1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理,问题1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有4班,汽车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有2类方案, 第一类方案,乘火车，有4种方法; 第二类方案,乘汽车，有2种方法;所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 = 6 种方法.,火车4班,汽车2班,问题2： 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 26+1036,分类加法计数原理 完成一件事，有2类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有
2、 N= m + n种不同的方法.,两类方案中的方法各不相同， 即是互不相容.,探究：,如果完成一件事，有3类不同方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法,在第三类方案中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？,如果完成一件事，有n类不同方案,在每一类方案中都有若干种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法（即如何计数呢）？,分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法.,各类方案中的方
3、法各不相同，且每一类方案中的每一种方法都能独立完成事情. 它们是互不相容的.,问题3： 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,分析: 从A村经B村去C村有2步, 第一步,由A村去B村有3种方法, 第二步,由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经B村去C村共有 32 = 6 种不同的方法.,问题4： 用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？,由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且
4、它们各个不同，因此共有6954个不同的号码.,分步乘法计数原理完成一件事，需要分成2个步骤，做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法.那么完成这件事共有,种不同的方法.,第1步方法的选取不影响第2步方法的选取.即两步中的方法是互相独立的.但两步又是互相关联的.也就是只有把两步都完成了，事情才算完成.,探究：,如果完成一件事需要3个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？,如果完成一件事需要n个步骤,做每一步中都有若干种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法（即如何计数呢）？,分步乘法计数原理
5、完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有,种不同的方法.,各步中的方法是互相独立，且互相关联.也就是只有把n步都完成了，事情才算完成.,分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：,计算完成一件事情的不同方法的种数问题.,分类加法计数原理又称作加法原理；,分步乘法计数原理又称作乘法原理.,完成一件事，共有n类方案，关键词“分类”,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,区别2,区别3,每类方案中的每一种方法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完
6、成这件事。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。,各类方案是互相独立的,各步之间是互相关联的,即：类类独立，步步关联。,例1: 某县的部分电话号码是057764, 后面6个数字中的每个数字来自09这10个数, 则可以产生多少个不同的电话号码?,变式: 若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?,057764,=151200,10,10,=106,分析:,分析:,10,9,8,例2:书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.,（1）从书架上任取1本
7、书，有多少种不同的 取法？,点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”.,（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？,1.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,课堂练习,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电.,在解题有时既要分类又要分步.,2.在所有的两位数中，个位数字比十位
8、数字大的两位数有多少个？,3.8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？4.将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？,5.已知二次函数 若 则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？,1. 本节课的主要内容？,分类加法计数原理和分步乘法计数原理,2. 加法原理和乘法原理的共同点与不同点,共同点:都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法.不同点: 研究完成一件事情的方式不同, 分类原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事;分步原理是“分步完成”, 即这些方法需要分
9、步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.,小 结,如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,备选练习,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,例1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限 报一项，报名方法的种数为多少？若五名学生参加四项体育比赛并且争夺这四项比赛的冠
10、军，获得冠军的可能性有多少种？,解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为44444= 种 .,（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5= 种 .,两个原理的应用,例2.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？,提示：可以用下面方法来求解：（1），（2），（3） ，（1），（2），（3）类中每类都是99种，共有99+99+99=399=243个只有两个数字相同的三位数,例3.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长
11、，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?,点评: 分类原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法.若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交集为空集,n类的并为全集.,分步原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须
12、且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成.,在运用“分类原理、分步原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.,2、三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,课堂练习,1、乘积 展开后共有几项？,3、用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?,4、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）,
