1、30/4/2009 http:/58.20.192.206/ec/C180/ 自动控制理论 精品课程 第二章自动控制系统的数学模型 内容提要 ： 本章重点 : a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型 ： b、传递函数 c、方块图 d、信号流图 典型环节传递函数、传递函数的函数 方块图等效变换、信号流图的化简 第二章 自动控制系统的数学模型 通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。 设控制系统 求出输出响应 控制系统 输入 输出 t r(t) 0 t c(t) 0 有输入信号时 第二章 自动控制系统的数学模型 第一节 引言 第四节 控制系统的结构图及其等效
2、变换 第五节 反馈控制系统的传递函数 第二节 微分方程的建立 第二章 自动控制系统的数学模型 第三节 传递函数 第一节 引言 问题： 第二章 自动控制系统的数学模型 何为数学模型 ? 数学模型的种类 ? 常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型 第一节 引言 输入输出描述 ： 状态变量描述 ： 描述系统的输入与输出之间的数学关系 用一组（几个）独立的状态变量，来描述一个 n阶系统的数学关系 第二
3、节 微分方程的建立 一、建立微分方程的一般步骤 二、常见环节和系统的微分方程的建立 三、 线性微分方程式的求解 上一目录 第二章 自动控制系统的数学模型 第二节 微分方程建立 （ 1） 确定系统的输入变量和输出变量 一、建立系统微分方程的一般步骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。 列写系统微分方程的一般步骤 ： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。 （ 2） 建立初始微分方程 组 将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。 （ 3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系
4、统的微分方程的建立 uc ur 二、常见环节和系统微分方程的建立 1 RC电路 + - uc ur + - C i R 输入量： 输出量 ： (1) 确定输入量和输出量 (2) 建立初始微分方程组 (3) 消除中间变量，使式子标准化 ur= Ri + uc i = C duc dt 根据基尔霍夫定律得： 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。 RC duc dt + uc= ur RC电路是一阶常系数线性微分方程。 第二节 微分方程建立 2机械位移系统 系统组成： 质量 弹簧 阻尼器 输入量 弹簧系数 k m 阻尼系数 f F(t) 输出量 y(t) (2) 初始微分方程组 F
5、= ma 根据牛顿第二定律 系统工作过程： (1) 确定输入和输出 F(t) FB(t) FK(t) = ma 中间变量关系式 : FB(t) = f dy(t) dt FK(t) = k y(t) a = d2y(t) dt2 m d2y(t) dt2 f dy(t) dt + ky(t) = F(t) + 消除中间 变量得 : 第二节 微分方程建立 3他激直流电动机 Ud 系统组成： 直流电机 负载 输入 :电枢电压 励磁电流 If 电磁转矩 Te 负载转矩 TL 摩擦转矩 Tf 工作原理： 电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动 . 输出 :电动机速度 n 第二节 微分
6、方程建立 根据基尔霍夫定律有 电动机的电路等效图 : eb + - ud La id Ra did dt ud = Rd id+Ld +eb eb =Cen Ce 反电势系数 反电势 根据机械运动方程式 dn dt Te -TL Tf = GD2 375 Te =Cm id Cm 转矩系数 GD2 飞轮惯量 为了简化方程，设 TL = Tf = 0 id = GD2 375Cm dn dt . + n = + GD2 Ra 375CmCe dn dt GD2 375 d2n dt2 Cm Ce Ra La Ra ud Ce 定义 机电时间常数 ： GD2 Ra 375Cm Ce Tm = 电磁
7、时间常数： La Ra Ta = 电动机的微分方程式为： + n = d2n dt2 Tm Ta + Tm dn dt ud Ce 第二节 微分方程建立 4液位系统 第一章里已经介绍了工作原理： 其中 : qi0流入箱体 的流量 qo0流出箱体 的流量 qi0 qo0 h0液面高度 h0 qi流入箱体 流量增量 +qi qo流出箱体 流量增量 +qo h液面高度 增量 +h A箱体面积 根据物料平衡关系 dt A dh0+h(t) =qi0+qi(t)-qo0+qo(t) 平衡时： qi0=qo0 故 dt A dh(t) =qi(t)-qo(t) o(t)的流量公式 qo(t)=a h(t)
