1、牛顿问题牛顿问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22 天，或者供给 16 头牛吃，可以吃 10 天，如果供给 25 头牛吃，可以吃多少天？1解题关键牛顿问题，称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量 = 消耗原有的草量)；4、最后求出牛可吃的天数。想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把 10 头牛 22 天吃的总量与 1
2、6 头牛 10天吃的总量相比较，得到的 1022-1610=60，是 60 头牛一天吃的草，平均分到（ 22-10）天里，便知是 5 头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。设一头牛 1 天吃的草为一份。那么 10 头牛 22 天吃草为 11022=220(份) ，16 头牛 10 天吃草为 11610=160(份)（220-160）（22-10 ）=5(份) ，说明牧场上一天长出新草 5 份。220-522=110（份)，说明原有老草 110 份。综合式：110（25-5
3、）=5.5(天) ，就能算出一共多少天。如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉你原来的草量，方法就和求草一样。你可以先写出求草的算式，再带入数字。2题目解法牛顿问题的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果 12 头公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔（当时牛顿想出问题并解出答案的地方）的牧草，则按比例 36 头公牛四星期内，或 16 头公牛九个星期内，或八头公牛 18 星期内吃掉 10 由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21 头公牛 9 星期只吃掉 10 由格尔牧草，即在随后的五周内，在 10 由格尔的草地上新长的牧草足够 21-16=5 头公牛吃 9 星期，或足够 5/2 头公牛吃 18
4、个星期，由此推得，14 个星期（即 18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供 7 头公牛吃 18 个星期，因为 5：14=5/2 ：7。前已算出，如牧草不长，则 10 由格尔草地牧草可供 8 头公牛吃 18 个星期，现考虑牧草生长，故应加上 7 头，即 10 由格尔草地的牧草实际可供 15 头公牛吃 18 个星期，由此按比例可算出。24 由格尔草地的牧草实际可供 36 头公牛吃 18 星期。牛顿还给出代数解法：他设格尔草地一个星期内新长出的牧草相当于面积为 y 由格尔的草地，又每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积是相等的。根据题意，设若所求的公牛头数为 x，就为（10/3+10/3*4y）/
5、(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x解得 x=36 即 36 条公牛在 18 个星期内吃掉 24 由格尔的牧草。还有一种方法就是使用方程式的解法。例如有一块牧场，可供 9 头牛吃 3 天，或者 5 头牛吃 6 天，请问多少牛能够 2 天吃完？我们做方程式：设牧场原有草量为 y，每天新增加的牧草可供 x 头牛食用，N 头牛能够 2天将草吃完，根据题目条件，我们列出方程式：y=(9-x）3y=(5-x) 6y=(N-x) 2解方程组得 x=1 y=24 N=13其实这种牛吃草问题的核心公式是：原有草量=（牛数-单位时间长草量可供应的牛的数量）天数另一解法
6、：牛吃草问题的关键点在于这个问题隐藏了一个基本的平衡在其中，那就是：假若每头牛每天的吃草速率和吃草量都不相同，那么此题无解，为什么？因为很可能一头牛心情好一天就能吃完这些草，也可能 10 头牛食欲不佳一个月吃都不完这些草，因此 每头牛每天的吃草速率和数量必须都是相同的是这个问题成立并且能够得到答案的充要条件。得到这个结论后，我们就要开始确定一个平衡的方程式出来，如何确定？不难想到，可以是吃草量和草本身量之间的平衡，也就是吃草量=草总量 。于是我们就可以假设一头牛一天的吃草量为 1 个单位，并假设第三种情况牛吃草的天数为 N；接下来开始寻找平衡方程，我们可以看到，在问题提供的条件中，第一种情况的
7、草的总量为 1022，第二种情况的草的总量为1610，第三种情况的草的总量为 25N。然后我们开始寻找方程的平衡：既然我们现在已经找到三种情况里草地的总量，那么不难想到方程的另一边就要靠草的量来进行平衡，于是，我们假设原有草量为 Y，草每天的生长量为 X，得到如下方程组：1022=22X+Y1610=10X+Y25N=NX+Y解此方程组，可得 X=5，Y=110，N=5.5，因此 25 头牛用五天半的时间就能吃完这些草。3规律总结牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显
8、而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1” 份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间 长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；原有草量= 较长时间 长时间牛头数-较长时间生长量；牛吃草问题常用到四个基本公式：牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生
9、长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度= （对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数吃的天数草的生长速度 吃的天数；（3）吃的天数=原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是
10、不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的结果一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用 6 个昼夜到达井底那么，井深多少米？分析：一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井底，白天爬； 205=100（分米） ； 另一只蜗牛恰好用 6 个昼夜到达井底，白天爬：156=90（分米） 黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的说明，每
