1、 授课内容第六章 线性空间 第一讲 集合映射教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号与乘积号的定义教学重点 集合映射的有关定义教学难点 集合映射的有关定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义:(集合的交、并、差) 设 是集合, 与 的公共元素所组成的集SAB合成为 与 的交集,记作 ；把 和 B 中的元素合并在一起组成的集合ABA成为 与 的并集,记做 ；从集合 中去掉属于 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 与 B 的差集,记做 .定义:(集合的映射) 设 、 为集合.如
2、果存在法则 ,使得 中任意元fA素 在法则 下对应 中唯一确定的元素(记做 ),则称 是 到 的一af )(afB个映射,记为 ).(,:fBAf如果 ,则 称为 在 下的像, 称为 在 下的原像. 的baf)(aabfA所有元素在 下的像构成的 的子集称为 在 下的像,记做 ,即f)(.Aff|)(若 都有 则称 为单射.若 都存在,a),(afff,Bb,使得 ,则称 为满射.如果 既是单射又是满射 ,则称 为双bf)( f射,或称一一对应.2.求和号与求积号(1)求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域 上 个数 ,我们使用如下记号:Knn
3、a,21, .niaa121 nia121当然也可以写成, .niaa121 nia121(2)求和号的性质容易证明, , .niniia11nniii bab11)( nimjnijjia11事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状: nmnmaa 212112分别先按行和列求和,再求总和即可.讨论、练习与作业课后反思授课内容第二讲 线性空间的定义与简单性质教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质教学重点 线性空间的定义与简单性质教学难点 线性空间的定义与简单性质教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一.线性空间的定义(1)定义 1(线
4、性空间) 设 V 是一个非空集合,且 V 上有一个二元运算“+”,又设 K 为数域,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“ ”(V,且“+”与“ ”满足如下性质:)1、 加法交换律 ,有 ；,V2、 加法结合律 ,有 ；()()3、 存在“零元”,即存在 ,使得 ；0,0V4、 存在负元,即 ,存在 ,使得 ；V5、 “1 律” ；16、 数乘结合律 ,都有 ；,klK()()kllk7、 分配律 ,都有 ；V8、 分配律 ,都有 ,k()kk则称 V 为 K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“ ”的定义,不光与集合 V 有关.(2)零向量和
5、负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质命题 1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.证明:设 与 均是零元素,则由零元素的性质,有 ；0 0,设 都是 的负向量,则V,()()于是命题得证.由于负向量唯一,我们用 代表 的负向量.定义 2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:定义为 .()命题 2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:1、 加法满足消去律 ；2、 可移项 ；3、 可以消因子 且 ,则 ；k01k4、 .0,()(3)线性空间的例子例 1 令 V 表示在 上可微的函数所构成的集合,令 ,V 中加法的()abKA定义就是函数的加法,关
6、于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成 K 上的线性空间.二 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.定义 3(线性组合) 给定 V 内一个向量组 ,又给定数域 K 内 s12,s个数 ,称 为向量组 的一个线性12,sk 12skk s组合.定义 4(线性表出) 给定 V 内一个向量组 ,设 是 V 内的一个12,s 向量,如果存在 K 内 s 个数 ,使得 ,则称12,sk 2skk向量 可以被向量组 线性表出.s定义 5(向量组的线性相关与线性无关) 给定 V 内一个向量组 ,12,s如果对 V