8、 得 : dt A dh(t) =qi(t) +a h(t) 第二节 微分方程建立 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成 。 系统微分方程的一般表达式为 ： dtm +bmr(t) = b0 dm-1r(t) dtm-1 +b1 + dmr(t) dr(t) dt +bm-1 +anc(t) + dnc(t) dtn a0 dn-1c(t) dt n-1 +a1 dc(t) dt +an-1 将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。 微分方程 r(t) c(t) 第二节 微分方程建立 三、线性微分方程式的求解 工程实践中常采
9、用拉氏变换法求解线性常微分方程 。 拉氏变换法求解微分方程的基本思路： 线性微分方程 时域 t 拉氏变换 代数方程 复数域 s 代数方程的解 求解 拉氏反变换 微分方程的解 第二节 微分方程建立 1 拉氏变换的定义 如果有一函数满足下列条件： (1) t 0 时 f(t)=0 (2) t0 时 f(t)是分段连续的 0 (3) f(t)e dt -st f(t)的拉氏变换为 ： 0F(s)= f(t)e dt -st 记作 F(s)=Lf(t) 拉氏反变换为： f(t)=L-1 F(s) 第二节 微分方程建立 2常用函数的拉氏变换 (1) 单位阶跃函数 I(t) f(t) t 0 1 0 F(
10、s)= I(t)e dt -st = S 1 (2) 单位脉冲函数 (t) f(t) t 0 0 F(s)= (t)e dt -st =1 (3) 单位斜坡函数 t f(t) t 0 0 F(s)= t e dt -st = S2 1 (4) 正弦函数 Sint t 0 f(t) = s2 +2 0 F(s)= Sint e dt -st (5) 余弦函数 Cost 0 F(s)= Cost e dt -st = s2 +2 s (6) 指数函数 -at e f(t) t 0 1 0 F(s)= e e dt -at -st = 1 s+a (7) 抛物函数 t2 1 2t2e 1 20 F(
11、s)= -st dt f(t) t 0 = S3 1 第二节 微分方程建立 3拉氏变换的定理 (1) 线性定理 Laf1(t)+bf2(t) = aF1(s)+bF2(s) 例 求正弦函数 f(t)=Sint的拉氏变换 解： 2j e -e Sint = jt -jt LSint= 2j 1 s-j 1 - s+j 1 = s2 +2 (2) 微分定理 L df(t) dt = sF(s)-f(0) 例 求阶跃函数 f(t)=I(t)的拉氏变换 解： 已知 dt dt =I(t) Lt= s2 1 LI(t)= L( dt dt ) =s s2 1 -0 = 1 sL d2f(t) dt2 =
12、 s2F(s)-sf(0)-f(0) 第二节 微分方程建立 (3) 积分定理 Lf(t)dt = 1 s F(s)+ f-1(0) s (4) 延迟定理 Lf(t-) -s =e F(s) 例 求 f(t)=t-的拉氏变换 解： f(t) t 0 t t- -s F(s)=Lte = s2 -s 1 e (5) 位移定理 -at Le f(t) =F(s+a) 解： 例 求 f(t)=e Sint的拉氏变换 -at F(s)= (s+a)2+2 (6) 初值定理 Lim f(t )=lim sF(s) s t 0 (7) 终值定理 Lim f(t )=lim sF(s) t s 0 第二节 微
13、分方程建立 4拉氏反变换 象函数的一般表达式： F(s) = b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an 分解为 K(s z1 )(s z2 )(s zm ) (sp1 )(s p2 )(s pn ) = 零点 极点 转换为 = s-p1 A1 +s-p2 A2 + s-pn An 则 p1t f(t)=A1e p2t +A2e pnt Ane + 部分分式法求拉氏反变换 , 实际上是求待定系数 A1 ,A2 , ,An .极点的形式不同 ,待定系数的求解不同 ,下面举例说明 . 待定系数 第二节 微分方程建立
14、 (1) 不相等实数极点 Ai= F(s)(s-pi ) s=pi 解： 例 求拉氏变换 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2 =1+ + s+1 A1 s+3 A2 A1=F(s)(s-p1 ) s=p1 (s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1 = (s+1)(s+3) (s+2)(s+1) 2 1 = A2=F(s)(s-p2 ) s=p2 s=-3 = (s+1)(s+3) (s+2)(s+3) 2 1 =2 1 +f(t)= (t)+ e -t 2 1 e -3t 第二节 微分方程建立 (2) 复 数极点 A(s) (s
