1、1高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-1 二重积分的概念及性质 课 型 理论课 教学目的 理解二重积分的概念，了解二重积分性质。重 点 二重积分的概念，性质难 点 如何运用二重积分的性质去解决问题参考书目 同上 教 具 教学后记教 学 过 程 （一） 、复习上节内容 （二） 、讲授10-1 二重积分的概念及性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲顶柱体的体积2.平面薄片的质量（二）二重积分的定义1定义：2. 几个事实二、二重积分的性质三、二重积分的几何意义（三） 、 本次课内容小结（四） 、布置作业2第十章 重积分10-1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念（一）引例1. 曲
2、顶柱体的体积设有一空间立体 ,它的底是 面上的有界区域 ,它的侧面是以 的边界曲线为xoyD准线,而母线平行于 轴的柱面,它的顶是曲面 。z(.)zfxy当 时, 在 上连续且 ,以后称这种立体为曲顶柱体。(,)xyD()f ,0曲顶柱体的体积 可以这样来计算:V(1) 用任意一组曲线网将区域 分成 个小区域 ， ， ， ，以这些小区域n12 n的边界曲线为准线,作母线平行于 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成 个小z 曲顶柱体 ， ， ， 。 12 n（假设 所对应的小曲顶柱体为 ,这里 既代表第 个小区域,又表示它的面积值, iiii既代表第 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)i图
3、 10-1-1从而 (将 化整为零)1niiV(2) 由于 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱()fxy体近似地看作小平顶柱体,于是3iiiiif()()(以不变之高代替变高, 求 的近似值)i(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为 Vfiiin()1(4) 为得到 V的精确值,只需让这 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设 个小区域直径中的最大者为 , 则nVfniiilm(),012.平面薄片的质量设有一平面薄片占有 面
4、上的区域 , 它在 处的面密度为 ,这里xoyD,xyxy,而且 在 上连续,现计算该平面薄片的质量 。,0xy, M图 10-1-2将 分成 个小区域 ， ， ， ，用 记 的直径, 既代表第Dn12 nii i个小区域又代表它的面积。 i当 很小时, 由于 连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀1maxiinxy的, 那么第 小块区域的近似质量可取为 (,)(,)iiii于是 ni iiM1,4Miinlm(,)01两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。（二） 二重积分的定义1
5、定义：设 是闭区域 上的有界函数, 将区域 分成个小区域,fxyDD12, n,其中, 既表示第 个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径。ii imax1in(,)i作乘积 (,)(,2)iif作和式 1,niiif若极限 存在,则称此极限值为函数 在区域 上的二重积分,01lim,niif ,fxyD记作 。,Dxyd即 ,f01li,niif其中: 称之为被积函数, 称之为被积表达式, 称之为面积元素,fxy,fxydd称之为积分变量, 称之为积分区域, 称之为积分和式。D1,niiif2 几个事实(1) 二重积分的存在定理若 在闭区域 上连续, 则 在 上的二重积分存在。,fxy,f
6、xyD声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2) 中的面积元素 象征着积分和式中的 。,Dfddi5图 10-1-3由于二重积分的定义中对区域 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划D分区域 ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可D以将 记作 (并称 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 dxyd。,Df(3) 若 ,二重积分表示以 为曲顶,以 为底的曲顶柱体的体积。,0xyfxyD二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1. 线性性 (,)(,)(,)(,) fxygdfxydgxydD DD其中: 是常
7、数。,2. 对区域的可加性若区域 分为两个部分区域 ,则12fxydfxyfxydDDD()(,)(,) 23. 若在 上, , 为区域 的面积,则,1fxy1D几何意义: 高为 1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4. 若在 上, ,则有不等式D,fxyDDdyxyxf),(),(6特别地,由于 ，有,fxyffxydyxfdDD),(),(5. 估值不等式设 与 分别是 在闭区域 上最大值和最小值, 是 的面积,则Mm,fxy MDdyxf)(6. 二重积分的中值定理设函数 在闭区域 上连续, 是 的面积,则在 上至少存在一点 ,fxy D使得 Dfdyxf),(),(7 、对称
