1、0行列式的题型题法大全专题讲座一、行列式的基础题型与题法【例 1】求极限2301sinlmico10xxLx解：应用罗毕达法则22323013 100123sinsincos0lim 4011icoiins1001x xxxLxxx 同步练习： 2321606FxxFx【例 2】行列式的分解方法和重要结论设 阶同型矩阵， ，而行列式只是就某一列分解，n; ijij ijijAaBbAab所以， 应当是 个行列式之和，即 。AB2n B以我们经常遇到三阶行列式的特征值问题举例如下：1 12131121322223333112123 2331(1) 12132123 000000aaaEAaaaa
2、 22213111333122 20aaa12132313132123 31231231312322 根 据 韦 达 定 理 ， 马 上 可 以 得 到 两 个 重 要 公 式 ： naEA TrAa 其中， 表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。1特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为： EA3322321231iaatrA123, 0tr评 注 韦达定理的一般形式为： 12 1200111; ; nnn nnnn ni ij iijaaaaxaxaxxx 【例 3】代数余子式的计算技巧元素的代数余子式与该元素无关，行列式按某一行元素的代数余子式展开形
3、式中，代数余子式前面乘以不同的系数就可以得到不同的行列式。1212 12112=ni ii iniiinnaaAaaAaa 第 行如果把上述等式两边的中括号里的元素换成不同的值，就变成不同的行列式了。2【例 4】拉普拉斯行列式中逆序数的计算 1121 11121121100 m mnm n nnnmnaaabccbba 11111212mnnmb 2121121111121 00 1nmmnmmn nnccaaabbb 2112 11122 1mnmnnmnmnabmnnm 33123313211312344 41424313212143 3414243 4131ijjiijji ijijii
4、DxxxxxxxxxxxDxxD二、行列式定义与余子式的应用2.1行列式定义的应用【例 5】求逆序数 （1） ）135246n （2）已知 ，求1nxk 12nx解： （1） 13546220n （2）解法一对 个数的排列 ，如果关于第 个元素 有 个元素比 大，并且都放在n121nx iiximix的前面，我们说第 个元素 有 个逆序数，如果关于第 个元素 有 个元素比 大，但ixiiimiiix都放在 的后面，我们说于第 个元素 有 个顺序数。i ixi中关于第 1 个元素 有 个逆序数，关于第 1 个元素 有 个121nx 101x1nm顺序数，即在排列 中关于第 个元素 的逆序数为 ；
5、 2nx n1xnm中关于第 2 个元素 有 个逆序数，则关于第 2 个元素 有 个顺121nx 2xm2x2序数，即在排列 中关于第 个元素 的逆序数为 ；1nx 2x依此类推，可得： 12 2112n nnmmk 解法二（推荐解法）4在排列 任取两个数 和 ，则数对 要么为逆序数，要么为顺121nx kx l, klx序数，而该排列共有 个数对，已知 的逆序数为 故 的顺序数为2C121nx 121nx，它正好就是 的逆序数，故 。 2nCk12nx 12nnxCkk【例 6】 （1）已知四阶行列式中 的符号为负，求 ；3124jka, j（2）在五阶行列式中，确定项 的符号；31542a
6、（3）如果 阶行列式中等于零的元素大于 个，求 。nnnD解：（1）由于列号 2，1 固定，故 只能取 3 或者 4，而, jk312412341jkkjaa21343, 431 , jkj （2） 12354212534aa， 取正号。25134（3） 阶行列式展开共有 项，等于零的元素大于 个，则不为零的元素小nn2n于 个，而行列式展开的每一项都是 个不同元素的乘积，故 。n 0D陈氏第 21 技 -（1） 使用排列法求参数行列式某幂次前的系数。排列法：先固定行号顺序排列： ，再根据定义排列可能的列标。12n【例 7】 在 求 项。0321xf3x解：排列法：先固定行号顺序排列： ，再根
