1、数学 必修参考答案第一章 三角函数第一节 任意角和弧度制第课时 任意角【课前导引】知识点正 负 零知识点原点 x轴的非负半轴 坐标轴知识点k,kZ 整数个周角【课堂精讲】变式训练(),所以在范围内,与终边相同的角是,它是第二象限角(),所以在范围内,与终边相同的角是,它是第三象限角(),所以在范围内,与终边相同的角是,它是第四象限角Ann,nZC【课后测评】D D A C B B ,k,kZ答案:()kk,kZ或写为kk,kZ()或A D第课时 弧度制【课前导引】知识点半径长 圆心角知识点 【课堂精讲】变式训练答案:设扇形的半径为r,弧长为l,圆心角为,则rl,即lr所以扇形面积Slrr(r)
2、rr(r)(r)当r时,Smaxcm,此时l,所以lr故当半径长为cm,圆心角为rad时,扇形的面积最大,且最大面积为cm【课后测评】C A B A B D四 D或 sin答案:设扇形的圆心角为,半径为r,弧长为l,面积为S,则lr,所以lr所以Slr(r)rrr(r)所以当半径rcm时,扇形的面积最大,最大面积为cm,此时lr第二节 任意角的三角函数第课时 任意角的三角函数【课前导引】知识点正 sin siny 余 cos cosx 正tan tanyx(x)yr xr yx知识点相等 sin cos tan知识点正弦线 余弦线 正切线 三角函数线【课堂精讲】变式训练答案:当m时,令xm,y
3、m,则rm( )m( )m所以sinyr,cosxr,tanyx当m时,令xm,ym,则rm( )m( )m所以sinyr,cosxr,tanyx A 【课后测评】A A B B D kk,kZk,k(kZ)答案:当n时,令xn,yn,则r(n)(n)n所以sinyr,cosxr此时sincos当n时,令xn,yn,则r(n)(n)n所以sinyr,cosxr此时sincos综上所述,sincosD D 第课时 同角三角函数的基本关系【课前导引】知识点sincossincostan(k,kZ)【课堂精讲】变式训练 () ()() () 答案:原式(sincos)(sinsincoscos)(s
4、incos)sincos(sincos)sincos sincossincossincos答案:由题意知cosxsinx,cosx,cosxsinx左边(cosxsinx)(cosxsinx)(cosxsinx)cosxsinxcosxsinxsinxcosxsinxcosxtanxtanx右边【课后测评】B C A C Dcos 或答案:()由根与系数的关系得sincos,所以sincos所以sincos由根与系数的关系得sincosm,所以m()因为sincos,所以sincos因为tansintancostansinsincoscoscossinsincossincos,所以原式sinc
5、osD A 第三节 三角函数的诱导公式【课前导引】知识点sin(k)sincos()costan()tancos()cossin()coscos()sin【课堂精讲】变式训练答案:()sinsin sin()coscos cos答案:f( )cossincoscoscoscoscoscoscoscoscos(coscos)coscos(cos)cos(cos)coscos(cos)(coscos)cos(cos)coscos(cos)(coscos)coscoscos,所以f cos答案:由题意知cossin,cos左边sincoscossin(sincos)(cossin)(cossin)s
6、incossincos,右边tantansincossincos,显然左边右边,所以原等式成立【课后测评】B C B C B C C mm答案:sincossincossin()cos()sin()cos()sincoscossin(sincos)cossinsincoscossinC C 答案:假设存在,使得等式均成立,即有sin( )cos ,cos()cos( ),由诱导公式可得sinsin,coscos,解得cos又因为, ,所以或将代入coscos得cos,将代入sinsin得sin,又(,),所以将代入coscos得cos,将代入sinsin,得sin,不合(,),舍去综上可知,存
7、在,满足条件C 第四节 三角函数的图象和性质第课时 正弦函数、余弦函数的图象【课前导引】知识点(,) (,) (,) (,)【课堂精讲】变式训练答案:如答图所示答图(,)【课后测评】B C D C Axkxk,kZxkxk,kZ(,)k,k,kZ答案:由ycosx的图象,知cosx由已知条件,知a()若a,则aacosxa,故ba,ab,解得a,b()若a,则aacosxa,故ba,ab,解得a,bB C 答案:()f(x)sinxsinx,sinx,sinx,sinx,所以当x,时,f(x)sinx,当x,)(,时,f(x)sinx于是可作出函数的图象,如答图所示答图()f(x)sinxsi
