1、高中数学课件,宋老师 2019.5.18,数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离 华罗庚,第一章：集合与函数,第二章：基本初等函数,第三章：函数的应用,第一节：集合,第一章：集合与函数,二、集合的定义与表示,1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合。并用花括号括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。,2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。,一、请关注我们的生活，会发现,1、高一（9）班的全体学生：
2、A=高一（9）班的学生 2、中国的直辖市：B=中国的直辖市 3、2，4，6，8，10，12，14：C= 2，4，6，8，10，12，14 4、我国古代的四大发明：D=火药，印刷术，指南针，造纸术 5、2019年雅典奥运会的比赛项目：E=2019年奥运会的球类项目,如何用数学的语言描述这些对象？,集合的含义与表示,讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？,1、著名的科学家,2、1,2,2,3这四个数字,3、我们班上的高个子男生,讨论2：集合a,b,c,d与b,c,d,a是同一个集合吗？,三、数集的介绍和集合与元素的关系表示,1、常见数集的表示,N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集
3、（不含0) Z: 整数集 Q： 有理数集 R： 实数集,若一个元素m在集合A中，则说 mA，读作“元素m属于集合A”,否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。,1.5 N,四、集合的表示方法,1、列举法,就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法,注意：1、元素间要用逗号隔开；2、不管次序放在大括号内。,例如：book中的字母组成的集合表示为：,，o，,，,一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。,1,4,（1,4）,2、描述法,就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：,注意：1、中间的“|”不能缺失；2、不要忘记标明xR或者kZ，
4、除非上下文明确表示 。, x | p(x) ,例如：book中的字母的集合表示为：A=x|x是 book中的字母,所有奇数组成的集合：A=xR|x=2k+1, kZ,所有偶数组成的集合：A=xR|x=2k, kZ,思考：1、比较这三个集合：A=x Z|x10，B=x R|x10 ， C=x |x10 ；,例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。,解：(1)列举法：-1,1或1，-1。,(2)描述法：x|x2-1=0，xR或X|X为方程x2-1=0的实数解,2、两个集合相等,如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。,例：集合A=x|x为小于5的素数，集合A=x R|(x-1)(x-3)=0
5、，这两个集合相等吗。,根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：,1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为 ，注意：不能表示为。,2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集,五、集合的分类,练习题,1、直线y=x上的点集如何表示？,2、方程组 的解集如何表示？,x+y=2x-y=1,3、若1，a和a,a2表示同一个集合， 则a的值不能为多少？,集合间的基本关系,实数有相等关系、大小关系，如55，57，53，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？,观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？, A=1,2,3 , B
6、=1,2,3,4,5;,设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;, 设Cx|x是两条边相等的三角形，D=x|x是等腰三角形.,一、子集和真子集的概念,1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.,B,A,读作：A包含于B，或者B包含A 可以联系数与数之间的“”,2、真子集：,3、空集：,我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。,4、补集与全集,设AS，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的
7、补集，记作CSA ，即CSA x|xS,且xA,如图，阴影部分即CSA.,如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集，通常记作U。,例题、不等式组 的解集为A，UR，试求A及CUA，并把它们分别表示在数轴上。,1、CUA在U中的补集是什么？2、UZ，A=x|x=2k,kZ,B=x|x=2k+1,KZ,则CUA， CUB。,思考:,练习题,重点考察对空集的理解！,4、设集合A=x|1x3，B=x|x-a0，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。,5、设A=1，2，B=x|xA，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？,7、判断下列表示是否正确: (1)a a; (2) a a,b
8、; (3)a,b b,a; (4)-1,1 -1,0,1 (5)0; (6) -1,1.,4、补集与全集,集合与集合的运算,一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA，且xB AB可用右图中的阴影部分来表示。,U,A,B,AB,1、交集,其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。,例题：,1、A=-1,1,2,3,B=-1,-2,1,C=-1,1;,2,3,-2,-1,1,A,B,C,交集的运算性质：,思考题：如何用集合语言描述？,2、并集,一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作AB
9、，即 AB = x|xA，或xB AB可用右图中的阴影部分来表示,U,A,B,其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。,例题： 设集合A=x|-1x2,集合B=x|1x3 求AB.,解: AB=x|-1x2 x|1x3=x|-1x3,-1,1,2,3,并集的运算性质：,注意：计算并集和交集的时候尽可能的转化为图像，减少犯错的几率，常用的图像有Venn图，数轴表示法，坐标表示法。尤其是涉及到不等式和坐标点的时候。,练习题,1、判断正误（1）若U=四边形，A=梯形，则CUA=平行四边形（2）若U是全集，且AB，则CUACUB（3）若U=1，2，3
10、，A=U，则CUA=,2. 设集合A=|2a-1|，2，B=2，3，a2+2a-3，且CBA=5，求实数a的值。,3. 已知全集U=1，2，3，4，5，非空集A=xU|x2-5x+q=0，求CUA及q的值。,第二节：函数,第一章：集合与函数,函数及其表示,一、函数的概念,小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据如下：,年龄（岁）,身高（cm）,从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素“乘以10再加2
11、0”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以4.9”就得到集合D中的元素。,因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如下：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值（因变量），函数值的集合f(x)|x A叫做函数的值域。而对应的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20”和“