7、 内某一个向量 ,存在数域 K 内不全为零的数 ,使得12,sk,则称向量组 线性相关；若由方程120skk 12,s必定推出 ,则称向量组s 0skk线性无关.12,s命题 3 设 ,则下述两条等价:12,sV1) 线性相关；12,s2)某个 可被其余向量线性表示.i证明同向量空间.定义 6(线性等价) 给定 V 内两个向量组(),12,r(),s如果()中任一向量都能被()线性表示,反过来,()中任一向量都能被()线性表示,则称两向量组线性等价.定义 7(极大线性无关部分组) 给定 V 内一个向量组 ,如果它12,s有一个部分组 满足如下条件:12,rii(i)、 线性无关；12rii(i
8、i)、原向量组中任一向量都能被 线性表示,12,rii则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.nK定义 8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.例 2 求证:向量组 的秩等于 2(其中 ).12,xe12证明:方法一:设 R,满足 ,则 ,假若12k120xxke12xxke不全为零,不妨设 ,则有 ,而由于 ,等号左边12k10k12()21xke12为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是 .2
9、0所以 线性无关,向量组的秩等于 2.证毕.12xe方法二:若在 上 ,()ab120xxke两端求导数,得 ,12以 代入,有()xcab12,0.ccke而 ,12122()1)ccce于是 .证毕.10k讨论、练习与作业课后反思授课内容第三讲 维数、基与坐标教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握线性空间的基与维数,向量的坐标的有关定义及性质教学重点 基与维数、向量坐标的有关定义教学难点 基与维数、向量坐标的有关定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一 、 基和维数设 V 是数域 F 上一个向量空间,1，2，nV令 L(1,2，n)= ，则 L(1，2，Fkknni
10、i且21n)是 V 的一个子空间，叫做由 1,2,n 生成的子空间，其中向量1，2，,n 叫做这个子空间的一组生成元例 1 在 Fx中，由多项式 1，x，xn-1 所生成的子空间为L(1，x，xn-1)=a0+a1x+an-1xn-1| aiF，就是 F 上一切次数小于 n 的多项式连同零多项式所成的子空间 Fxn设 是向量组1,2,n的一个极大无关组由命题riii， 213，子空间 L(1，2，n)的每一个向量都可以由 线性riii， 21表示另一方面 的任意一个线性组合自然是riii， 21L(1，2,n)中的向量因此我们有命题 1 设1，2，n是向量空间 V 的一组不全为零的向量，而 是
11、它的一个极大无关组则rii,2L(1，2，n)=L( ) rii,21根据这个命题，若子空间 L(1，2，n)不等于零空间，则它总可以由一组线性无关的生成元生成一个向量空间 V 本身也可能由其中某 n 个向量生成，因此引入以下的定义 1 设1，2，n是数域 F 上向量空间 V 的向量组，满足以下条件：1)1，2，n 线性无关；2)V 中每一个向量都可以由 1，2，n 线性表示，则称1，2，n 是 V 的一个基例 2 在空间 V2 里，由原点出发的任意两个不共线的向量 1，2 都构成一个基；在 V3 里，由原点出发的任意三个不共面的向量 1，2，3 都构成一个基例 3 在数域 F 上的 mn 矩
12、阵空间 Fmn 里，A=(aij)mnFmn，都可以表成A=minjijEa1；且若 即(aij)mn 是零矩阵，则 aij=0，i=1，m，j=1，minjijEa10，n因此, 是 Fmn 的一个基1njij ，；， 数域 F 上的一个向量空间若有基，当然不只有一个基然而根据基的定义，一个向量空间的任意两个基是彼此等价的于是由推论 1，一个向量空间的任意两个基所含向量的个数是相等的因此引入定义 2 一个向量空间 V 的一个基所含向量的个数叫做 V 的维数，记作dimV零空间的维数定义为 0这样，空间 V2 的维数是 2，V3 的维数是 3；Fn 的维数是 n；向量空间Fmn 的维数是 mn