8、nx,x,sin(x),x,),所以当x,)时,f(x)sinx于是可作出函数的图象,如答图所示答图第课时 正弦函数、余弦函数的性质【课前导引】知识点一个非零常数 每一个 f(x)f(xT)非零常数 一个最小的正数 最小正数知识点cos(x)cosx 偶函数 原点知识点xk (k,)k,(k) x(k) k【课堂精讲】变式训练 (k),kZA A【课后测评】C A A C B 答案:()由T,得()由()知f(x)cosx ,f cos cos sin,且, 所以sinf cos cos,且,所以cosB C答案:f(x)sinx 的对称轴方程为xk(kZ),即xk(kZ)g(x)cosx(
9、)的对称轴方程为xk(kZ),即xk(kZ)由题意可得kk(kZ),所以所以f(x)sinx 当x, 时,x, ,故f(x)的取值范围是, A答案:因为函数f(x)的图象与x轴的相邻两个交点的距离为,所以f(x)的最小正周期T,即,解得因为f(x)在x处取得最大值,所以A所以sin ,即sin 所以k,kZ又因为,所以所以f(x)的解析式为f(x)sinx 第课时 正切函数的图象和性质【课前导引】知识点(k,k)【课堂精讲】变式训练xkxk,kZtan()tan()xkxk,kZ【课后测评】D A C C C D(,)或答案:由tanx得原函数的定义域为xkxk,kZ当a时,yloga(tan
10、x)在区间k,k (kZ)上单调递增;当a时,yloga(tanx)在区间k,k (kZ)上单调递减A奇函数答案:ytanxtanx,x且xk,kZ,tanx,x且xk,kZ,故可得ytanx的图象如答图所示答图答案:f(x)tanxtanxtanx( ),因为x, ,所以tanx,所以当tanx,即x时,f(x)有最小值;当tanx,即x时,f(x)有最大值,)第五节 函数yAsin(x)的图象【课前导引】知识点列表 描点 连线(,),(,),(,),(,),(,)知识点()左 ()右 左 右 ()上 ()下 上 下 B()左 ()右 知识点()纵 横 ()纵 A 纵向伸缩 A,A()横 纵
11、 ()横 纵 横向伸缩【课堂精讲】变式训练答案:因为ysinxcosx cos(x),故ysinx的图象是将ycosx的图象向右平移个单位长度而得到ycosx答案:因为A,且函数的最小值为,所以A又因为图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差,所以T,所以T因为T,所以因为f()cos,所以cos又因为,所以,即f(x)cosx D答案:因为f(x)是R上的偶函数,所以当x时,f(x)取得最值,即k,kZ又因为,所以因为f(x)的图象关于点M, 对称,所以k(kZ),解得k,kZ又f(x)在, 上是单调函数,所以T,即又因为,所以所以或所以,或【课后测评】C C C B A , sin(x)答案
12、:()函数f(x)的定义域为R由kxk,解得kxk,故单调递增区间为k,k (kZ)由kxk,解得kxk,故单调递减区间为k,k(kZ)()因为x,所以x所以当x时,f(x)max;当x或x时,f(x)min所以f(x),B B B C B A 第六节 三角函数模型的简单应用【课堂精讲】变式训练答案:()观察图象可知,最大用电量为万度,最小用电量为万度()由图可知,时的图象是yAsin(x)B的半个周期的图象,所以A(),B()因为,所以所以ysinx 将(,)代入这个解析式,解得故所求解析式为ysinx ,x,答案:()因为A,AB,所以B再根据T得,所以ycost()由y得cost,所以c
13、ost所以ktk,kZ所以ktk,kZ当k时,t(,),满足题目要求所以有小时可供冲浪爱好者进行运动答案:如答图所示,以O为原点,过点O的圆的切线为x轴建立直角坐标系设点A(x,y),则hy设OOA,则cosy,ycos又t,即t,所以ycost,即hf(t)cost(t,)答图答案:因为周期T(s),所以频率为次/s,s往复运行了次【课后测评】B C A Dk 答案:()由图知A,t,t,因为T(tt),所以T由t,得t,所以Isint ()问题等价于T,即,所以所以正整数的最小值为答案:()设f(x)的最小正周期为T,得T 又因为T,所以由BA,BA,解得A,B令,即,解得,所以f(x)s
14、inx ()因为函数yf(kx)sinkx 的周期为,又k,所以k令tx,因为x, ,所以t, 若sints在, 上有两个不同的解,则s, ,所以方程f(kx)m在x, 时恰好有两个不同的解时,m,),即实数m的取值范围是,)A 答案:()由图,周期T ,所以小球往复一次所需时间为s()由图,设该曲线的函数解析式为yAsin(x),x,)从图中可看出A,即从而ysin(x),将x,y代入,得sin ,即故这条曲线的函数解析式为ysinx ,x,)()当x时,ysin,故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是cm答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“
