1、2.3 映射的概念【课标要求】1了解映射的概念，掌握映射的三要素2会判断给出的两集合，能否构成映射【核心扫描】1映射与函数的关系(重点 )2映射概念的理解(难点)【自学导引】一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的 ，记作 f：AB.想一想：1.在映射 f：AB 中，B 中的每个元素，在集合 A 中是否都有元素与它对应？提示：B 中不是每个元素在集合 A 中都有元素和它对应，即使有元素和它对应，元素也不一定是唯一的2在映射 f：AB 中，若集合 A 中元素与 B 中元素的
2、对应是一对一的，这时集合 A 与集合 B 元素个数有什么关系？提示：相等【名师点睛】1映射包括集合 A，B 以及从 A 到 B 的对应法则 f，三者缺一不可2对于映射 f：AB 来说，应满足：集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应集合 A 中的不同元素，在集合 B 中对应的元素可以是同一个不要求 B 中的每一个元素在集合 A 中都有元素与之对应3映射是一种特殊的对应，映射中的集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是截然不同的，也就是说对应法则 f 具有方向性. 题型一：映射概念的应用【例 1】
3、设 f：AB 是从 A 到 B 的一个映射，其中 AB(x ，y)，x，yR ，f ：( x，y)(xy ，xy)(1)求 A 中元素(1，2)在 f 的作用下，对应 B 中的元素；(2)若 A 中的某个元素在 f 的作用下，在 B 中与之对应的元素为(1 ，2)，求 A 中的这个元素思路探索：本题是映射概念的应用，关键是紧扣定义，充分利用对应法则 f：(x，y)( xy，xy) 解：(1)由 x1，y2，得 xy 1，xy2，所求 B 中的元素为( 1，2)(2)由Error!得Error!或Error!所求 A 中的元素为(2，1)或( 1,2)规律方法：由于映射 f：AB 是单值对应，所
4、以由 A 中元素求 B 中元素时，结果是唯一的，但由 B 中元素来求 A中元素时，结果可能有多个【训练 1】已知集合 A1,2,3 ，k ，B 4,7，a 4，a 23a，且 aN ，kN，xA，yB，映射 f：AB，使 B中元素 y3x1 和 A 中元素 x 对应，求 a 和 k 的值解：根据 f：x y3x1 可知 1,2,3，k 的对应元素分别为 4,7,10,3k1，那么根据 B 可知 10B，故 a410 或 a23a10，aN ，a 23a10，a2.此时 B4,7,10,16 ，又 3k1B，3k14 或 3k17 或 3k110 或 3k116，得 k1,2,3,5，注意到集合
5、 A 中元素的互异性，经检验k5，a2，k5.题型二：求映射的个数【例 2】 已知 Aa，b，c ，B d，e问：A 到 B 能构成多少个映射？思路探索：给定两个集合，或构成映射的某些条件，要确定映射的个数，如果集合元素比较少时，可以直接列举出所有符合题意的映射解：根据映射的概念，可以分为“三对一”和“ 三对二”两种“三对一”型，有两个映射，即 f(x)d(xa，b，c )和 g(x)e( xa，b，c)“三对二”型，有如图所示的几种情况：共有 268(个)映射规律方法：(1)要特别注意的是：所谓 A 到 B 的一个映射是指通过对应法则使 A 中所有元素找到象，不要理解成一个元素对应一个映射(
6、2)一般地，在没有任意限制的条件下，要将一个 n 元集合映射到一个 m 元素集合共有 mn 个映射【训练 2】已知集合 A1,2，Ba，b ，建立从集合 A 到集合 B 的映射，并画图表示解：可建立 4 个映射，它们是：题型三：映射与函数的关系【例 3】判断下列对应是不是 A 到 B 的映射，是不是 A 到 B 的函数？(1)Aa|an， nN *，B b|b ，nN *，f：ab ；1n 1a(2)Ax|x0 ， BR，f：x y 2x；(3)A平面 M 内的矩形，B 平面 M 内的圆 ，f ：作矩形的外接圆审题指导：本题考查映射的概念以及映射与函数的关系等知识及其在解题中的应用【题后反思】
