1、常见 “恒成立问题” 的解决办法在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用因此也成为历年高考的一个热点下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法一 变量分离法变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路 1、 max)()( fDxfm上 恒 成 立在思路 2、 in上 恒 成 立在例 1已知函数 f(x)2 x 若不等式 2t f(2t)+m f(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数12|x|
2、m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决当 时，,t21()()02t ttt即 ， ，24(1)ttt 2(1)tm，,t 2()17,5t故 的取值范围是m,例 2设 ，其中 a 为实数，n 为任意给定的自然数，且 ，如果 当 时有意义，求 a 的取值范围解：本题即为对于 ，有 恒成立这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求 a 的范围，可先将 a分离出来，得 ，对于 恒成立构造函数 ，则问题转化为求函数 在上的值域，由于函数 在上是单调增函数，则 在 上为单调增函数于是有 的最大值为 ，从而可得 如何在区间 D 上求函数 f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题
3、的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 f（x）的最值三 构造函数法1、一次函数型若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理，若在m,n内恒有 f(x)2a+x 恒成立的 x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将 a 视作自变量，则上述问题即可转化
4、为在 -2，2内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+10 在|a| 2 时恒成立 ,设 f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则 f(a)在-2,2上恒大于 0，故有：即 解得：)2(f01342x13x或或x3. 即 x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型若二次函数 y=ax2+bx+c(a0)大于 0 恒成立，则有 ；若是二次函数在指0且a定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解例 6 若函数 的定义域为 R
5、，求实数 的取值范围.12)()1()2xaxf a分析：该题就转化为被开方数 在 R 上恒成立问题，并0)(2a且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当 恒成立，时 ，Rx1)()1(2xa所以 当 ,0,012 aa时 ，即 当此时 .112)()(2 ax当 时 ，时 ， 即 当 02)(4)(,0122 aa有 ,91,0912 aa综上所述，f(x)的定义域为 R 时， ,1例 7.已知函数 ，若 时， 恒成立，求 的取2()3fxa2,x()0fxa值范围.分析：要使 时， 恒成立，只需 的最小值 即可.,()0f)(f)(g解： ，令 在 上的最小值为 .2()34afx()fx
6、2,a当 ，即 时， 又 ()730gafa734不存在 .a当 ，即 时， 242()4f62a又 42a当 ，即 时， 又 a()70gfa747综上所述， .对于二次函数在 R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例 6） ，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题（如例 7） 五 换元引参法例 9.对于所有实数 x，不等式 恒成立，求 a 的取值范围解：因为 的值随着参数 a 的变化而变化，若设 ，则上述问题实质是“当 t 为何值时，不等式 恒成立” 这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于 t 的不等式组： 解得 ，即有 ，易得 通过换元引参，把把问题变成熟悉的二次函数问题，使问题迎刃而解六 变更主元法例 10.若对于 ，方程 都有实根，求实根的范围解：此题一般思路是先求出方程含参数 m 的根，再由 m 的范围来确定根 x 的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以 m 为主元，则 ，由原方程知 ，得 又 ，即解之得 或 利用变更主元法解决恒成立问题，应先把主元变更，然后结合两者之间的关系，得出正确答案.