15、力”所不及时,就会发生危险日常经验告诉我们,走“S”形可减少这种危险从数学的角度看,如答图所示,AB表示笔直向上行走的路线(ABCA),表示它与水平面所成的夹角,CB表示斜着向上所行走的路线,表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD答图现在的问题就是要研究和这两个角哪个大在RtBAD中,sinBDAB,在RtBCD中,sinBDCB,比较与,因为AB,CB分别是RtABC的直角边和斜边,所以ABCB所以BDABBDCB所以sinsin又因为,都是锐角,所以因此,汽车沿着CB方向斜着向上时要省力一些章末总结振幅变换 周期变换 相位变换第二章 平面向量第一节 平面向量的实际背景及基本概念
16、【课前导引】知识点大小 方向知识点()方向 起点 方向 长度 有向线段 长度知识点() ()个单位 ()相等 相同 ()相同或相反 平行【课堂精讲】变式训练 ()DC,AB()DE,DC,CD,EC,CE,AB,BA()DE,DC,CD,AB,BA,AE,EA,AD,DA,BD,DB,BC,CB【课后测评】C C B D C B B矩形 答案:由题意知,六边形EFGHKL是正六边形()GHLBHC()与GH共线的向量有GB,HC,EC,LE,LB()与EA平行的向量有EF,FB,HA,AH,KH,KB答案:因为ABDC,所以ABDC,且ABDC所以四边形ABCD是平行四边形所以DACB,且DA
17、CB又因为DA与CB的方向相同,所以CBDA同理,由CNMA可证四边形ANCM是平行四边形,所以CMNA因为DACB,NACM,所以DNMB又因为DN与MB方向相同,所以DNMBD DOC EB,DC EB,DC,OB,OC,AD B第二节 平面向量的线性运算第课时 平面向量的加、减运算及其几何意义【课前导引】知识点()和 AC 三角形法则()OC 平行四边形法则知识点()ba()a(bc)知识点()相等 相反 a零向量 a b a ()(b) 相反向量 BA b a【课堂精讲】变式训练答案:()BCCEEABEEABA()OEABEAOEEA( )ABOAABOB()ABFEDCABBDDC
18、ABBDDC( )ABBCAC答案:如答图所示,以GB,GC为邻边作平行四边形GBEC,其对角线交于点D,则BDCD,GBGCGEGD又由G为ABC的重心,知A,G,D三点共线,且AGGD,从而GAGD所以GAGBGCGDGD答图答案:()ABCD( )ACBD( )ABCDACBDABBD( )CDAC( )ADAD()ACBOOA( )DCDOOB( )ACBA( )DCDB( )BCBC答案:如答图所示,设此人在静水中的游泳速度为OB,水流速度为OA,则OCOAOB为此人的实际速度易知四边形OACB为矩形,其中有OB,OA,所以OC,COA所以,此人实际以km/h的速度沿与水流方向成角的
19、方向游答图【课后测评】A C A B D DAD 矩形 答案:()因为ABBEAE,ACCEAE,所以ABBEACCE()因为D为AB的中点,所以CDCACB同理,AEABAC,BFBABC所以EAFBDCAEBFCDABACBABCCACBABACBABCCACBA B, D C第课时 向量数乘运算及其几何意义【课前导引】知识点向量 向量的数乘()相同 相反 知识点()()a ()aa()ab (a) ab 知识点ba知识点ab【课堂精讲】变式训练答案:原式ababba a babij( )ij( ) i jijD答案:由题意,易知BCAD,且BMAB,BNBDADAB( )ADAB,所以A
20、BBM,BNBCBM因为,所以M,N,C三点共线【课后测评】B C B C D A ab 答案:连接AG,并延长交BC于点M因为ABba,ACca,BCcb,所以AMABBCba( )cb( )cba( )所以AGAMcba( )所以OGOAAGacba( )abc( )D A Bee 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示第课时 平面向量的基本定理及坐标表示【课前导引】知识点()不共线 ee ()基底知识点非零向量 () ()同向 ()反向 ()知识点()互相垂直 ()(x,y) (x,y)【课堂精讲】变式训练答案:解法一,设AC,BD交于点O,则有AOOCa,BOODb,ABAOOBAOBO
