2011年高考数学湖北卷(理科)-带答案.doc

1、2011 年高考数学湖北卷 (理科)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1.i 为虚数单位，则 （ ） 201i(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i2. 已知 ，则 （ ）2log,1,2UyxPyxUP(A) (B) (C) (D) ,0,0,0,1,23.已知函数 ，若 ，则 x 的取值范围为（ ）3sinco,fxxRf(A) 22,PkkZ(B) 5,66xx(C) ,3PkkZ(D) 5,6x4.将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记2ypx0为 n，则（ ）(A)

2、(B) (C) (D) 01n2n3n5.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ,N40.8P2P）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.66.已知定义在 R 上的奇函数 和偶函数 满足fxgx，若 ，则 （ ）20,1xfxgaa且 2a2f(A) (B) 2 (C) (D) 2 541747.如图，用 K、 三类不同的原件连接成一个系统，当 K 正常工作且 至少有一1A、 12A、个正常工作时，系统正常工作，已知 K、 正常工作的概率依次为12A、0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D)

3、 0.5768.已知向量 ，若 x，y 满足不等式 ，则 z,32,axzbyzab， 且 1xy的取值范围为：(A) (B) (C) (D) ,2,2,39.若实数 a，b 满足 ，则称 a 与 b 互补，记0,0ba且，那么 是 a 与 b 互补的2,(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯 137 衰变过程中，其含量 M(太贝克/年)与时间 t(单位：年)满足函数关系： ，其中 M0为 t=0 时铯 137 的含量，已知 t

4、=30 时，铯1302Mt137 含量的变化率为-10ln2( 太贝克 /年)，则 M（60）=(A) 5 太贝克 (B) 75ln2 太贝克 (C) 150ln2 太贝克 (D) 150 太贝克二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.11. 的展开式中，含 的项的系数为 .（结果用数值表示）183x15x12.在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期，从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）13.九章算术 “竹九节”问题：现有 1 根 9

5、 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升.14.如图，直角坐标系 xOy 所在的平面为 ，直角坐标系 （其中 轴与 y 轴重合）xOy所在的平面 ，45xO（）已知平面 内有一点 ，则点 在平面 内2P， P的射影 P 的坐标为 . （）已知平面 内的曲线 C/的方程是 ，则曲线 C/在平面 内的射影 C 的方程是 .20xy15.给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色， 时，在所有不同的着色方案中，黑4n色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 n=6 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种.，

6、至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种。 （结果用数值表示）三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 10 分）设 的内角 A、B、C 所对的边分别是 ，已知 ，,abc11,2cos4bC（）求 的周长（）求 的值。cos17.（本小题满分 12 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0,当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千

7、米/小时。研究表明：当 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一20次函数。（）当 ，求函数 的表达式；02xvx（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值。 （精确到 1 辆/小时）fvA18.（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱 的各棱长是 4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱1ABC上，且不与点 C 重合1C（）当 CF=1 时，求证： ;1EF（）设二面角 C-AF-E 的大小为 ，求 的最小tan值。19.（本小题满分 13 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且满足：anS*110,1arNrR（）求数列

8、 的通项公式n（）若存在 ，使得 成等差数列，试判断：对于任意的 ，*k12,kkS *mN且 ， 是否成等差数列，并证明你的结论。2m12,ma20.（本小题满分 14 分）平面内与两定点 连线的斜率之积等于非零常数的 m 的点12,0,0Aaa、的轨迹，加上 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆、或双曲线。2、（）求曲线 C 的方程，并讨论 C 的形状与 m 值的关系；（）当 m=-1 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为11,0,。设 是 的两个焦点。试问：在 上是否存在点 N,使得 的面积212F、 12FN。若存在，求 的值，若不存在，请说明理由。Sma12tanFN21.（本

9、小题满分 14 分）（）已知函数 求函数 的最大值；ln1,0,fxxfx（）设 均为正数，证明：,2kab（1）若 ，则112nnabb 12nbba（2）若 ，则 。2 212n 参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分1B 2D 3A 4C 5B6C 7B 8A 9C 10D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 25 分11 17 12 13 2156714 , 1521,4322xy三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分16.（本小题满分 10 分）解：（） ，22 1cos4,2cabCc故 的周长为 。ABC15（）

