1、第四章 模型参考自适应控制系统4.1 稳定型概念及基本定理在研究线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：特征根实部 负 则 系 统为渐 近 稳 定正 则 系 统为 不 稳 定0 简单 极点 系 统为稳 定 边 界多重极点 系 统 不 稳 定 但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来判断系统稳定性。模型参考自适应控制系统是非线性系统，不能用研究线性系统稳定性方法来研究其稳定性。用 直接法不需要解微分方程就可以判断其稳定性。1. 稳定性定义1） 平衡点设被控系统由向量微分方程描述(4.1-1)()=(), )， (0)=0在初始条件（ ）下它的解为：0,Xt
2、0(,)Xtt式中 状态向量=1, 2, 1向量函数(, )=1(, ),2(, ),(, )1若状态空间中某一点（某一状态） 对所有时刻均满足X(, )=0则称 为系统的一个平衡点。只要无外力作用 ，则系统永远X ()=0处于该平衡状态。对于线性系统 ，若 为非奇异矩阵，则系统只有一个()=()A平衡点 ()=0对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。通常假定平衡点为原点 =02） 稳定性定义定义 4.1-1（稳定性）如果对于给定时刻 ，只要t0，就总有 ，000()()图 4.1-1 稳定性示意图0()()图 4.1-2 渐近稳定性示意图只要 就有(0)0 (,0)0时，有 ， ， 则称
3、平衡(0)0 0=0 =0 2()0, |11121314|0, 0 则 是正定的。()若 是奇异矩阵，且它的所有顺序主子式非负，则 是半正定的。P ()2) 连续时间系统的 定理对于系统 有平衡点 即 ，若()=(), ) =0 (0, )=0 存在一个函数 ，它具有下列性质() 和梯度 连续（ 的连续函数） ；() ()=()1,()2,() 正定；() 为()=()()=()=()=()()负定； ；Lim()=则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：i. 满足条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的；ii. 若条件改为 半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐()进稳定的3) 求取合适的 函数对
4、于线性定常系统()=()它的平衡状态 ，渐近稳定的充要条件是对于任意给定的对称=0正定矩阵 ，存在一个对称正定矩阵 ，它是矩阵方程Q P+=的唯一解。并且 就是系统的 函数()= 证：取 ， 是正定函数()= 0 ()()=()=+=+=(+)=由于 是正定的， 是负定的， 可见 是渐进稳定的Q () =0=0举例：已知系统的运动方程为+2+43=0其中 判断平衡点 是否为稳定平衡点, 0 1=0, 1=0解：将微分方程改写成状态方程形式：1=22=214312令=12则=12= 0 12421 12选择 为()()=222+21+41 0 10, 20=0 1=0, 2=0() =22+21
5、1+4311=2(214312)+212+4312=212431222+212+4312=22由此可见，对于任意 ， ，当 ， 时=120 ()0对 求导数得到(4.3-3)=+1=12+1+1为保证 ，可令上式右边两项之和为 0，得到0此时自适应律变为(4.3-15)()=11=式中 =1按照(4.3-15)式给出的 MRAC 系统框图，如图 4.3-3 所示。()=0()()+(0)()() ()()/()()()()图 4.3-3 具有可调增益的 MRAC 系统3. 举例考虑模型为()=(1+1)2+1+0 0对象为()=(1+1)2+1+0 0求自适应律。解：广义误差方程为+1+0=
6、(1+) =其相应的能观性规范型状态方程为， ，=12= 1 = 0 10 1 =10=12=1 01 1111= 1 01 111= 1111若 ， ， 则 是正实函数00 10 111 ()则可以求得 += 2012 1111202211112022 2(12122) =111+12(111)121+22(111)=0在保证 和 对称正定的条件下，设 为对角矩阵，得到： 121+22(111)=0 22=1, 12=111 11112022=0 11=1(111)+01校核 的正定性 =2012 00 2(12122)=20(111) 00 2(11111)=20(111) 00 2=20
7、(111)00 2由 和20(111)0 =111+12(111)=11(111)+01+(111)(111)=212111+0212121+2111=021+1110所以自适应律为=1(021+111)()() 04. 单输入-单输出自适应系统的自适应规律的设计设可调系统包括对象，前馈和反馈调节器，其微分方程的各项系数都可能受干扰而变化。1) 数学模型参考模型的微分方程为：(4.3-16)()+1=0()=()+1=0()(4.3-1)()=+(1)1+1+0()+(1)(1)+1+0可调系统的微分方程为：(4.3-18)()+1=0()=()+1=01(4.3-19)()=+(1)1+1+
8、0()+(1)(1)+1+0其中 参考模型和对象的输出， 输入(), () 2) 广义误差方程设广义误差为 =将(4.4-16)-(4.4-18)得到误差方程(4.4-20)()+1=0()=1=0()+1=0()其中 =将(4.4-20)化为状态方程令 (参数误差=0, 1, , 1; 0, 1, , 1(+)1向量)误差状态向量=1, 2, , 其中 1=, 2=, , =(1)误差状态方程为(4.4-21)=+其中=0, 0, , 0, 1=0()1=0, 0, , 0, 1=0() 13) 构造 函数设二次型标量函数 (4.3-22)=12+式中 维对称正定矩阵 n0, 1, , 1;
9、 0, 1, , 14) 求自适应律求 对 的导数，得到 =12(+)+1=0+1=0=12(+)+(+)+1=0+1=0=12(+)+12(+)+1=0+1=001(1)mmnAaa=12(+)+1=0+1=0(4.3-23)( ) =, =11, =12, , =1 =(=1)1=0()=1=0( =1)()同理： =1=0(=1)()代入上式，得到：=12(+)+1=0+(=1)()+1=0+(=1)()(4.3-24)只要 ( 为正定矩阵成立)+=使(4.3-24)式后两项分别为 0，得到自适应律如下：(4.3-25)=1(=1)()=1(=1)()或者(4.3-26)=1(=1)()
10、=1(=1()()可以保证 ，在上述自适应律控制下 MRAC 系统是全局渐进0V稳定的。举例：设二阶系统 ，参数 未知或慢时变， +1+0= 1, 0, 参考模型微分方程为 ，传递函数：+1+0=，求自适应律。()= 2+1+0构成如图所示的可调系统，则可调系统的微分方程为：，传递函数： 其中 +1+0=()= 2+1+0， ，1=1+1 0=0+0 2+1+02+1+01+0自适应机构()+图 二阶 MRAC 单位框图解：求广义误差方程+1+0=1+0+式中1=110=00=写成状态方程形式=+写成状态方程形式式中 =0 101 = 01=0() =0设参数误差向量和广义误差向量分别为=0 1 =1 2 1= 2=取 函数为=12+式中 ，=0 =0, 1, 则 =12(+)+1=0+(2=12)()+(2=12)使 ， 为对称正定矩阵，则选择自适应律为+= 0=10(112+222)1=11(112+222)=1(112+222)或者0= 10(112+222)1= 11(112+222)=1(112+222)，对任意分段连续且频带较宽的输入信号 ， MRAC 系统是全0 局渐进稳定的。即lim()=0 lim()=0