21、ab,BCBOOCab解法二,由向量线性运算的法则知ACABBC,BDADABBCAB,即aABBC,bBCAB,解该方程组可得ABab,BCababcC答案:因为OA(,),即点A的坐标为(,),由正方形的对称性知点B的坐标为(,),点C的坐标为(,),点D的坐标为(,),所以OB(,),OC(,),OD(,)【课后测评】C D A A A B(,) ba答案:因为D是BC的中点,所以ADab( ),AEADab( ),AFACb,BEAEABab( )aba( ),BFAFABbaba( )所以BEBF又因为BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线A(ab) (,) B第课时 平面向量
22、的坐标运算【课前导引】知识点()(xx,yy) (xx,yy)()(x,y)()(xx,yy)【课堂精讲】变式训练答案:由已知得AB(,),BC(,),AC(,),所以ABBCAC(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)答案:设a(x,y),b(x,y),则ab(xx,yy)(,),ab(xx,yy)(,)所以xx,yy,xx,yy,解得x,y,x,y所以a, ,b, 答案:解法一,因为A,B,C三点共线,即AB与AC共线,所以存在实数使得ABAC又ABOBOA(k,),ACOCOA(k,k),所以(k,)(k,k),即k(k),(k),解得k或k解法二,由题意知AB与AC共线,因为ABOB
23、OA(k,),ACOCOA(k,k),所以(k)(k)()(k),解得k或k【课后测评】D C C B B D aee (,)答案:因为a(,),b(x,),所以uab(,)(x,)(x,),vab(,)(x,)(x,)()uv(x,)(x,)(x,)(x,),所以xx,解得x()uv(x)(x),解得x此时,u(,),v(,),即uv,所以u与v同向A C (,) 第四节 平面向量的数量积第课时 平面向量数量积的概念和几何意义【课前导引】知识点abcos 知识点acos bcos【课堂精讲】变式训练 C【课后测评】D B B B A C B C B答案:设a与b的夹角为,则acos()ab(
24、)bcosD D B D 第课时 平面向量数量积的运算律和坐标表示【课堂精讲】变式训练答案:因为ABBCCDDA,即abcd,所以ab(cd)所以(ab)(cd),即aabbccdd又因为abdc,所以abcd同理,adbc,所以ac,且bd,即ac,且bd所以ABCD,且BCDA所以四边形ABCD为平行四边形所以ABCD,即ac又因为abbcab,即ab,所以ab,即ABBC所以四边形ABCD为矩形答案:()a(,)()答案:b, 或b, 【课后测评】D C A D D A答案:当A时,k;当B时,k;当C时,k答案:因为ac,所以ac又cmanb,所以cc(manb)c,即cmacnbc所
25、以cnbc 因为c,bc,所以n所以n从而cmab因为bcbccos,所以 b所以b由cmab得acmaab,所以mab,即abm由cmab得bcmabb,所以mab,即mab联立得m,即m,nD A答案:()因为a(,),b(,),所以x(t,t),ykt,kt 因为xy,所以(t)kt (t)kt 化简后可得ktt因为k,t,所以ktttt所以k,且当t时,k取得最大值()假如xy,则(t)kt (t)kt 化简得tkkt因为k,t,所以tkkt所以不存在k,t使得xy答案:因为ab,所以ab又由已知a(t)b(katb),所以kat(t)b因为a,b,所以kt(t)所以kt(t)t (t
26、)故当t时,k取得最小值,且最小值为B D第课时 平面向量数量积的简单运用【课堂精讲】变式训练答案:在平面内以点O为坐标原点建立直角坐标系,则O(,),A(,),B(,),P(,)()设点N的坐标为(x,y),则NA(x,y),NB(x,y)所以NANB(x)(x)(y)(y)xyxy因为点N为直线OP上的一个动点,所以N,O,P三点共线所以xy所以NANB(y)所以当y时,NANB取得最小值,此时x所以ON(,)()由()知NA(,),NB(,),所以NA,NB,NANB所以cosANBNANBNANB答案:()因为a(cos,sin),b(cos,sin),所以ab因为kabakb,所以k
27、abakb,即kakabb(akabkb)化简整理后得kab(k)a(k)bk,所以abkk(k)()因为abkkkkkk,所以当k时,ab取得最小值此时,cosabab,故B【课后测评】C C B A C D A 答案:因为ab与ab垂直,所以(ab)(ab),即aabb又ab与ab垂直,所以(ab)(ab),即aabb由可解得ab于是可化简为aba设a与b的夹角为,则有abcosa,解得cos,所以答案:由向量的数量积的定义,得abcos()因为ab(ab)aabb,所以ab()因为m(ab)abab,所以m因为n(ab)abab,所以n又mnaabb,设m与n的夹角为,则cosmnmn,即向量m