8、性（偶倍奇零）设函数 在闭区域 上连续, 关于 x 轴对称, 位于 x 轴上方的部分为,fxy D,在 上1D则(),)(,)fxyf(,)dDfxy12(,)dDfxy则2x0当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.例 1 比较下列各对二重积分的大小（1） 与 ，其中 。2()Dd3()Dxyd22:()(1)xy（2） 与 ，其中 是三角形区域，三顶点分别为lnxy2lnD。(1,0),()例 2 判断积分 的正负号.负22341dxyxy例 3 估计下列积分之值1.96 I 222dI :1010cosDDxyxy三、二重积分的几何意义71若 ， 表示曲顶
9、柱体的体积(,)0fxy(,)Dfxyd2若 ， 表示曲顶柱体的体积的负值3 表示曲顶柱体的体积的代数和(,)Dfxyd例 4. 求两个底圆半径为 R 的直角圆柱面所围的体积. 316R小结： 二重积分的定义（和式的极限） ；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） ；二重积分的性质。作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1)8高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-2 二重积分的计算法（一） 课 型理论课 教学目的 深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧重 点 熟练掌握二重积分计算难 点 对积分区域的划分参考书目 同上 教 具 教学后记 本节内容掌握的不够理想。教 学
10、过 程 9（一） 、复习上节内容 （二）讲授10-2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分1、 -型 区域， -型区域。xy2、二重积分化二次积分时应注意的问题3求体积4更换积分次序（四） 、 本次课内容小结（五） 、 布置作业10-2 二重积分的计算法利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、 利用直角坐标计算二重积分、 -型区域， -型区域xy我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。,Dfxyd讨论中,我们假定 ；,0fxy假定积分区域 可用不等式 abx12()()表示,D其中 在 上连续。12,x,b10图
11、 10-2-1 图 10-2-2据二重积分的几何意义可知, 的值等于以 为底,以曲面,DfxydD为顶的曲顶柱体的体积。,zfxy图 10-2-3在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截曲顶柱体,ab0xyoz0x所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边的曲边梯形,其面102,0fy积为 2010,xAfd一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为,abxyoz21xAfyd利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 VAxafxydb()(,)12从而有 dxyfdyxfbaxD)(21,),(1)上述积分叫做先对 ,后对
12、的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的函YX),(yf11数,对 计算从 )(1x到 2的定积分,然后把所得的结果( 它是 的函数 )再对),(yxf x从 a到 b计算定积分。这个先对 , 后对 的二次积分也常记作 fxydfxydDab(,)(,)12在上述讨论中,假定了 ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计,0f算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在 上连续),公式),yxfD(1)总是成立的。类似地,如果积分区域 可以用下述不等式Dcydxy,()()12表示,且函数 1()y, 2在 上连续, 在 上连续,则,fDfxdfxydyfxdDcc,
13、(,)(,)1212(2)图 10-2-4 图 10-2-5显然,(2)式是先对 x,后对 的二次积分。y2二重积分化二次积分时应注意的问题（1）. 积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于 I 型(或 II 型)区域, 用平行于 轴( 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的yx边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并集。12（2）. 积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 - 几何法。画出积分区域 的图形(假设的图形如下 )D图 10-2-6在 上任
14、取一点 x,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与区域 的边,abyD界有两个交点 )(1与 )(2,这里的 )(1x、 2就是将 x,看作常数而对y积分时的下限和上限；又因 是在区间 上任意取的 ,所以再将 看作变量而对abx积分时,积分的下限为 、上限为 。a例 1. 计算 其中 D 是直线 y1, x2, 及 yx 所围的闭区域. d,DIxy（可用 X型区域，Y型区域分别求解） 98例 2. 计算 其中 D 是抛物线 及直线 所围成的闭区域. ,Dxy2yx2yx（先对 x 后对 y 积分） 45例 3. 计算 其中 D 是直线 所围成的闭区域. sind,Dxy ,0yx2（先
