1、时域有限差分法刘悦大连理工大学物理与光电工程学院中国大连，116024参考书葛德彪，闫玉波电磁波时域有限差分法（第二版）西安电子科技大学出版社，2005 年目录 引言 麦克斯韦方程Yee元胞 直角坐标系中的时域有限差分法：三维情形 直角坐标系中的时域有限差分法：二维情形 直角坐标系中的时域有限差分法：一维情形 数值稳定性 吸收边界条件 例子引言 时域有限差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD) 1966年，K. S. Yee 首次提出的一种数值计算电磁场的方法时域有限差分法引言时域有限差分法 对于描述电磁场的麦克斯韦方程，每个电场 E的分量周围有四个磁场
2、 H分量环绕，同样地，每个磁场 H的分量周围有四个电场E 分量环绕 对电磁场 E和H分量在时间和空间上采用半步长交替网格的离散形式，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场引言时域有限差分法的产生与发展 1966年， Yee首先提出了麦克斯韦方程的差分离散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问题 1969年， Taylor等人用时域有限差分法分析非均匀介质的电磁散射，提出用吸收边界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法 1971年， Merewether用时域有限差分法计算旋转体上由入射脉冲所引起的感生电流，采用了辐射边界条件
3、引言时域有限差分法的产生与发展 1975年，Taflove 等人用时域有限差分法计算非均匀介质在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射，讨论了时谐场情况的近远场外推，以及数值稳定性条件 Holland（ 1977年）和Kunz （1978年）用时域有限差分法计算F117 飞机这种复杂目标的电磁脉冲辐射 1981年，Mur 提出在计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件及其在时域有限差分法中的离散形式。这是时域有限差分法中的一种十分有效的吸收边界条件，获得广泛应用引言时域有限差分法的产生与发展 1982年， Umsshankar和Taflove 用时域有限差分法计算目标雷达散射截面，提出将计算区
4、域分成总场区和散射场区，并提出连接边界条件，是散射计算中入射波设置的一种简便有效的方法 1982年， Mei等人提出共形网格技术 1986年， Choi和Hoefer 用时域有限差分法分析了波导腔体的谐振问题，计算其谐振频率引言时域有限差分法的产生与发展 1987年，Kasher 和Yee提出亚网格技术Umsshankar和Taflove 分别在1987年和1988年用时域有限差分法分析了自由空间及腔体中导线上的感应电流，讨论了时域有限差分法中细导线的处理方法 Zhang和Mei（1988年）、 Gwarek（1988年）、 Liang等人（1989年）、Sheen 和 Kong等人（1990
5、年）用时域有限差分法分析计算了波导、同轴线、微带天线及微带不连续性问题，得到相应的阻抗、传播常数及S 参数引言时域有限差分法的产生与发展 1989年，Britt 首次给出时域远场的结果，但未给出外推的具体方法 1989年，Larson 、Perlik和 Taflove等人提出研究适用于时域有限差分法的专用计算机，以便用于计算电磁波与电大尺寸物体的相互作用 1990年，Maloney 等人用柱坐标系下的时域有限差分法分析了柱状和锥状天线位于理想导体平面上的辐射，得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化显示引言时域有限差分法的产生与发展 1990年，Sullivan 用时域有限差分法计算60
6、70MHz 电磁波照射下透入人体内部的电磁场，研究了生物电磁学问题 1990年，Luebbers 和hunsberger 等人研究了色散介质在时域有限差分法中的处理方法 1991年，Yee 等人和Luebbers 等人分别提出了三维时域有限差分法时域近远场外推方法 1992年， Luebbers等人提出了二维时域有限差分法时域近远场外推方法引言时域有限差分法的产生与发展 1992年，Maloney 和 Smith提出将阻抗边界条件应用于时域有限差分法 1992年，Sui 等人提出了用二维时域有限差分法计算有集中参数元件的数字和微波电路模型，包括电阻、电容、电感、二极管、晶体管等元件 Beren
7、ger（ 1994，1996年）提出将麦克斯韦方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配层（PML ），这是一种全新的吸收边界引言时域有限差分法的产生与发展Sacks等人（ 1995年）和 Gedney（1996 年）提出各向异性介质的 PML，其支配方程是各向异性介质麦克斯韦方程 1999年， Prather和 Shi分析轴对称衍射透镜，给出波长为一微米的平面波和高斯波入射时，直径为 102.47微米的衍射透镜的光波传播特性 。引言时域有限差分法的应用 辐射天线的分析，例如柱状和锥状天线，接地导体附近的天线，喇叭天线，微带天线，手机天线，缝隙天线，螺旋天线以及天线阵列 微波器件和导行波结构的研
8、究，例如波导，微带传输，波导中的孔缝耦合，铁氧体器件，加载谐振腔等 散射和雷达截面计算，例如导体、介质物体和具有复杂结构及形状物体（导弹、飞机）的雷达截面（RCS），导弹导引头的电磁波透入分布，人体对电磁波的吸收，地下物体散射等引言时域有限差分法的应用 周期结构分析，例如频率选择表面、光栅传输特性、周期阵列天线、光子带隙结构，以及随机粗糙表面等 电子封装，电磁兼容分析，例如多线传输及高密度封装时的数字信号传输，分析环境和结构对元器件和系统电磁参数及性能的影响 核电磁脉冲的传播和散射，在地面的反射及对电缆传输的干扰 微光学元器件中光的传播和衍射特性 双负介质中电磁波的传播特性引言时域有限差分法的