7、(1)判断一个对应是不是映射要紧紧抓住映射的定义的本质A 中任意一个元素在 B 中都要有唯一的一个元素与之对应，但集合 B 中的元素可以没有 A 中的元素与之对应即映射是两个非空集合 A 到 B 的一种确定的“一对一”或“多对一”的对应关系， “一对多 ”不能构成映射所以映射是对应，但对应不一定是映射，即映射是一种特殊的对应(2)判断一个对应是否为函数，首先看其是否为映射，在映射的前提下看两个集合是否为非空数集【训练 3】 下列对应是不是从 A 到 B 的映射，是不是 A 到 B 的函数？(1)Ax|x2，x N，By| y0，yZ ，f ：xyx 22x2；(2)AR ，B 0,1，f：x
8、yError!(3)Ax|xR ，By|yR ，f：x y ；x(4)设 A 矩形，B实数，对应法则 f 为矩形与它的面积的对应；(5)设 A 实数，B正实数 ，对应法则 f：x .1|x|解：(1)是映射因为 yx 22x2(x1) 211，所以对任意的 x，总有 y1.又当 xN 时，x 22x2 必为整数，即 yZ.所以当 xA 时，x 22x2B.所以对 A 中每一个元素 x，在 B 中都有惟一的 y 与之对应故(1)是映射因 A、B 都是数集，故也是函数(2)对于 R 中任何一个元素 x，在 B 中都有惟一的数 0 或 1 对应，故(2)是映射因 A、B 都是数集，故也是函数(3)任
9、一个 x 都有两个 y 与之对应，所以不是映射，也不是函数(4)对每一个矩形，它的面积是惟一确定的，所以是映射，但 A 不是数集，故不是函数(5)这不是映射，因为 x0 时，集合 B 中没有元素与之对应；也不是函数【误区警示】未正确理解映射中的象和原象导致错误【示例】已知映射 f：AB 中，A 中的元素( x，y) 和 B 中的元素(xy，xy )对应求(3,2)在 f 作用下的对应的原象错解： 因为Error!所以Error!所以(3,2)在 f 作用下所对应的原象为 (5,6)思维突破：求(3,2)的原象，说明(3,2)是 B 中元素，而求的是 A 中和它对应的元素，错解恰好弄反了正解：设
10、(3,2)在 f 作用下所对应的原象为(x，y)，则由题意得Error!解得Error!或Error!所以(3,2)在 f 作用下所对应的原象为(1,2)或(2,1)追本溯源：正确理解概念是解题的前提条件象和原象的概念是：映射 f：AB 中，与 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫作在映射 f 作用下的象， a 叫做 b 的原象.双 基 达 标 限 时 15分 钟 1下列各图表示的对应能构成映射的有_( 填序号) 解析：这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即 A 中每一个元素在对应法则下，B 中都有惟一的元素与之对应对于，A 的每一个元素在 B 中有 2 个元素与之对应，所以不是
11、A 到 B 的映射对于，A 中的元素 a3、a 4 在 B 中没有元素与之对应，所以不是 A 到 B 的映射综上可知能构成映射的是、.答案：2根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素解析：根据 f：x 2x1 知，12111,32315,52519.答案：1 5 93已知集合 Aa，b，集合 B0,1，下列对应不是 A 到 B 的映射的是_解析：均满足映射定义，不满足任一 A 中元素在 B 中有惟一元素对应，且 A 中元素 b 在 B 中无惟一元素与之对应答案；4下面对应是从 A 到 B 的映射的是_( 请写出序号) ，是函数的是_A你们班的同学 ，B 生日 ，f ：每个同学对应自己的生日；A
12、0,1,2,3，B 0,2,4,6，f ：c d(cA，dB)；12A非负有理数 ，B R，f：y (xA，yB)；xA2， 1,0,1,2，B 2，1,0,1,2，f：h (gA，hB)|g|g解析:由映射，函数的定义直接判断是映射，不是函数，因为 1 个人只有一个生日，A、B 不是数集是映射也是函数是映射也是函数不是映射，也不是函数，因为 0 没有对应元素答案 5对映射 f：AB，下列说法正确的是_A 中的每一个元素在 B 中有且仅有一个象；A 中不同的元素在 B 中的象必不相同；B 中的元素在 A 中都有原象；B 中的元素在 A 中可以有两个以上的原象，也可以没有原象解析:符合定义，是正