7、据定义排列可能的列标。12n由定义知，行列式展开的每一项来源于原行列式每行每列只能取一个而且必须取一个元素 的法则。如取 ，则其余项为相应取 形式，下面就是看 可能的排列中哪些1ax234jja234 j符合要求。则为 项不合题意所求；其他取法均为 不合题意所求；234, , jj4x 2x5故 取 不成立。 1ax同样的分析知，只有取 ，相应取 才合题意，于是12ax2134a(34)134x【例 8】 求24 21359xDx解： 时前两行相等 ，故 D 展开式必含该两因式， 时后两行相等 1x02x，故 D 展开式必含该两因式，由于是四阶行列式，最高次幂不大于 ，故0 4412kxx而
8、前的系数可由定义求出：4x含 幂的项的形式为： 1 32224=9 j jaax由于已经固定顺序行标 ，列标有两个也被固定，即：34134jj根据行列式各项取自不同行不同列的规则： 12 jj或 ； 或当 时，必有 ，即存在含 幂1j3j4x24221232223 99 1 9 aaxx x当 时，必有 ，即存在含 幂13jj4x214223231 221=9 9 49 aax xx故 前的系数4xk陈氏第 21 技 -（2） 常数行列式法。像【例 8】类型题有一个绝妙的方法：即划去 和 所在的行和列，剩下的数2x29（不能含未知数 ，否则，只能用排列法。 ）组成行列式 ，就是 前的系数。x
9、134x6又如：已知 ，求 。易知 最高次幂为 ，故只要求出 的系102374xxfffx2x2x数即可，而 的系数 。2x 2 21412403104616077aaxxf【例 9】 求11234400baDb解：方法一：112223133 4442214142314330000aababDbaabbab方法二：利用拉普拉斯展开：112+322 1231433 4440ababDababba【例 10】设行列式 ，则 有多少个根？212334547xxf 0fx解：72410210()332147376215(1), 2 76拉 普 拉 斯 展 开 所 以 有 个 根 。cxxfx xxx
10、【例 11】设 阶行列式 ，而行列式 ，求 。nijDam1, 0ijDab1D解：1212121 0nnjjjjjjjjjbbam 【例 12】求行列式 4bcdaDd解： 42 224 224abcabcdDabcdddabc 【例 13】已知 ，求 。1213313, ijijaAa11213233aD解：设行列式 的第一列中的第一子列用“ ”表示，第一列中的第二子列用 “ ”表示，D1 21其余符号类推。则：81121323311212122120112121213 33=脚 标 组 合 含 两 个 的 说 明 有 两 列 全 为 ， 行 列 式 等 于aaDaa 3113123223
11、1 34后 面 三 个 行 列 式 按 全 列 展 开 后 为 全 部 元 素 的 代 数 余 子 式 之 和 ， 正 好 等 于 ijiAaaa 2.2余子式与代数余子式的计算方法【例 14】已知 ，求：1230D（1）代数余子式 (2) 余子式1323A1323M解：（1）代数余子式 132313233AA用各代数余子式的系数 替代 的第三列，则, D1323125A(2) 1ij ijijiijijijijMA 余子式 132331323 1323AA用各代数余子式的系数 替代 的第三列，则, -D91323123127MA【例 15】设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 ，第二列元素
12、的余子式依次为, mk，第四列元素的代数余子式依次为 。且行列式的值为 1，求 。1, , 314, 2, mk解：12232422443441110121354412022aAaaAamkmkkk 三、行列式计算方法和技巧陈氏第 22 技 7 种定势全面解决行列式计算问题。行列式从元素特征上分为：数字字母型（五种定势） ，抽象分块型（一种定势） ，参数型（一种定势）三类。共 7 种定势囊括考研中所有可能的行列式计算方法。望读者系统掌握。31 行和相等型 行列式的计算方法当行列式中每一行的元素之和相等（称为行和相等型）时，计算时把各列全部加到第一列，从第一列中提出公因式，然后，各行都减去第一行