15、对 y 后对 x 积分）例 4. 交换下列积分顺序 2 2280 0(,)d(,)dx xIfyfy关键画图 2280d(,)dyf例 5. 计算 其中 D 由 所围成.2ln1,DIxxy24,yx3,1x关键：画图，切割积分区域，利用对称性 03求体积思考 例 6. 求由曲面 zxy2及 zxy62所围成的立体的体积。13解 1. 作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域xoy图 10-2-7消去变量 得一垂直于 面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在 面的投zxoy2xyxoy影区域就是该柱面在 面上所围成的区域 D:2. 列出体积计算的表达式 VxydD()()622()632xyd
16、3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算图 10-2-8VdxydDD6322而 2Dd由 的对称性有 ,xyxy2dxdydD2214424020xdsinco16()!16所求立体的体积为 V24更换积分次序练习 1 改变积分 的次序. 10(,)xdfyd10(,)ydfxd练习 2 改变积分 的次序.221, ,x 201(,)yfx练习 3 改变积分 的次序.220(,)axdfyda 2 220 0(,)(,(,).aya ayydf fxdfx练习 4 求 ，其中 是由抛物线 和 所围平面闭区域. 2DxdD310练习 5 求 ，其中 D 是以 为顶点的三角形. 2
17、yDxed(0,)1,()12()6e练习 6 计算积分 . 124yxIed12yxed382e小结：二重积分计算公式直角坐标系下 X型Dbaxdyfdxyf )(21,),(Y型cyff )(21,),(作业 习题 10-2（P154）基础题：2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10 提高题：6 (4);d15高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-2 二重积分的计算法（二） 课 型 理论课 教学目的 掌握二重积分的计算方法（极坐标） 。重 点 二重积分的计算方法难 点 二重积分的计算方法参考书目 同上高等数学习题集 教 具 教学后记教 学 过 程 16（一） 、复习上
18、节内容 （二）讲授10-2 二重积分的计算法(二)一、利用极坐标计算二重积分1. 变换公式2. 极坐标下的二重积分计算法3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则二、例题（三） 、 本次课内容小结（四） 、布置作业10-2 二重积分的计算法二、利用极坐标计算二重积分1. 变换公式按照二重积分的定义有 fxydfDiin(,)lm(,)0117图 10-2-9现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点 0 为中心的一族同心圆 常数 以及从极点出发的一族射线 常数,将r剖分成个小闭区域。D除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 的面积可如下计算iiiiiiiiii rrr )2(1)(2122ii
19、iiii 其中, 表示相邻两圆弧半径的平均值。ir在小区域 上取点 ,设该点直角坐标为 ,据直角坐标与极坐标的关系iiri有 iiiircos,sn于是 lim(,)li(,i)0101ffrinniii即 fxydfrdD,cos,i由于 也常记作 , 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发.Dfxyd.性的形式 fxyfrrd(,)(cos,in)(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中, 就是极rd坐标中的面积元素。18(1)式的记忆方法: xrcosyindxrdfxydxyD(,) frrrdD(cos,sin)2. 极坐标下的二重积分计算法极坐标系
20、中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。(1) 积分区域 可表示成下述形式 12()()rD其中函数 , 在 上连续。12,图 10-2-10则 frrdfrrdD(cos,in)(cos,in)12(2) 积分区域 为下述形式图 10-2-11显然,这只是(1)的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。故 10frrdfrrdD(cos,in)cos,in)(3) 积分区域 为下述形式19图 10-2-12显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域 的内部 ), 可剖分成D与 ,而1D2 rr1200:,():,()故 :,()则 frdfrdD(cosin(cos,
21、in) 0由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域 用极坐标变量 表示成如下形式r,()123. 使用极坐标变换计算二重积分的原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含 ()xy2, 为实数 )。例 1 计算Idxdyaa0240()解 此积分区域为 Dxax:,2区域的简图为图 10-2-13该区域在极坐标下的表示形式为20Dra:,sin402IrdadradD42020sinc()40413例 2 计算 ，其中 为 。2()xyDedD22xya利用此题推出概