15、p1 )(s p2 )(s pn ) F(s)= p1 ,p2 共轭 复数极点 分解为 = (s-p1 )(s-p2 ) A1 s+A2 +s-p3 A3 + s-pn An F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1 =A1s+A2 s=p1 根据 求待定系数 A1 ,A2 . 例 求拉氏变换 s(s2+9) F(s)= s+1 解： A1s+A2 + s (s2+9) F(s)= A3 =A1s+A2 s=j3 F(s)(s2+9) s=j3 A2=1 1 9 A1= - 19A3= -s/9+1 +s (s2+9) = 1/9 s/9 - s(s2+9) F(s)= 1/9 1 +(
16、s2+9) 1 3 9 1 -f(t)= Sin3t 9 1 Cos3t + 第二节 微分方程建立 (3) 重极点 A(s) (s p1 )r(s pr+1 )(s pn ) F(s)= 有 r个重 极点 分解为 = (s-p1 )r A1 +s-pr+1 Ar+1 + s-pn An + (s-p1 )r-1 A2 + s-p1 Ar dr-1F(s)(s-p1 )r Ar= s=p1 1 ( (r-1)! dsr-1 ) 下面举例说明 第二节 微分方程建立 例 求拉氏变换 (s+2) F(s)= s(s+1)2(s+3) 解： F(s)= +s+1 A1 s+3 A2 (s+1)2 + s
17、 A3 +A4 分解为 按不相等实数极点确定 A1 ,A3 ,A4 得： -1 2A1= 2 3A3= 1 12 A4= d2-1F(s)(s-p1 )2 A2= s=p1 1 ( (2-1)! ds2-1 ) d = s=-1 ds (s+2) s(s+3) -3 4 = -3 4A2= + - 43 +f(t)= e -t 3 2 e -3t 2 -t e-t 12 1 将各待定系数代入上式得： 第二节 微分方程建立 5用拉氏变换解微分方程 下面举例说明求解线性微分方程的方法 。 例 求拉氏反变换 r(t) =20I(t) +2c (t) = r(t) +3 d2c(t) dt2 dc(t
18、) dt c(0)=5 c(0)=15 解： (1) 将微分方程拉氏变换 s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20 s 20 s+5s+30 = C(s)(s2+3s+2) (2) 解代数方程 s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20 (3) 求拉氏反变换 s(s+1)(s+2) = 5s2+30s+20 s + C(s)= + s+1 A1 s+2 A2 A3 s + = + s+1 10 s+2 5 -10 -10e c(t)=10+5e -t -2t 第二节 微分方程建立 例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。 r(t) =
19、(t) + 2c (t) = r(t) +2 d2c(t) dt2 dc(t) dt c(0) = c(0) = 0 解： 将方程两边求拉氏变换得： s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s) R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21 = (s+1)2 + 1 1 求拉氏反变换得： c(t) = e t sin t 输出响应曲线 c(t) r(t) r(t) t 0 c(t) 第二节 微分方程建立 课堂练习题： (1) 求下列函数的拉氏变换 (2) 求下列函数的拉氏反变换 (3) 解下列微分方程 cos12t f(t)=e -4t f(t)=t2+3t+2 F
20、(s)= s(s+1)1 作业习题 ： 2-3(3) 2-4(1) +1c (t) = I(t) +2 d2c(t) dt2 dc(t) dt c(0) = c(0) = 0 返回 2-1(a) 2-3(1) 第二节 微分方程建立 第三节 传递函数 一、传递函数的定义及求取 二、典型环节的传递函数 及其动态响应 拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数 S域内的数学模型 传递函数。 第二章 自动控制系统的数学模型 第三节 传递函数 使用传函应注意的问题 : 1 传递函数只适用于线性定常系统 2 分子阶次 分母的阶次，即 mn 3 传函取决于系统的结构、元件参数，与输 入信号的形式无关 4 传函是在初始条件为零时（卷积公式微分方程）进行拉氏变换得到的 5 一个传函只能表示一个输入对一个输出的关系；它不能完全反映信号传输中的中间变量，也无法全面反映多输入多输出系统的特性。 输出拉氏 变换 一、 传递函数的定义及求取 设一控制系统 输入 输入拉氏 变换 输出 传递函数的定义： 零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。 R(S) C(S) r(t) c(t) R(s) C(s) G(s) = 表示为 ： 将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。 系统 G(S) 第三节 传递函数