10、，os,in44sin5i8aAc，故 A 为锐角，ac7cos81ososcin6CC17.（本小题满分 12 分）解：（）由题意：当 时， =60，当 时，设02xvx20x。再由已知得： 解得：vxab0,6ab1,3,ab故函数 的表达式为vx,201203xvx（）由题意及（）可得： 6,20xfxx当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ；02xfx6120当 时， ，20x20111020333xfx当且仅当 时，等号成立。,即所以，当 时， 在区间 上取得最大值 。10xfx20,103综上， ，当 时， 在区间 上取得最大值 ，即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以

11、达到最大，最大值约为 3333 辆/小时。18.（本小题满分 12 分）解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得, , , ,0A230B4C104A,3E41F于是 ， ，则 ，1,C3,E1EF故 A（）设 ,平面 AEF 的一个法向量为 ，则由（）得：,04F,mxyz， , ,于是由 , 可得0,43E0AFAEF,即 ，取mAFxyz3,4m又由直三棱柱的性质可取侧面 的一个法向量为 ，于是又由 为锐角可得：1AC1,0n， ，所以 。23cos4nmA26sin42216ta3由 ，得 ，即0411ta3故当 时，即点 F 与点 重合时， 取得最小值1Ctn6319.（本

12、小题满分 13 分）解：（）由已知 可得 ，两式相减可得1narS21narS，即 ，又 ，2111nnnarSra21nnra21ra所以当 r=0 时，数列 为 a,0,0,0，；当 时，由已知 ，所以 ,0,r02,nN于是由 ，可得 ，所以 成等比数列，21nnar21nar23,na 当 时， 。2n综上，数列 的通项公式为：na2,1,nnar（）对于任意的 ，且 ， 是否成等差数列，证明如下：*mN12,m当 r=0 时，由（） ，知 ，,0na故对于任意的 ，且 ， 是否成等差数列；*212,m当 时， ， 。0,1rkkSa11kkSa若存在 ，使得 成等差数列，则 ，*kN

13、12, 2S，即 ，122kkkSa1kk由（） ，知 的公比 ，3,n r于是对于任意的 ，且 ， ，从而 ，*mN21ma24ma，即 是否成等差数列。12maa1,综上，对于任意的 ，且 ， 是否成等差数列。*12,m20.（本小题满分 14 分）解：（）设动点为 M，其坐标为 ，当 时，由条件可得：,xya，即 ，122MAyykxaxaA 22x又 的坐标满足 ，2,0,0、 22mya故依题意：曲线 C 的方程为 2xya当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 y 轴上的椭圆；1m221xyam当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是圆心在原点的圆；2当 时，曲线 C 的方程为 ，

14、C 是焦点在 x 轴上的椭圆；1021xya当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 x 轴上的双曲线；m2m（）由（）知，当 时，曲线 的方程为 ，1122ya当 时， 的两个焦点分别为1,0,212,0FamFa、对于给定的 ，,上存在点 ，使得 的充要条件是1C00Nxy2Sma22020,xyamA 由的 ，由得， ，0ya01may当 ，即 或 时，1m5,252存在点 N 使得， ；Sa当 ，即 或 时，1a152152m由 ，0,Fmxy0,NFaxy可得 2221 0NA令 ， ，2,st12则由 可得 ，12cosFtmaA2cosat从而 ，于是由221sin1si ta

15、n2comaSt2Sma可得： ，即2tt综上可得：当 时，在 上，存在点 N,使得 的面积 ，且15,0m1C12FN2Sa12tanFN当 时，在 上，存在点 N,使得 的面积 ，且50,1122Sma12tan当 时，在 上，不存在满足条件的点 N。51,2m1C21.（本小题满分 14 分）解：（） 的定义域为 ，令fx0,，解得10f1当 时， ， 在 上是增函数；xfxfx,当 时， ， 在 上是减函数；1故函数 在 x=1 处取得最大值fx10f（） （1）由（）知，当 ，有 ，即 ，,x10xfln1x，从而有 ，得 。,0kablnkalnkkbab,2求和得： 111lknnbkkk， ，即11nnkka1l0knba12l0nbba2nbb（2）先证： 。12nbb令 ，则 ，于是kan, 111nnkkab由（1）得 ，即12nbbb， 。1212 nnbb 12nbb再证 12221nbn 记 ,于是由（1）得 ，即21nkkS121nbbSS，1212nnbbb S 12221nbb n 综合， （2）得证。