11、夜下滑：100-90=10（分米） 那么井深就是：（10+20）5=150（分米）=15（米） ，或：（ 15+10） 6=150（分米）=15（米） 解答：解：（205-15 6+20）5，=305，=150（米） 答：井深 150 米点评：此题按牛吃草问题来处理，考察了学生的思维和推理能力4练习题及答案（）牧场上有一片牧草，可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周。如果牧草每周匀速生长，可供 21 头牛吃几周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊 4 桶，则 15 分钟能吊干，如果每分钟吊 8 桶，则 7
12、分吊干。现在需要 5 分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派 17 人去割草，30 天才能把草割完，如果派19 人去割草，则 24 天就能割完。如果需要 6 天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给 6 人喝，4 天可喝完；如果由 4 人喝，5 天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？（）一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？（6）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明
13、每分钟走 20 梯级，小红每分钟走 14 梯级，结果小明 4 分钟到达楼上，小红用 5 分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？（7）：两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20 分米，另一只只能走 15 分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底，另一只却恰好用了 6 昼夜。问井深是多少？（8）一块 1000 平方米的牧场能让 12 头牛吃 16 个星期，或让 18 头牛吃 8 个星期，那么一块4000 平方米的牧场 6 个星期能养活多少头牛？（9）有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12个
14、人淘水，3 小时可以淘完。如果只有 5 个人淘水，要 10 小时才能淘完。现在要想 2 小时淘完，需要多少人？（10）有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用 4 台抽水机，15 小时可把井水抽干。若用 8 台抽水机，7 小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能 5 小时把井水抽干？（11）李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果 50 人担水，20 小时可把池水担完。如果 70 人担水，10 小时可把池水担完。现有 130 人担水，几小时可把池水担完？答案（1）276=162239=207207-162=4545/(9-6)=15 每周生长数162-156=72(原有量)72
15、/(21-15)=12 周（2）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-150、5=52、5（原有水量）52、5+/(50.5)/5=11 桶（3）1730=5101924=456510-456=5454/(30-24)=9 每天生长量510-309=240 原有草量 240+69=294294/6=49 人（4）64=2445=2024-20=44/(5-4)=4 每天漏掉数24+44=40 原有数这桶酒每天漏掉的酒可供 4 人喝一天？（5）520=100615=90100-90=1010/（20-15）=2 每天入库数100-202=60 原有库存数
16、 60+26=7272/6=12 台（6）204=80145=7080-70=1010/（5-4）=10 每分钟减少数80+410=120 原有数 70+510=120（7）205=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10 黒夜下滑数100+510=150156+106=150（8）1216-188=192-144=4848/(16-8)=6 每星期生长数192-166=96 原有数 96+66=132132/6=22224=88 头（9）123=36510=5050-36=1414/(10-3)=2 每小时增加数36-32=30 原有 30+22=3434/2=17 人（
17、10）415=6087=5660-56=44/(15-7)=0.560-150.5=52.552.5+50.5=5555/5=11 台（11）5020=10007010=7001000-700=300300/(20-10)=30 每小时增加 1000-3020=400 原有400/(130-30)=4 小时1、牧场上有一片牧草，可以供 27 头牛吃 6 天，供 23 头牛吃 9 天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供 21 头牛吃几天？2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果 10 个人舀水，3 小时可以舀完；如果 5 个人舀水，8 小时可以舀水，如果要求 2 小
18、时舀完，那么要安排多少人舀水？3、某牧场上的草，若用 17 人去割，30 天可以割尽，若用 19 人去割，则只要 24 天便可割尽，问用多少人割，6 天可以割尽？（草匀速生长，每人每天割草量相同）4、有一眼泉水，用功率一样的 3 台抽水机去抽井水，同时开机，40 分钟可以抽干；用同样的 6 台抽水机去抽，则只需要 16 分钟就可以抽干，那么用同样的抽水机 9 台，几分钟可以抽干？5、有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供 15 头牛吃 20 天，或者供 76 只羊吃 12 天，如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 8 头牛与 64 只羊一起吃，可以吃多少天？6、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断地往池里防水，平均每分钟入水量相等，如果同时开放 3 根排水管，45 分钟可以把池中水排完；同时，开放 5 根排水管25 分钟把池中水排完，那么，同时开放 8 根排水管，几分钟排完池中的水？