13、确的； 是错误的，因为 A 中不同的元素可以在 B 中有相同的象；是错误的，因为映射定义只要求 A 中的任一元素在 B 中都有唯一的象，不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有原象；是正确的，符合映射定义答案 6设集合 Ax| 4 x6， B y|yR ，映射 f：AB，f(x)x 23x4.(1)求 A 中的元素 0,1,3 在集合 B 中的对应元素；(2)求 B 中的元素 0 在集合 A 中的对应元素解:1)f( x)x 23x 4，f(0)4，f(1)0，f(3)14.(2)令 x23x40，解得 x 4，或 x1，即 B 中的元素 0 在集合 A 中的对应元素为4 或 1.综 合 提
14、高 限 时 30分 钟 7已知映射 f：AB，其中 A 3，2，1,1,2,3,4，集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的对应元素，且对任意 aA，在 B 中和它对应的元素是| a|，则集合 B 中元素的个数有_个解析 已知映射 f：AB，在集合 A 3，2，1,1,2,3,4中共有 7 个元素，其中两个不同元素3,3 对应 B 中相同的象|3| 3；2,2 对应 B 中相同的象|2| 2；1,1 对应 B 中相同的象|1|1；4 对应 B 中|4| 4.答案 48已知 B 1,3,5，若 f： x3x2 是 A 到 B 的映射，则含有三个元素的集合 A 为_解析 由 f：x3 x
15、2，分别令：3x21，3x23,3x25，得 x ， .A ， 1353 73 1353 73答案 ， 1353 739若集合 A0,1,2，f：xx 22x 是从 A 到 B 的映射，则集合 B 中至少有_个元素解析 由 A0,1,2，f：xx 22x，分别令 x0,1,2，x 22x0，1,0，又根据集合中元素的互异性，B 中至少有 2 个元素答案 210现给出两个集合 A1,2,3,4，B2,3,4,5,6,7,8,9，请你设计一个对应关系 f，并使其成为函数 f：AB.则此函数为_(写出一个即可 )解析 这是一道有助于学生再次理解函数概念的开放型问题，对应关系有很多种，比如 f(x)2
16、x 1，f (x)x2等答案 f(x) 2x111如图所示为 1988 年到 2012 年的奥运会中，我国每届奥运会获得的金牌数，设年份为x(x 1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012)，金牌数为 y.试判断 y 是否为 x 的函数，x 是否为 y 的函数解 由题图知，获得的金牌数 y 随着年份 x 的变化而变化，对于每一个 x 的值，都有唯一确定的一个 y 与它相对应，所以获得的金牌数 y 是年份 x 的函数由图知，金牌数 16 对应了年份 1996 和 2000，即对于每一个 y 的值，并非都有唯一确定的一个 x 与它相对应，所以年份 x 不是获得的金牌数 y
17、 的函数12设 f，g 是由 A 到 A 的映射，其对应法则如下表所示映射 f 的对应法则x 1 2 3f(x) 2 3 1映射 g 的对应法则x 1 2 3g(x) 2 1 3试求 f(g(1)，g(f(2)，f(g(f(3) 解:f(g(1)f(2)3，g( f(2) g(3)3，f (g(f(3)f (g(1)f(2)3.13已知集合 A1,2,3，B4,5,6，映射 f：AB 满足 4 是 1 的一个对应元素，则这样的映射共有几个解 1 对应 4,2、3 分别对应 5、6 中的一个共有 2 个；1 对应 4,2、3 分别对应 4 有 1 个；1、2 对应 4,3 对应 5、6 中的一个有 2 个；1、3 对应 4,2 对应 5、6 中的一个有 2 个；1 对应 4,2、3 对应 5 有 1 个；1 对应 4,2、3 对应 6 有 1 个共有 2122119(个 ).