12、平方后乘以4.9”,二、映射,通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称 对应f：AB为集合A到集合B的一个映射。,国家,首都,中国,美国,韩国,日本,北京,华盛顿,首尔,东京,因此，函数是映射的一种特殊形式,三、函数的三种表示方法,解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。,四、开区间、闭区间和半开半闭区间,实数R的
13、区间可以表示为（- ,+ ）,深入理解函数表示方法的解析法,五、着重强调的几个问题及考试陷阱,1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节都会与函数进行穿插出题。 2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以多对一，而不能一对多。,1,-1,2,-2,1,4,平方,4,9,-2,3,开方,2,-3,3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是求定义域的典型考点。详见课本例题。,4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同，二是定义域和值域相同。,
14、2、下列几种说法中，不正确的有：_ A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； B、函数的定义域和值域一定是无限集合； C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定； D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。 E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。,练习题,4、求下列函数的值域,5、判断下列各组函数是否表示同一函数？,函数的基本性质单调性,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2，,设
15、函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.,当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，,单调区间,O,x,y,x1,x2,f(x1),f(x2),二、函数单调性考察的主要问题,3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2，且x2x1，通过计算f(x2)f(x1)0或者0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f
16、(x2)f(x1)是大于0还是小于0。,2、x 1, x 2 取值的任意性.,例1、下图为函数y=f(x), x-4,7 的图像，指出它的单调区间。,-1.5，3，5，6,-4，-1.5，3，5，6，7,例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：,数缺形时少直观,_,讨论1：根据函数单调性的定义，,讨论2： 在(-，0）和（0，+)上 的单调性？,例3.判断函数 在定义域1，+）上的单调性，并给出证明：,形少数时难入微,证明：在区间1，+）上任取两个值x1和x2，且x1x2,则,，且,所以函数 在区间上 是增函数.,取值,作差,变形,定号,结论,练习题,函数的基本性质极值（最大值和最小值）,一元
17、二次函数,一、定义,一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a0)，那么，y叫做x的二次函数。,由y=ax2+bx+c,配方,y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k,y=a(x-x1)(x-x2),二、三种解析式及使用范围,三、一般式中a，b，c的作用和判断,(1)a确定抛物线的开口方向：,(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:,(3)a、b确定对称轴 的位置:,ab0,ab=0,ab0,0,=0,0,0,=0,0,数缺形时少直观,四、平移问题,对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下： 向右平移k个
18、单位，则平移后的表达式为y=f(x-k)； 向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)； 向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x)； 想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x); 如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k),注意： 1、在替换的时候要替换所有的，尤其是x，替换时候最好带上括号，避免出错。 2、平移的先后次序不影响平移结果，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。,(
19、3),连线,画对称轴,确定顶点,确定与坐标轴的交点 及对称点,D,(5),当x-1时，y随x的增大而减小; 当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2,由图象可知,(6),当x1时，y 0,当-3 x 1时，y 0,1.抛物线 的顶点坐标是( ). (A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8),2.在同一直角坐标系中，抛物线 与坐标轴的交点个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个,3.已知二次函数的图象如图所示，则有（ ）() a0,b0,c0 () a0,b0,c0 (C) a0,b0,c0 (D) a0,b0,c0,四、巩固练习,4、二次
20、函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。 5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是_ 6、已知函数y=x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_ 7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= _。,8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是_,abc b 2a+b=0 =b-4ac 0,9、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2， 则x1+x2等于_.10、数f(x)=2x2-mx+3，当x(-,-1时是减函数，当x(-1,+)时是增函数，则f(2)= _. 11、关于x的方程x2+(
21、a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( ) (A)-1a1 (B)a-2或a1 (C)-2a1 (D)a-1或a2,12、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则 (x-1)2+(y-1)2的最小值是( C ) (A)-12 (B)18 (C)8 (D)34 13、设函数f(x)=|x|x+bx+c，给出下列命题： b=0,c0时，f(x)=0只有一个实数根； c=0时，y=f(x)是奇函数； y=f(x)的图象关于点(0，c)对称； 方程f(x)=0至多有2个实数根. 上述命题中的所有正确命题序号是_,函数的基本性质奇偶性,1、已知函数f(x)=x
22、2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1), 及f(-x) ,并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x),说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等即f(-x)=f(x),如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.,偶函数定义:,2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x),解:,f(-2)=(-2)3=-8
