)，P n1 (n,2n1)5n 2n15 2.nN *，(3)当n2时，P n(n1,2n1)，c 2c 3c n1.