9、软件FDTDA，三维时域有限差分法的软件，源程序用 FORTRAN语言编写（ 1993年）XFDTD，具有多种功能，包含有瞬态近 远场外推，亚网格技术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体，可用以分析生物体对电磁波的吸收特性（SAR ），螺旋及微带天线，天线阻抗的频率特性，移动电话场强分布，细导线及复杂物体电磁散射和 RCS（1996 年）EMA3D，分析核电磁脉冲（ NEMP）及雷电耦合，高功率微波，宽带 RCS，天线，屏蔽特性，印刷电路板的电磁兼容。软件具有多种边界条件，亚网格剖分，适用于有耗介质、平面波源及电压电流源（ 1997年）引言时域有限差分法的软件 AutoMESH，可以自动产生三维非
10、均匀正交网格以描写复杂结构物体，并给出二维分层显示，应用Visual BASIC语言，结合时域有限差分法可以计算微带滤波器、微带天线传输及辐射特性等（1999年） A Conformal FDTD Software Package，用来模拟射频天线，微带电路元件，应用非均匀及共形网格，PML 吸收边界，近远场变换，可处理曲面和有边缘物体，使用Visual BASIC和C+ 语言（2000年）引言时域有限差分法的基本点Yee元胞 区的划分 吸收边界 近远场变换引言时域有限差分法的基本点（一）Yee元胞 对于描述电磁场的麦克斯韦方程，每个电场 E的分量周围有四个磁场 H分量环绕，同样地，每个磁场
11、H的分量周围有四个电场E 分量环绕 对电磁场 E和H分量在时间和空间上采用半步长交替网格的离散形式，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场引言时域有限差分法的基本点（二）区的划分（一） 对于散射问题 ，通常在计算区域中引入总场边界（即连接边界），将计算区域划分为总场区和散射场区。这样做的好处： 应用惠更斯（ Huygens）原理，可以在连接边界处设置入射波，使入射波的加入简单易行 可以在截断边界（即吸收边界）处设置吸收边界条件，利用有限计算区域就能够模拟开域的电磁散射过程 根据等效原理，应用数据存储边界（即输出边界）处的近区场便可
12、以实现远场的外推计算引言时域有限差分法的基本点（二）区的划分（一） 散射问题引言时域有限差分法的基本点（二）区的划分（二） 对于辐射问题 ，激励源直接加到辐射天线上，整个计算区域为辐射场引言时域有限差分法的基本点（三）吸收边界条件 为了在有限计算区域模拟无界空间中的电磁问题，必须在计算区域的截断边界上设置吸收边界条件 吸收边界条件从简单的插值边界，已经发展了多种吸收边界条件 目前比较广泛采用的有Mur 吸收边界，以及近几年发展起来的完全匹配层（PML ）吸收边界引言时域有限差分法的基本点（四）近远场变换 时域有限差分法的模拟只能限于有限空间，为了获得计算域以外的散射或辐射场，必须借助等效原理应
13、用计算区域内的近场数据实现计算区域以外远场的外推 对于时谐场和瞬态场分别采用不同的外推方法麦克斯韦方程麦克斯韦旋度方程为其中 E为电场强度，单位为伏特/ 米D为电通量密度，单位为库仑 /米2H为磁场强度，单位为安培/ 米B为磁通量密度，单位为韦伯 /米2J为电流密度，单位为安培/ 米2Jm为磁流密度，单位为伏特/ 米2t= +DHJmt= BEJ麦克斯韦方程各向同性线性介质中的本构关系为其中 为介质介电系数，单位为法拉 /米为磁导系数，单位为亨利/ 米为电导率，单位为西门子/ 米为导磁率，单位为欧姆/ 米和 分别为介质的电损耗和磁损耗在真空中， ， ， 法拉/ 米亨利 /米=DE=BH=JEm
14、m=JHmm0 = 0m =1208.85 10= 70410 =麦克斯韦方程在直角坐标系中yxzxHEHEyz t = + yx zyEH HEzx t = + yx zzHH EExy t = + yxzmxEHEHyz t= yx zmyHE EHzx t = yx zmzEE HHxy t = Yee元胞时域有限差分法的差分离散令代表E或H在直角坐标系中某一分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示对 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即(, ,)f x y zt(, ,) ( , , , )nijkf xyzt fixjyk znt f=(, ,)f x y zt11, ,2
15、2(, ,)nnijk ijkxixyjyzkztntfffxyztxx+=11, ,22(, ,)nnij k ij kxixyjyzkztntfffxyztyy+=11, ,22(, ,)nnijk ijkxixyjyzkztntfffxyztzz+ =1122(, ,)nnijk ijkxixyjyzkztntfffxyzttt+ =Yee元胞在时域有限差分法的差分离散中，电场和磁场的空间分布这就是著名的 Yee元胞Yee元胞 在 Yee元胞中，每个磁场分量由四个电场分量环绕，每个电场分量由四个磁场分量环绕 这种电磁场的空间分布符合法拉第感应定律和安培环路定律 这种电磁场的空间分布适合与麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性 电场和磁场在时间顺序上交替取值，时间间隔彼此相差半个时间步长，使麦克斯韦旋度方程在差分离散后构成显式差分格式，从而可以在给定相应电磁问题的初始条件和边界条件后，利用时域有限差分法可以逐步推进地求出以后各个时刻空间电磁场的分布