13、例 4 求数域 F 上所有 n 阶反对称矩阵组成的向量空间 V 的一个基及其维数解 任一 n 阶反对称矩阵 A 具有形式00212112 nnaA因此 3113212EEa 1111 nnnna由于，jiijijjjiij EE所以 都是反对称矩阵假设113121 nE， ，0113322 nnkkk由于 是 Mn(F)的一个基，所以1,1njnij ，； ， 2E线性无关，从而由可推出 ，13E1E， 12k故 线性无关又由便可得出，kn10121nE， 是 V 的一个基，且21n， 2121dimn若一个向量空间不能由有限个向量生成，则它自然也不能由有限个线性无关的向量生成对这一情形，就说
14、这个向量空间是无限维的例 5 Fx作为 F 上向量空间是无限维的事实上，假设 Fx由有限个多项式 f1(x)，f2(x)，ft(x)生成自然可以设这些多项式都不为零令 n 是这 t 个多项式的次数中最大的，则 Fx中次数大于 n 的多项式不可能由这 t 个多项式线性表示这就导致矛盾，故Fx是无限维的由此易见1 中向量空间 Ca，b也是无限维的命题 2 在 n 维向量空间 V 中，任意 n 个线性无关的向量都是 V 的一个基证 设 1，n 是 V 中 n 个线性无关的向量任取 V，只要证 可由 1，n 线性表示，则 1，n 便是 V 的一个基因为 dimV=n，所以 V 有一个基 于是向量组 1
15、,n， 可由 1，nn， 21线性表出因为 n+1n,所以由定理 2 推得，1，n， 线性相关由于1，n 线性无关，所以由命题 4 知道， 可由 1，n 线性表示 由命题 2 的证明易见命题 3 n 维向量空间中个数多于 n 的任意向量组一定线性相关 定理 1 在 n 维向量空间 V 中，任意一个线性无关的向量组1，r都可以扩充成 V 的一个基证 若 r=n，则 1，n 是 V 的一个基下设 rn此时由 dimV=n 知道 V 有一个基 于是,由定理 6.2.2，不妨设向量组n， 21与 等价此时，r， 1,n， 21线性无关，因此，由命题 2 知道它是由1，r nr， 1扩充的 V 的一个基
16、 二、 坐标基的重要意义主要在于以下的定理 2 设 是向量空间 V 的一个基则 V 的每一个向量可21n， 以唯一地表成基向量 的线性组合， 证 因为 是 V 的生成元，所以V 都可以表成n， 21的线性组合n， 21nkk21现证这种表示法是唯一的若 还可以表成n21则 nkkk21但 线性无关，故 ，即 ，i=1，nn， 21 0i i设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间，1，2，n是 V 的一个基于是 V 的每一向量 可以唯一地表成nxx21因此，取定 V 的基1，2，n之后，对 V 的每一个向量 ，有唯一的 n 元数组(x1，x2，,xn)与它对应此时，xi 叫做向量 关于基1，
17、2，n的第 i 个坐标；(x1,x2,xn)叫做向量 在基1,2,n下的坐标例 6 取定 V3 中三个不共面的向量 1，2，3则 V3 的每一向量可以唯一地表成 321xx的形式向量 在基1，2，3下的坐标就是(x1，x2，x3)例 7 Fn 的向量 = 在标准单位基 下的坐标就),(21na ne,21是 ),(21na设 n 维向量空间 V 的向量 ， 在基 下的坐标分别是21n， (x1，x2，xn)和(y1，y 2，yn)：，nxx1 nyy21则nnyxyxyx 21若 kF，则nkxkxk21于是得到定理 3 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间， 是 V 的一个,21n基若
18、 ，V，它们在基 下的坐标分别是 和,21 ),(x，则 + 在这个基下的坐标就是(x1+y1，x2+y2，xn+yn)；),(21ny又若 kF则 k 在这个基下的坐标就是 ),(21nkx三、 子空间的维数由定理 2 和定理 1 得到命题 4 设 V 是 F 上 n 维向量空间，W 是 V 的一个子空间，则 Wdim；并且 W 的一个基可以扩充为 V 的一个基 Vdim命题 5 同命题 4 所设，则 W=V，当且仅当 = dimi证 必要性是显然的反之，即 = =n，1,2,n是 Wi的一个基，则它是 V 的一个线性无关向量组于是，由命题 6.3.2 知道它也是V 的一个基因此，W=L(1
19、，n)=V定理 4 V 中向量组1，2，s生成的线性子空间L(1，2，s)的维数等于向量组1，2，s的秩；向量组1，2，s的一个极大线性无关组就是 L(1，2，s)的一个基证 设向量组1，2，s的一个极大线性无关组是，由线性表示的传递性，1，s中每一个向量可以rjjj， 21由 线性表出，从而 是 L(1，2，s)的一rjj, rjj,21个基由此得出 L(1，2，s)的维数等于向量组1，2，s的秩 命题 6 向量空间 V 中两个向量组1，2，s与 生成的子空间相同的充分且必要条件是这两个向量组等价m，,21证 必要性 若 L(1，2，s)=L( )，则易见这两m，,21个向量组等价充分性 若