13、就可以降阶，对列和相等型也有类似的结论，这是一类极其普遍的题型。【例 16】计算 nabD解：10111100 n nanbab baaDanbaananba 【例 17】已知行列式 ，求 。112112nnnDn 1limnD解： 11112121122111120011 12n nnnnDnnnnnn nn n 1limlinnDe 读者同步练习：11123441 3101 0; 101n iaxaxa 12 111 2112 23; n nn nninxmxm 123443112341!2; ixx aaxnx axxxx 3.2 爪 型 行列式的计算方法除第一行、第一列和主对角上的元素
14、外，其他全部为零的行列式，其形状像个爪形。爪形行列式 的计算一般方法是分三种情况分别讨论。假设主对角上的元素分别为 。 nD 12 na 如 中有两个或两个以上的元素为零，则必有两行成比例，故 ；12 na 0nD 如 中只有一个元素为零，例如 ，则先按第 行展开，再按 列展开， 0kakk便得到一个主对角行列式了； 如 中没有零元素，则从 开始逐一提出主对角元素，然后上三角化，便得到12 na 2a一个上三角行列式了。【例 18】计算 0112n nanDa解：情况一： 至少有两个元素为零，则 ；012 na 10nD情况二： 有一个元素为零，如 （ ） ，则先按 行元 k1kka1k12素
15、展开，再按 列展开。 （ 为清楚细节，请读者以 为例具体推算以下过程）k 6D 100 11 1012111001000 行 展 开 含 元 素 列 展 开整 体 向 上 提 进 一 行knkn n nk kkkaaknanDkaaa 11212 211001 00整 体 向 右 推 进 一 列kkkk knnaa aaa 情况三： 没有元素为零。012 na这是一类很普遍的情形，方法定势是：先把 元素提出行列式外，231, ,nnaa然后把第 列分别乘以某一个适当数后全部加到第一列，从而转化为下三角行列式。具体过程如下： 1001 21212212icn nnnanaDaa 13220 21
16、2 120121010n nn ninaaaaa 评 注 爪形行列式的通用公式： 012011 () 00nnij innabccbaa 其 中【例 19】计算 412034D解：41102203410D1234012342143014 3.3 三对角型 行列式的计算方法当行列式中除了主对角元（主对角元素必须相等）和两邻近主对角元（邻近主对角元素14可以不相等）外，其余全部为零，称为三对角行列式。 计算时，先按第一列展开，可得通用递推公式 1122 nnnDaaD再使用递推法求出 ，递推法常常要用到常系数二阶差分方程，现介绍如下：n常系数二阶差分方程的一般式为： 12 ,nnpqp为 常 数1
17、2122121212 0, nnncpqD其中：系数 由 联立求得。12, c12, D【例 20】 0001 1nababab 解：先按第一列展开得 1 121121122122 120000 =, ,=0, 评 注 ： 也 可 直 接 根 据 公 式nn nnnnnnabbaD abDDaabbDa 121222 ncDcabab1522221112112 nn nnnababaccbaDabaa，读者同步练习：1100, 0 , nn nD 2cos12cos2cos1nDn （提示：按最后一列展开得 ；或按数学归纳法解答。 ）12nnD【例 21】设 元线性方程组 ，其中nAxb2 1
18、23241 0, , axAba 证明11n当 为何值时，该方程组有唯一解，并求2a 1x当 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。3解： 为三对角型，设1nAD162112121212 121222212 0331nnnnnnnnnDaDaDcacacaDc 由克莱姆法则知， 时，方程有唯一解0A22 111010 nnnaaDax a 时，该方程组有无穷多解3a1121,340 0110=+0 0nxx k 主 元 数 故 只 有 一 个 独 立 变 量 取 非 主 元3.4 范德蒙型 行列式和升阶技巧升阶技巧主要有两种，一种是加边，加边的原则是不改变原有行列式的值，并使加边后的行列式能
