1、第一章 坐标变换 主讲人：张亚楠组员：蒋传鸿王亚兵邓波张亚楠分工：组长：蒋传鸿主要负责组员的合理分工、资料的收集及齿轮 的建模组员：王亚兵 1-3节内容 PPT制作邓波 4-7节内容 PPT制作张亚楠 PPT 后期处理及仿真分析提纲1.1齐次坐标1.2坐标转换1.3绕轴线的转动1.4转动和移动的 44矩阵1.5坐标变换实例1.6坐标变换应用 用于导出曲线 用于导出曲面1.7齿轮的实体仿真1.1 齐次坐标 在三维空间中，一个点的齐次坐标由四个数 来确定，这四个数不同时等于零，并且其中只有三个是独立数。假定 t* 0，则普通坐标和齐次坐标之间有如下的关系式 利用 t*=1，一个点可以用齐次坐标表示
2、为 ，而一个位置矢量可以用下面表示：1.2 坐标变换的矩阵表示同一点在不同坐标系之间的变换其中 为变换矩阵，表明坐标变换是从 到 。注：下标 n为新坐标系下的，下标 m为旧坐标下的1.2 坐标变换的矩阵表示逆坐标变换其目的在于在给定坐标 的情况下确定 。其中矩阵 为变换矩阵，可由 求逆得到，即1.2 坐标变换的矩阵表示我们考察普遍情况，即转动是绕着一个不与所使用坐标系的任一坐标轴相重合的轴线完成的。用 表示转动轴线的单位矢量（如图），并假定其可沿顺时针和逆时针方向转动。1.3 绕轴线的转动1.3 绕轴线的转动我们假定有两个坐标系 :固定坐标系 Sa 和动坐标系 Sb。这里有两个与绕 转动有关的
3、典型课题。1.假定有一矢量刚性固接在一个运动物体上其初始位置用 (如上图 )来标记。绕 转过 后，我们的目标是导出联系两矢量的方程，即 中的 La （下标 “ a” 表明两矢量在同一坐标系 Sa 中）2.同一矢量在不同坐标系中得表示问题，我们的目标是导出矩阵方程中的 Lba（ 和 表示同一位置矢量 分别在坐标系 Sa 和 Sb 下的表示 )1.3 绕轴线的转动将其标记为和首先定义由相关公式即可推出1.4 转动和移动的 44矩阵一般说来，两坐标系的原点是不重合的，并且其方向也是不同的。在这种情况下，坐标变换可以利用齐次坐标和 44矩阵，它们分别描述绕定轴线的转动和一个坐标系相对于另一坐标系的移动
4、。1.4 转动和移动的 44矩阵从 Sp 到 Sq 的坐标变换可以用下面的矩阵方程表示。44矩阵 Mnp描述从 Sp到 Sn的移动，并且用下式表示44矩阵 Mqn描述绕着具有单位矢量 的固定轴线的转动，由下式表示 1.5 坐标变换实例问题 1：坐标系 S1和 刚性固接到相对于固定坐标系 Sf进行转动和移动的齿轮和齿条刀具上 (图 1.5.1)。坐标系 S1中的点 M用位置矢量 来表示。 ( )确定同一点在坐标系 中的位置矢量 。 ( )通过矩阵 的各个元素表达逆矩阵 ，并且在 给定的情况下，确定位置矢量 。1.5 坐标变换实例解 ： ( )从 S1到 S2的坐标变换基于矩阵方程转动矩阵 Mf1
5、 描述绕轴线 Zf 的转轴， Zf 轴的单位矢量为从 S1 到 S2的转动是沿顺时针方向完成的，因此必须选取方程中下面的运算符号。考虑到 ，我们得到下列转动矩阵 的表达式1.5 坐标变换实例并且（ ）矩阵 不是奇异的，从而逆坐标变换是可能性的。为了确定逆矩阵 ，我们利用以上方程从而导出这样，利用矩阵方程1.5 坐标变换实例我们得到1.6 坐标变换应用坐标变换的技巧可以成功地用来导出某些曲线。假定所要导出的曲线是由完成规定运动的点形成的。相应地，假定曲面也是由完成规定运动的曲线形成的。用于导出曲线 外摆线 渐开线用于导出曲面 螺旋面1.6 坐标变换应用外摆线的形成1.6 坐标变换应用渐开线的形成动画1.6 坐标变换应用用于导出曲面1.7 齿轮的实体仿真谢谢观看谢谢观看