20、 1，2，s 与 等价，则由线性表出的传m，,21递性，L(1,2,，s)中任一向量可由 线性表出，因此,L(1,2,，s) L( )同理，有 L( )m，,21 m，,21L(1，2,，s)所以 L(1，s)= L( ) ，,讨论、练习与作业课后反思授课内容第四讲 基变换与坐标变换教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式教学重点 基变换与过渡矩阵的定义、运算, 坐标变换公式教学难点 坐标变换公式的应用教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、线性空间的基变换,基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间,设 和 是两组基,且12,n
21、 12,n2122,.nnntttt 将其写成矩阵形式.1212121212(,)(,)nnnnntttt 定义 11 我们称矩阵 121212nnnttTtt为从 到 的过渡矩阵.12,n 12,命题 6 设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基 .T 是 K 上一个12,nn 阶方阵.命 1212(,)(,).nnT 则有 是 V/K 的一组基,当且仅当 T 可逆.12,n证明:若 是线性空间 V/K 的一组基,则 线性无关., 12,n考察同构映射 ,构造方程下 的 坐 标在 nnKV,: 21, 其中 ,12()()()0nkk ()ikK,1 120n线性无关.2nkk (),()
22、构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆；1(),()反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程,其中 ,120nkk ,(12,)ikKn两边用 作用,得到 ,12()()0n.证毕.kk二、向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵nK(1)向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为 和 ,又设 在 下的12,n 12,n 12,n坐标为 ,即12,na,1212(,)na 在 下的坐标为 ,即12,n 12(,)nb.1212(,)nb 现在设两组基之间的过渡矩阵为 T,即 1212(,)(,).nnT 记, ,12naX12nbY于是 12121212(,)(,)(,)(,)(nnnnYTYTY
23、 .于是,由坐标的唯一性,可以知道 ,这就是坐标变换公式.X(2) 中两组基的过渡矩阵的求法nK我们设 中两组基分别为和 112212(,)(,).nnnna 112212(,)(,).nnnnb 而 12(,).T 按定义,T 的第 i 个列向量分别是 在基 下的坐标.i ,n将 和 看作列向量分别排成矩阵12,n 12,n； ,1212nnaaA 121212nnnbbB则有 ,将 A 和 B 拼成 分块矩阵 ,利用初等行变换将左边T|A矩阵 A 化为单位矩阵 E,则右边出来的就是过渡矩阵 T,示意如下:.)|()|(TE 行 初 等 变 换讨论、练习与作业课后反思授课内容第五讲 线性子空
24、间，子空间的交与和教学时数 2 授课类型 讲授教学目标通过本节的学习,掌握线性子空间的定义、判别定理，掌握子空间的交与和的定义、性质及维数公式教学重点 线性子空间的定义、判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式教学难点 线性子空间的判别定理，子空间的交与和的定义及维数公式教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、线性空间的子空间的定义定义 12(子空间) 设 V 是数域 K 上的一个线性空间,M 时 V 的一个非空子集.如果 M 关于 V 内的加法与数乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间 ,则称为 V的一个子空间.命题 7 设 V 是 K 上的线性空间,又设一个非空集合 ,则 是子空W间当且