19、通过简单的加减行列变成爪型；第二种是加补，即加上需要补的一行和需要补的一列，使原有行列式符合范德蒙行列式，再通过代数余子式反求原行列式。【例 22】 121 0n inaDa 解法一：加边升阶法1711 12 212121210 =1-0- irn n nnnnaaD aaaaaa 爪 形解法二：拆项法 1 12 211 2211 22 10 =000按 第 列 展 开in nn n nnr aaDaaaaaa a 12111211211212212nnnnnnnaDaaaDaa 可见升阶技巧做法要简便些。【例 23】计算缺项范德蒙行列式 。12344241xxD解：加补升阶法：补上 项，使原
20、行列式符合标准范德蒙行列式 。3x 5D18 1234 425 14133444123 114 ijijiinijiijixxyDyxyxyxx其 中 式 中 前 的 系 数 为 ：按第 5 列展开 得：5Dx 432551453454 14133124 451234 2 1 2=0 = , , , nyAyAyyyyyDD 一 方 面 ： 项 前 的 系 数在 中 令 前 的 系 数 项 前 的 系 数另 一 方 面 ：在 式 中 ， 令 设 是 它 的 四 个 根 ， 14131234 4144114 0 = = =nn ijiijiijiji Dyyyyxxx 则 根 据 韦 达 定 理
21、 ， 并 注 意 到 和 为 同 一 方 程 。 则 ：前 的 系 数3.5 自相似型 行列式的计算方法自相似行列式分为行和（或列和）相等型和不等型。对相等型，可用多行加和提出公因式，再用三角降阶求之；也可先按第一列展开，得到递推公式。对不等型，先需要分别从末到第二行和第二列逐一对换，使之成为两类特殊的拉普拉斯型而求之。【例 24】1 1121 1n nnn nababDba 解：具有列和相等的特点。方法一：三角降阶19把 列加到第一列，把 列加到第二列， ，把 列加到第 列，提取公因式2n21n 1nn1 1 111 12 11 1 1n n nn nn iin n nnab b bab b
22、D ababaa a 11 21 1110nnn ni iii innbbab ababa 方法二：展开递推对第一列展开，有 1 11 11 22 11 11 1222222212410000 00n n nnn nnn nnnnnnniiiab baDa bababaDabDDab 20【例 25】 2nabDcd 解：为行和不等型。依次进行下列操作，将第 列与第 列对调，将第 列与第 列对调，2n121n2n，将第 3 列与第 2 列对调；在对行进行上述完全相同的操作。得 2 2 1221000 n nnnnabcdabbDacdcdcdadbcDadbcadbcDadbc 本题也可以利用
23、拉普拉斯定理直接得出结论。评 注 可以证明下列公式成立0abadcAc3.6 抽象型 行列式的计算方法【例 26】设 A 为 ， B 为 ， ， 则341A2BA解： 328【例 27】设 A 为 ， ， 把 A 按列分块 ，求 的值？3123,A3121, A解： 原式 321121, , 3= 0621【例 28】 A 为 3 阶阵 计算 1,8A1*83A解： *11原式= 。1133264A【例 29】已知 均为 4 维列向量，若 4 阶行列式 ，123, 123 ; a，则 ？ b321 解： 3213123123321 21 aab【例 30】已知 是三阶矩阵， 是三维线性无关的列
24、向量，若A123, ，求行列式 。12 1; ;AA解：利用分块矩阵，有：123123112323112312 + A123123 0 A 线 性 无 关【例 31】 为正交矩阵， ，求 的解。3ijAa3, , 01Tab0AX解：由于正交矩阵的每行或每列都是单位向量， 说明 所在的行和列的其余元素全3, a3a为零。即：1230ijaA22又正交矩阵 ，故方程有唯一解。根据克莱姆法则：10A123121200, 10aDxxAa3.7 参数型 行列式的计算方法对特征参数型先看看是否具有行和相等的特点（其实大多数具备这个特点） ，如果没有则要找使行列式为零的试探解 ，依之为出发点 00 =1
25、 2一 般 以 ， 试 探 原 行 列 式 是 否 为 零 。利用行列式性质凑出公因式 。【例 32】计算行列式 10f解：观察易知：行和相等。 1210102002121f读者同步练习：计算行列式 。31512363f【例 33】计算行列式 243fkk解：没有行和相等特点，可先观察特解。易知 10f2331 23221014 30 112301cfkkk 24第一章 行列式模拟题一填空题1. 在函数 中， 的系数是_.21()xf3x2. 设 为实数，则当 _，且 _时， =0., abab01ab3. 在 n 阶行列式 中，当 时， ，则 D=_.ijDij0(,2,)ijajn4. 设