23、 f (2)=8,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x),说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x),奇函数定义:,如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.,对奇函数、偶函数定义的说明:,（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如， f(x)=x2 (x0)是偶函数吗,（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立
24、。若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。,（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x) 具有奇偶性。,例1. 判断下列函数的奇偶性,解:,定义域为R,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),即 f(-x)= - f(x),f(x)为奇函数,解:,定义域为R,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,即 f(-x)= f(x),f(x)为偶函数,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2,（2）奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.,（
25、1）偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。.判断函数的奇偶性。,奇偶函数图象的性质:,两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。,两个性质: 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。,一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。,(2) f(x)= - x2 +1,(3). f(x)=5 (4) f(x)=0,练习题,(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 ,
26、3,第二章：基本初等函数,第一节：指数函数,指数与指数幂的运算,根式,探究,a，a0,a，a0,分数指数幂,指数运算法则,结合具体的理解进行记忆,引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数：1，2，3，4，x 细胞个数：2，4，8，16，y 由上面的对应关系可知，函数关系是,引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为,我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即： ，其中x是自变量，函数定
27、义域是R,定义,指数函数及其性质,探究1：为什么要规定a0,且a 1呢？ 若a=0，则当x0时， =0；当x 0时， 无意义. 若a0且a1 在规定以后，对于任何x R， 都有意义，且 0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).,引例：,例题讲解：,课本P56、57中的例6、例7和例8,课堂练习：,课本P58的练习1、2,进一步拓展,进一步拓展,复合函数求单调区间,综合练习,课本P59页习题2.1,第二章：基本初等函数,第二节：对数函数,对数及其运算,前节内容回顾：,引导：,定义：,两种特殊的底：10和e,探究：,结论： 负数和零没有对数。,练习： 课本P64页,对数运算法则,探究：,
28、换底公式的证明与应用,例题讲解：,课堂练习：,1、课本P65页，例2例6：,1、课本P68页,对数函数及其性质,我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数 _表示。,反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？,1,2,4,y=2x,复习引入,y=2x,xN,1、对数函数的定义：,2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系,对数函数的图像和性质,例1：求下列函数的定义域： （1） ； （2
29、） ； （3）,反函数,1、定义：,2、求法：,已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下： （1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式 （2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式,3、注意：,只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x,？,练习,课本P73,74页,第二章：基本初等函数,第三节：幂函数,幂函数定义,注意：,第三章：函数的应用,第一节：函数与方程,要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫做函数y=
30、f(x)(xD)的零点.,f(x)=0,基础知识 自主学习,（2）几个等价关系方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_有交点 函数y=f(x)有_. (3)函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b),使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0,(a，b),f(c)=0,c,x轴,零点,2.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与零点的关系,(x1,0), (x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法 （1）二分法的定义对于在区间a，b
31、上连续不断且_的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_,给定精确度 ；第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_： 若_，则x1就是函数的零点； 若_，则令b=x1 (此时零点x0(a,x1); 若_，则令a=x1 (此时零点x0(x1,b); 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b| ,则 得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a
32、)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,基础自测 1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的 零点是 （ ） A.0，2 B.0， C.0， D.2, 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).令g(x)=0，得x=0,x= g（x）的零点为0，,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则a的取值范围是 （ ）A. B.a1C. D. 解析 f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点，则f(-1)f(1)0,即,D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点
33、横坐标的是 （ ） 解析 图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函数f（a）f（b）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（ ）A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=mx2-3x+6D.f(x)=ex+3x-6解析 对选项D，f（1）=e-30，f（1）f（2）0.,D,5.设函数 则函数f(x)- 的零点是_.解析 当x1时， 当x1时， (舍去大于1的根). 的零点为,题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f（x）=x2-3x-18，x1，8；(2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.第（1）问利用零点