25、仅当下述两条成立:i) 对减法封闭； ii) 对于 K 中元素作数乘封闭.W证明:必要性由定义直接得出；充分性:各运算律在 V 中已有,所以 W 满足运算律的条件.只需要证明 且对于任意 , ,且对加法封闭即可.0事实上,由于 关于数乘封闭,则 ； ,于0(1)W是对于 , ,W 关于加法封闭.于是 W 是 V 的一W()个子空间. 证毕.事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论.命题 8 设 W 是 V 的一个有限维子空间,则 W 的任一组基可以扩充为 V 的一组基.证明:设 , , ,若 ,则命题为真；dimnir()nr若 ,对 作归纳:设 为 W 的一组基,取 ,则rr12r
26、1rV线性无关.于是令 ,易见,W121,r 1|,rkkK是 V 的一个子空间,且 ,此时 ,对其用归纳dirdimnr假设即可.二、子空间的交与和,生成元集定义 13 设 ,则12,tV|,12,tikkKt 是 V 的一个子空间,称为由 生成的子空间,记为 .12,t 12(,)tL易见,生成的子空间的维数等于 的秩.12t定义 14(子空间的交与和) 设 为线性空间 V/K 的子空间,定义12,V,称为子空间的交；1212Vv且,称为子空间的和.1|v命题 9 和 都是 V 的子空间.122证明:由命题 4.7,只需要证明 和 关于加法与数乘封闭即可.1212事实上, ,则 , .由于
27、 均是 V 的子空12,12,间,则 ,于是 , 关于加法封闭；V12V, , ,于是 , 关于数乘封12kK12vkkv12闭.,则由 的定义, ,使得12,V12V122,V,而 ,则122,1211212()()()()关于加法封闭； , ,使得12V2,VkK1,V,由于 ,则1,k, 关于数乘封闭.证毕.12212()k12命题 10 设 是 V 的子空间,则 和,m 12mV均为 V 的子空间.12mV三.维数公式.定理 1 设 V 为有限维线性空间, 为子空间,则12V.12 12di()diimdi()V这个定理中的公式被称为维数公式.证明:设 , , , ,取1imVs2it
28、12i()n12i()r的一组基 (若 =0,则 ,基为空集),将此基分别扩122r 1V0r充为 的基12,V,1212,rsr ,rtr 只需要证明 是 的一组基121212,rsrtr 12V即可.首先,易见 中的任一向量都可以被12V线性表出.事实上 , ,则12 12,rsrtr 12V,其中 ,而1212,rrrsrkkkk 21 .rrtrllll ijlK于是 可被 线性表出.121212,rlrtr 只要再证明向量组 线性无关即可.rlrtr 设,1212120r sr trkkaabb 其中 .则,ijhabK(121212r sr trkk *)于是,12121r srk
29、kaaV ,122trbb于是 ,记为 .12 12r srkk 则 可被 线性表示,设,r,12rhh代入(*),有,12120r trhhbb 由于 是 的一组基,所以线性无关,则1,rtr V,212rtr 代回(*),又有 ,1 0r srkkaa 于是向量组 线性无关.证毕.21212,rsrtr 推论 1 设 都是有限为线性空间 V 的子空间,则:tV.1212dim()dimidimt t 证明:对 t 作归纳.讨论、练习与作业课后反思授课内容第六讲 子空间的直和教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握子空间的直和与补空间的定义及性质教学重点 子空间的直和的四个
30、等价定义教学难点 子空间的直和的四个等价定义教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、子空间的直和与直和的四个等价定义定义 设 V 是数域 K 上的线性空间, 是 V 的有限为子空间.若对12,m于 中任一向量,表达式1mi.12,12,mii 是唯一的,则称 为直和,记为1miV或 .21mV 1i定理 设 为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间,则下述12,m四条等价:1) 是直和；21mV2)零向量表示法唯一；3) ；1()0,12,i imVim 4) .21ddidiVV 证明: 显然.)设 则11212,mm .2()()()0由 2)知,零向量的表示法唯一,于是,1,ii
31、即 的表示法唯一.由直和的定义可知, 是直和.2mV假若存在某个 ,使得 ,2)3,i1()0i imV 则存在向量 且 ,于是存在 ,使得01()i im jj.i 由线性空间的定义,1()i imVV 则 ,与零向量的表示法唯一矛盾,于是1()0m .1,12,i imi 若 2)不真,则有3)2,10im 其中 且 .于是(1,)jjV i,1()i imi imVV 与 3)矛盾,于是 2)成立.对 m 作归纳 .3)4 =2 时,由维数公式得到.12121212di()diidim()diimVVV设 已证,则对于 ,312 121121im()ii()i()d,mmmVV 而 ,都
