1、初等数论,Number Theory,第一章 整除理论,整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。,第四节 最小公倍数,定义1 整数a1, a2, , ak的公共倍数称为a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak的正公倍数中的最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为a1, a2, , ak。,第四节 最小公倍数,定理1 下面的等式成立：() a, 1 = |a|，a, a = |a|；() a, b = b, a；() a1, a2, , ak = |a1|, |a2| , |ak|；
2、() 若ab，则a, b = |b|。,证明 留作习题。,第四节 最小公倍数,由定理1中的结论()可知，在讨论a1, a2, , ak的最小公倍数时，不妨假定它们都是正整数。在本节中总是维持这一假定。,最小公倍数和最大公约数之间有一个很重要的关系，即下面的定理。,第四节 最小公倍数,定理2 对任意的正整数 a，b，,证明 设m是a和b的一个公倍数，那么存在整数k1，k2，使得m = ak1，m = bk2，因此 ak1 = bk2 。 (1)于是,第四节 最小公倍数,由于， 所以由第三节定理4得到 其中t是某个整数。将上式代入式(1)得到 (2),第四节 最小公倍数,另一方面，对于任意的整数t
3、，由式(2)所确定的m显然是a与b的公倍数，因此a与b的公倍数必是式(2)中的形式，其中t是整数。当t = 1时，得到最小公倍数,证毕。,第四节 最小公倍数,推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除。,证明 由式(2)可得证。证毕。,这个推论说明：两个整数的最小公倍数不但是最小的正倍数，而且是另外的公倍数的约数。类似地，对多个也成立.,第四节 最小公倍数,推论2 设m，a，b是正整数，则ma, mb = ma, b。,证明 由定理2及第三节定理2的推论得到,证毕。,第四节 最小公倍数,推论3 对于任意的n个整数a1, a2, , an，记a1, a2 = m2，m2, a3 =
4、m3，mn2, an1 = mn1，mn1, an = mn，则 a1, a2, , an = mn.,证明 我们有 mn = mn1, an mn1mn，anmn，,第四节 最小公倍数,mn1= mn2, an1 mn2mn1mn，anmn， an1mn1mn，mn2= mn3, an2 mn3mn2mn，anmn， an1mn，an2mn，m2 = a1, a2 anmn，a2mn，a1mn，即mn是a1, a2, , an的一个公倍数。,第四节 最小公倍数,另一方面，对于a1, a2, , an的任何公倍数m，由定理2的推论及m2, , mn的定义，得m2m，m3m，mnm。即mn是a1
5、, a2, , an最小的正的公倍数。,证毕。,第四节 最小公倍数,推论 若m是整数a1, a2, , an的公倍数，则a1, a2, , anm 。,证明留作习题。,定理4 整数a1, a2, , an两两互素，即(ai, aj) = 1，1 i, j n，i j的充要条件是a1, a2, , an = a1a2an 。 (3),第四节 最小公倍数,证明 必要性 因为(a1, a2) = 1，由定理2得到a1, a2 = a1a2 。由(a1, a3) = (a2, a3) = 1及第三节定理4推论3得到(a1a2, a3) = 1，由此及定理3得到a1, a2, a3 = a1, a2,
6、a3 = a1a2, a3 = a1a2a3 。如此继续下去，就得到式(3)。,第四节 最小公倍数,充分性 用归纳法证明。当n = 2时，式(3)成为a1, a2 = a1a2。由定理2a1a2 = a1, a2 =ab/(a, b) (a1, a2) = 1，即当n = 2时，充分性成立。假设充分性当n = k时成立，即a1, a2, , ak= a1a2ak (ai, aj) = 1, 1 i, j k, i j。,第四节 最小公倍数,对于整数a1, a2, , ak, ak + 1，使用定理3中的记号，由定理3可知a1, a2, , ak, ak + 1 = mk, ak + 1。 (4
7、)其中mk = a1, a2, , ak。因此，如果a1, a2, , ak, ak + 1 = a1a2akak + 1，那么，由此及式(4)得到,第四节 最小公倍数,a1, a2, , ak, ak + 1= mk, ak + 1 =mkak+1/(mk,ak+1)= a1a2akak + 1，即mk/(mk,a k+1) = a1a2ak ，显然mk a1a2ak，(mk, ak + 1) 1。所以若使上式成立，必是(mk, ak + 1) = 1， (5),第四节 最小公倍数,并且 mk = a1a2ak 。 (6)由式(6)与式(5)推出(ai, ak + 1) = 1，1 i k；
8、 (7)由式(6)及归纳假设推出(ai, aj) = 1，1 i, j k，i j 。 (8),第四节 最小公倍数,综合式(7)与式(8)，可知当n = k 1时，充分性成立。由归纳法证明了充分性。,证毕。,定理4有许多应用。例如，如果m1, m2, , mk是两两互素的整数，那么，要证明m = m1m2mk整除某个整数Q，只需证明对于每个i，1 i k，都有miQ。这一点在实际计算中是很有用的。,第四节 最小公倍数,对于函数f(x)，要验证命题“mf(n)，nZ”是否成立，可以用第二节例5中的方法，验证“mf(r)，r = 0, 1, , m 1”是否成立。这需要做m次除法。但是，若分别验证
9、“mif(ri)，ri = 0, 1, , mi 1，1 i k”是否成立，则总共需要做m1 m2 mk次除法。后者的运算次数显然少于前者。,第四节 最小公倍数,例1 设a，b，c是正整数，证明：a, b, c(ab, bc, ca) = abc 。,证明 由定理3和定理2有 a, b, c = a, b, c = ， (9),由第三节定理5和定理2的推论，(ab, bc, ca) = (ab, (bc, ca) = (ab, c(a, b),第四节 最小公倍数,(10)联合式(9)与式(10)得到所需结论。,第四节 最小公倍数,例2 对于任意的整数a1, a2, , an及整数k，1 k n
10、，证明：a1, a2, , an = a1, , ak,ak + 1, , an .,证明 因为a1, a2, , an是a1, , ak, ak + 1, , an的公倍数，所以由定理2推论，推出a1, , aka1, a2, , an，ak + 1, , ana1, a2, , an，,第四节 最小公倍数,再由定理3推论知a1, ,ak,ak+1, ,ana1,a2, ,an。 (11)另一方面，对于任意的ai（1 i n），显然aia1, , ak, ak + 1, , an，所以由定理3推论可知a1, a2, , ana1, , ak, ak + 1, , an，联合上式与式(11)得
11、证。,第四节 最小公倍数,例3 设a，b，c是正整数，证明： a, b, cab, bc, ca = a, bb, cc, a。,证明由定理2推论2及例2，有a,b,cab,bc,ca=a,b,cab, a,b,cbc, a,b,cca=a2b,ab2,abc, abc,b2c,bc2, a2c,abc,ac2= a2b, ab2, abc, abc, b2c, bc2, a2c, abc, ac2= abc, a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b,第四节 最小公倍数,以及a, bb, cc, a = a, bb, a, bcc, a= ab, b2, ac, bcc, a= abc, a, b2c, a, acc, a, bcc, a= abc, a2b, b2c, b2a, ac2, a2c, bc2, bca= abc, a2b, a2c, b2c, b2a, c2a, c2b，由此得证。,习 题 四,1. 证明定理1。2. 证明定理3的推论。3. 设a, b是正整数, 证明: (ab)a,b=ab, ab.4. 求正整数a,b,使得ab =120，(a,b)=24，a,b = 144。5. 设a，b，c是正整数，证明： 6. 设k是正奇数，证明：1 2 91k 2k 9k。,