34、的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）方法一 f（1）=12-31-18=-200， f(1) f(8)0， 故f(x)=x2-3x-18,x1，8存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x1，8. (x-6)(x+3)=0， x=61，8,x=-31，8， f（x）=x2-3x-18，x1，8有零点.,(2)方法一 f（1）=log23-1log22-1=0,f(3)=log25-3log28-3=0, f（1） f（3）0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点. 方
35、法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x1，3存在零点. 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.,探究提高,知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x3+1; （2） x（0，1）.解 （1）f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令f(x)=0，即(x+1)(x2-x+1)=0,x=-1,f(x)=x3+1有零点-1. （2）方法
36、一 令f(x)=0，x=1, 而1 (0,1), x(0,1)不存在零点.,方法二 令 y=x,在同一平面直角坐标系中， 作出它们的图象,从图中可以看出当0x1时,两图象 没有交点.故 x(0，1)没有零点.,题型二 函数零点个数的判断 【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数.该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.,思维启迪,解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只有一个交点, 故函数y=ln x+2x-6只有一个 零点.若采用基本作图法，画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.
37、构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.,探究提高,知能迁移2 已知函数 (a1),判断 f(x)=0的根的个数.解 设f1(x)=ax (a1),f2(x)=则f(x)=0的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标.在同一坐标系中，作出函数f1(x)=ax (a1)与f2(x)= 的图象(如图所示）.两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且只有一个根.,题型三 零点性质的应用 【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0).(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；(2)
38、确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.（1）可结合图象也可解方程求之. （2）利用图象求解.,思维启迪,解 （1）方法一 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e，+)， 4分 因而只需m2e，则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图：4分 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e. 6分,方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分等价于 故m2e. 6分(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根， 即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个 不同的交点，,作出 （x0）的图象. f（x）
39、=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 10分 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是（-e2+2e+1,+). 12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构 造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求 参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-
40、1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由.解 =(3a-2)2-4(a-1)0若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0.所以a 或a1.,检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1. 方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1. (2)当f(3)=0时，a= 解之得x= 或x=3. 方程在-1,3上有两根,不合题意,故a 综上所述,a1.,1.函数零点的判定常用的方法有
41、：零点存在性定理；数形结合；解方程f（x）=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.(3)一般我们只讨论函数的实数零
42、点.(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.,失误与防范,2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在a,b上连续; (2)f(a)f(b)0; (3)在（a,b）内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.,一、选择题 1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点 的区间是 （ ） A.0，1 B.1，2C.-2，-1 D.-1，0解析 f（-1）=3-1-(-1)2= f（0）=30-02=10，f（-1）f（0）0，有零点的区间是-1，0.,D,定时检测,2.(2009天津理，4)设函数 (x0),则y=f(x) （ ）A.在区间
43、(1,e)内均有零点B.在区间 (1,e)内均无零点C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点,解析 因为因此f(x)在 内无零点.因此f(x)在(1，e)内有零点. 答案 D,3.（2009福建文，11）若函数f（x）的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是 （ ）A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1 D. 解析 g(x)=4x+2x-2在R上连续且设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则,又f(x)=4x-1零点为f(x)=(x-1)2零点为x=1;f(x)=e
44、x-1零点为x=0;零点为 答案 A,4.方程|x2-2x|=a2+1(aR+)的解的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析 aR+，a2+11.而y=|x2-2x|的图象如图，y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点.方程有两解.,B,5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取 值范围是 （ ）A. B. C. D. 解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.,如图，作出函数y=|x|(x-1)的 图象，由图象知当k 时， 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点，即方程有3个实根. 答案 A,6.设f(x)=x3+bx+c (b0)(-1x1),且则方程f(x)=0在-1,1内( ) A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根 D.没有实数根解析 f（x）=x3+bx+c （b0），f(x)=3x2+b0,f（x）在-1,1上为增函数, 又 f（x）在 内存在唯一零点.,