32、有,i；111 ()()0i imi imV 由归纳假设,可以得到 .212d()ddimVVV ,都有4)3,i1 112 dim()i(i)i()0imimmV ,于是 .证毕.1()02,i imVi 推论 设 为 V 的有限维子空间,则下述四条等价:2,i) 是直和；1ii)零向量的表示法唯一；iii) ；120Viv) .12dim()diimV二、直和因子的基与直和的基命题 设 ,则 的基的并集为 V 的一组基.21m 21,mV证明: 设 是 的一组基,则 V 中任一向量可被12rii i线性表出.又 ,由命题12,rimii121dimi mirr4.5,它们线性无关,于是它们
33、是 V 的一组基. 证毕.三、补空间的定义及存在性定义 设 为 V 的子空间,若子空间 满足 ,则称为 的补空1 212V1V间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.证明: 设 为 K 上的 n 为线性空间 V 的非平凡子空间,取 的一组基1 1,将其扩为 V 的一组基 取12,r 1212,rrn ,则有12()rnVL,且 ,121212dimidim()VnV于是 ,即 是 的补空间.证毕.12V讨论、练习与作业课后反思授课内容第七讲 线性空间的同构教学时数 2 授课类型 讲授教学目标 通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空间同构的判定教学重点 线性空间同构的判
34、定教学难点 线性空间同构的判定教学方法与手段 讲授法 启发式教学过程一、线性映射的定义定义 设 为数域 上的线性空间, 为映射,且满足以下两,UVK:UV个条件:i) ；()(),()ii) ,kk则称 为(由 到 的)线性映射.UV由数域 上的线性空间 到 的线性映射的全体记为 Hom ,或简K )(VUK记为 Hom .),(定义中的 i)和 ii)二条件可用下述一条代替:.()(),(,)klkkl例 是 上的线性空间 , 也是 上线性空间,取定一个mnMK snMK上的 矩阵 ,定义映射sA:()(),.mnsnxAX则 是由 到 的线性映射.()mnK()sn例 考虑区间 上连续函数
35、的全体,它是 R 上的线性空间,令ab(1,si2sin)ULxxco,co.V再令 :,().VfxAX则 是由 到 的一个线性映射.UV定义 设 是线性映射:i)如果 是单射,则称 是单线性映射(monomorphism)；ii)如果 是满射,则称 是满线性映射(endmorphism)；iii)如果 既单且满,则称 为同构映射(简称为同构,isomorphism), 并说与 是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism) ,同构映射UV的逆映射也是同构映射；iv) 的核(kernel)定义为 ；ker|()0Uv) 的像(image)定义为 ,也记为im=|,.()V
36、Ust；()U命题 和 是 的子空间.keri证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭.vi) 的余核定义为 .coker/imV命题 线性映射 是单的当且仅当 ker , 是满的当且仅当 cokerf 0ff.0f定理(同态基本定理) 设 是数域 上的线性空间的满线性映射,VUf:K则映射 :/ker,().f是同构映射.证明:首先证明 是映射,即若 ,则 .由/kerUf()于 ,存在 ,使得 .于是kerf,即 .()()(f f()再证明 是线性映射. , ,有,/kerUlK.()()()()klfklffkl易见 是满射,且有 .只要再证明 是单射即可,即证明imV.设 ,则 ,于是
37、,即有 .er0er()0ferf0证毕.命题 设 是线性映射 , ,则下述三条等价:UdiUni) 单；ii) 将 中任意线性无关组映为 中的线性无关组；Viii) .dim()Un证明:i) ii)若 线性无关,则令12,tV,2()()()0ttkk由线性映射的定义, . 单,于是1t,则 ,ii)成立；120tkk 2tkii) iii)若取 的一组基 ,则由已知, U1,n线性无关,而 中任意向量可以被12(),()n im线性表出,于是 构成 的一组 12(),()n im基,iii)成立；iii) i)由同态基本定理知 ,于是/keriU,即有 .证毕.dimikerdimUi0ker0讨论、练习与作业课后反思