22、率积分 20xe例 3 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)224xyza20yax立体的体积. 3()例 4 写出积分 的极坐标二次积分形式，其中积分区域,Dfxyd. .2(,)|1,xy01x210sinco(s,in)dfrrd例 5 计算 ，其 D 为由圆 ， 及直线2()Dydx2y24xy3xy， 所围成的平面闭区域. 030y364sin215()dr例 6 计算 ，其中 为 。 。2Dxd22,0xyaxy5a例 7 计算 ，其中 为 。 。2sin()DxyD214xy例 8 计算 ，其中 为 。提示： ，()d2xy:0,2sin。例 9 计算 ，其中 为 。 2D
23、xydD2xyax32921例 10 将下述二次积分化为直角坐标系下的二次积分。40(cos,in)aIdfrrd 2210, ,x axIdfyfy小结： 二重积分计算公式极坐标系下 D drrfdrrf )(21 )sin,co)sin,co(作业：习题 10-2（P154 ）基础题： 13 (3); 14 (3); 提高题： 15(2);17高 等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-3 三重积分（一） 课 型 理论课 教学目的1、 掌握三重积分的定义、性质2、 掌握直角坐标下三重积分的计算方法3、 掌握柱面坐标下三重积分的计算方法重 点 直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投
24、影法、截面法）22难 点 直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）参考书目 同上 教 具 教学后记教 学 过 程 （一） 、复习上节内容 （二） 、讲授10-3 三重积分（一）一、三重积分的概念1三重积分的定义2三重积分的存在定理3三重积分的物理意义二三重积分的计算法1、利用直角坐标计算三重积分2、利用柱面坐标计算三重积分（1）三重积分 在柱面坐标系中的计算公式dvzyxf),(（2）用柱面坐标 表示积分区域 的方法r,（三） 、 本次课内容小结（四） 、布置作业10-3 三重积分的概念及其计算法一、三重积分的概念1三重积分的定义设 是空间闭区域 上的有界函数,将 任意地分划成
25、 个小区域 ),(zyxfn23vn12, ，其中 表示第 个小区域,也表示它的体积。在每个小区域 上ivi iv任取一点 , 作乘积 ，作和式 ， 以 记这),(iiiiivf),(ni iiif1),(个小区域直径的最大者,若极限 存在,则称此极限值为函数nni iiivf10),(lm在区域 上的三重积分 ,记作 ,),(zyxf dzyx,即 = .dvzyxf),(ni iiivf10),(l其中 叫体积元素。dv自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成 。dxyz2三重积分的存在定理若函数在区域上连续, 则三重积分存在。3三重积分的物理意义如果 表示某物体在 处的质量密度, 是该物
26、体所占有的空间区域,且),(zyxf )(zyx在 上连续,则和式 就是物体质量 的近似值, 该和式),(fni iiivf1,m当 时的极限值就是该物体的质量 。0m故 (,)fxyzd特别地, 当 =1 时, 为体积.),(zyxfv二三重积分的计算法计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。1利用直角坐标计算三重积分假设积分区域 的形状如下图所示.在 面上的投影区域为 , 过 上任意一点, 作平行于 轴的直线穿过xoyxyDxy z内部, 与 边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。24Szxy1:(,) , Szxy2:(,)其中 zxy1(,),
27、2在 上连续, 并且 1。xyD图 10-3-1如何计算三重积分 呢?dvzyxf),(不妨先考虑特殊情况 =1,则,zxyzdD21(,),即 dvzxyy1(,)一般情况下,类似地有 fdzxyDy,()12显然积分 只是把 看作 的函数在区间 上),(21),yxzdzf,(f ),(),(21yxz对 求定积分, 因此,其结果应是 的函数, 记xFyfxzdz()(,)12那么 xyDddvzf,),(如上图所示, 区域 可表示为 abyx,()()12从而 ),(21),(yxbD dFdxyFxy25综上讨论, 若积分区域 可表示成axbyxzyzx,()(),(,)1212则 )
28、,()(211 ),( yxzyba dfddvzf这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量 , 次对 ,最后对 的zyx三次积分。 如果平行于 轴且穿过 内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分z计算中所采用的方法, 将 剖分成若干个部分,(如 12,),使在 上的三重积分化为各部分区域( 12,)上的三重积分,当然各部分区域 ( ) 应适合对区域的要求。 例 1 计算三重积分分 ，其中 是由三个坐标平面及平面xdyz所围成的空间区域。2xyz148例 2 计算三重积分 ，其中 是由椭球面 所围成的空2zdxy 221xyzabc间区域。 （先二后一） 。 15ab
29、c2利用柱面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。（一）. 柱面坐标设 为空间的一点,该点在 面上的投影为 , 点的极坐标为 ,则)(zyxMxoypr三个数称作点 的柱面坐标。zr,图 10-3-226规定 的取值范围是zr,0r， 2， z柱面坐标系的三组坐标面分别为=常数,即以 轴为轴的圆柱面；rz=常数,即过 轴的半平面；=常数,即与 面平行的平面。zxoy点 M的直角坐标与柱面坐标之间有关系式(1)zryxsinco（二）.三重积分 在柱面坐标系中的计算公式dvzyxf),(图 10-3-3用三组坐标面 =常数, =常数,