26、 A 为 矩阵，B 为 矩阵，且 ，则 _， 45| |AB|AB|BA_.5. 设 A 为 矩阵，|A|=-2，把 A 按行分块为 ，其中 是 A 的第 j 行，则行列式3123A(1,23)j_.312A6. 设 A、B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则| |=_.12*AB二选择题1. 设 A 为 n 阶方阵， 是 A 的伴随矩阵，则 等于*（A） （B） （C ） （D） 2n2n21n2. 设 A 为 n 阶方阵， B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（A）|A|=|B| （B） （C）若|A|=0 ，则一定有 |B|=0 （D ）若|A|0，则一定
27、有 |B|0 3. 设 3 阶矩阵 ， ，其中 均为 3 维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，23232,则行列式|A-B|等于（A）1 （B）2 （C ）3 （D ）4 三解答题251. 设|A|= ，计算 .其中 是|A|中元素 的代数余子1534241243AA4(1,23)j4jA式。2. 计算元素为 的 n 阶行列式。|ija3. 计算 n 阶行列式 。1122()1nnnxxnDxx 4. 设 是互异的实数，证明： =0 的充要条件是 。, abc331abc0abc5. 证明：奇数阶反对称的行列式为零。6. 设 ，证明：可以找到数 ，使 。225811()337fxx
28、(01)()0f7. 试证：如果 n 次多项式 对 n+1 个不同的 x 值都是零，则此多项式等于零。01()nfCx8. 设 ，求 。()Fx23106x()F26第一章 行列式模拟题答案一填空题1. 显然， 项只能在主对角线上的元素的积中取到，3x即 3()2()2fx 答案为-22. 将行列式按最后一列展开，得 20(1)()01abab得 0, ab3. 该行列式为下三角形，故 12nDa4. 562()()4ABB43A5.313312221131 AA一6. *,nnEAE一得 12n而 11,3BB一21*1*122()3nnnA二选择题1. 先证明 1*,nAE（1） 若 1*
29、0,nnA一（2） 若 *,027 若秩 *1,0.An一秩(A)+秩( ) ，得秩( )*A1显然秩( ) 0A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，即秩 ( )=1*有 1*n 若秩 阶子式都为 0，,()一故 1*0nAA综上(1)(2)，有 于是 。选（D ） 。21*nn2. 设 B=PAQ，其中 P，Q 为可逆矩阵，于是当|A|=0，|B|=|PAQ|=|P| |A| |Q|=0故选（C） 。3. 2223 33AB一2233112AB选（B） 。三解答题1. 412431534621AA2.0122031ijn nan 012111n一28121102001()nnnn 一3. 当
30、 时 1122nxDx当 时 2111222011nnnnxnnxxx 一4. 333310abcac222()()0bbacaca得证。, ,一5. 设 A 为反对称矩阵，即 TA于是有 ,(1)Tn一当 n 为奇数时，即为 ，得 =06. 显然 f(x)在 0，1上连续且在（ 0，1）内可导。又 1(0)35f291()206f，于是由罗尔定理，存在 ，使得 。(0)1f (0,1)()0f7. 证法一：设 中第一个不为零的数为 ，则 f(x)为 i 次多项式，故 f(x)=0，矛盾，10,nC iC得 =0 （i=0,1,2,n）, 得证i (),fx证法二：设 n+1 个不同的值为 012,n即有 01101,0,nnnCxx 以 为未知量，1,该方程组的行列式为 010()njiijnnxxx因为 互不相同，故该行列式值不为零，所以原齐次线性方程组只有零解，012,nx 0C故 得证。()fx8. 232333(16)(2)642,6xFxxx故 。2()x