30、 =常数,将 分割成许多小区域,除了含 的边界点rz的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由 各取得微小增量 所成的柱体,该柱体是底面积为 ,高为z, dr, rd的柱体,其体积为 这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有dzzdvfxyfzr(,)(cosin,)(2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量 的三次积分,其积分限要由zr在 中的变化情况来确定。zr27（三）用柱面坐标 表示积分区域 的方法zr,(1) 找出 在 面上的投影区域 , 并用极坐标变量 表示之；xoyxyD,r(2) 在
31、内任取一点 , 过此点作平行于 轴的直线穿过区域, 此直线与 边界曲xyD)(rz面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成 的函数 )即为 的变化范围。,rz例 1 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中 是柱面 及平面2zxydv 2xy所围成半圆柱体。 0,0zay389a例 2 用柱坐标计算三重积分 ,其中 是由抛物柱面 与平面2d1xyz 24xyz所围成。 (0)zh(4)ln()4hh小结：三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分） ，直角坐标系下的体积元素 。dxyzv柱面坐标的体积元素 dzrdxyz作业：习题 10-3（P164 ） 基础题：5; 9 (2); 提高题：8;14高
32、等 数 学 教 案章节题目第十章 重积分10-4 重积分的应用 课 型 理论课 教学目的1、 掌握利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。2、 掌握利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。28重 点 利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。难 点 利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。参考书目 同上 教 具 教学后记教 学 过 程 （一） 、复习上节内容 （二） 、讲授10-4 重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积；1、推导公式；2、例题三、质心；1. 平面上的质点系的质心2. 质心3. 空间物体的质心四、转动惯量；1. 平面质点系对
33、坐标轴的转动惯量2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量3. 空间物体的转动惯量五、引力（三） 、 本次课内容小结（四） 、布置作业10-4 重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1. 所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域UDD时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 。dU292. 在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 DdU, 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。dyxf),(dyx),(yxf),( d3. 所求量 U可表示成积分形式 DU,一、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面 则
34、其体积为 ，(,)zfxy,(,)dDVfxy占有空间有界域 的立体的体积为 。dVz例 1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积21:1Szxy2:SxyV . 例 2. 求半径为 a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积. 344(1cos)二、曲面的面积设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数S)(yxfzxyDSxoy在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。),(yxfxyD)()(f A图 10-4-1在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一xyDdd点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 )
35、(S),(yxfMSMT以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,dz在切平面 T上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小d片曲面面积。30曲面 在点 M处的法线向量 ( 指向朝上的那个 )为Snfxyf,)(,1它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为zcos(,),12ffxy而 dAcos所以 fxyd12(,),这就是曲面 S的面积元素 , 故 dyxffAxyDx),(,122即 zxy例 3 计算双曲抛物面 被柱面 所截出的面积 A . z22R32(1)R例 4. 计算半径为 a 的球的表面积.（可利用直角坐标系或球坐标系） 4a练习 求球面 xyza22含在柱面 xya2( 0) 内部的面积。解 所求曲面在 o面的投影区域 Dy(,)|图 10-4-2曲面方程应取为 zaxy2, 则 2, zyax2
