1、 高三数学 参考答案 第 1页 共 6页 嘉兴市 20192020学年第一学期期末检测（2020.1） 高三数学 参考答案 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分） 1A； 2A； 3B； 4C； 5C； 6B； 7D； 8C； 9D； 10D 10提示：连接 A D 2 5 ) ( 2 1 ) )( ( 2 1 ) ( 2 2 A B A C A B A C A B A C B C A D B C D A P D B C P A 二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分） 11 2 13 5 ； 12 50 925 12 ； 134 5
2、108 x ； 14 7 27 3 ； 15 5 4 ； 16 4 ； 17 2 2 17提示：设 FC AC, 的中点为 N M, ， C P 的中点 G 的轨迹是以 M N 为直径的半圆 三、解答题（本大题共 5小题，共 74分） 18 （本题满分 14分） 设函数 ) 3 2 cos( sin 2 ) ( x x x f （）若 2 , 0 x ，求 ) ( x f 的单调递增区间； （）在 A B C 中， 1 A B ， 2 A C ， 2 3 ) ( A f ，且 A为钝角，求 C sin 的值 18 （） ) 3 2 cos( sin 2 ) ( x x x f ) sin 2
3、3 cos 2 1 ( sin 2 x x x x x x 2 sin 3 cos sin 2 ) 2 cos 1 ( 3 2 2 sin x x 2 3 ) 3 2 sin( x 当 2 , 0 x 时， 3 2 , 3 3 2 x 当 3 2 , 2 3 2 x ，即 2 , 12 5 x 时， ) ( x f 是增函数 高三数学 参考答案 第 2页 共 6页 C A B C D A B D H （）在 A B C 中，由 2 3 ) ( A f ，得 6 A 或 3 2 因为 A为钝角，所以 3 2 A 由余弦定理得 7 ) 2 1 ( 2 1 2 4 1 cos 2 2 2 A A C
4、 A B A C A B B C 又由正弦定理 C A B A B C sin sin ，得 14 21 7 3 2 sin 1 sin sin B C A A B C 19 （本题满分 15 分）如图，在四棱柱 D C B A A B C D 中，底面 A B C D 为等腰梯形， 1 B C A B D A ， 2 D C . 平面 D C D C 平面 A B C D ，四边形 D C D C 为菱形， 60 D C D . （）求证： B C A D ； （）求 A D 与平面 B C B C 所成角的正弦值. 19方法一、 （） 连接 D B、 A B ， 取 D C 中点 H ，
5、连接 H D 、 H B . 等腰梯形 A B C D 中， 1 B C A B D A ， 2 D C . 60 D C B ， B C D B . 又在菱形 D C D C 中， 60 D C D ， B C H D . 又平面 D C D C 平面 A B C D ， 交线为 D C ， H D 底 面 A B C D . H B D A A D / / ， H B D A A D ， 四边形 A D H B 为平行四边形， B A H D / . B A 底面 A B C D ， B C B A ， 又 D B B A , 相交， B C 平面 D B A ， A D B C . H
6、C A B C D A B D K O 高三数学 参考答案 第 3页 共 6页 （）取 C D 中点 K ，连接 A K H K AH , , ， D B AH , 相交于点 O ，连接 O A ，显然 平面 A A H K /平面 B C B C . B C 平面 D B A ，平面 B C B C 平面 D B A ，平面 A A H K 平面 D B A ，交线为 O A ， O A D 为 A D 与平面 B C B C 所成角. 1 tan A B B D B A D ， 2 1 tan A B O B B A O ， 3 1 2 1 1 1 2 1 1 tan O A D ， 10
7、 10 sin O A D . A D 与平面 B C B C 所成角的正弦值为 10 10 . 方法二、 （）取 D C 中点 O ，连接 D O . 四边形 D C D C 为菱形， 60 D C D ， C D D O . 又平面 D C D C 平面 A B C D ，交线为 D C ， D O 底面 A B C D . 以 O 为原点如图建立空间直角坐标系， 则 ) 3 , 0 , 0 ( ), 0 , 2 1 , 2 3 ( ), 0 , 2 1 , 2 3 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( D B A C D . ) 3 , 2 3 , 2 3 (
8、) 3 , 1 , 0 ( ) 0 , 2 1 , 2 3 ( D D D A A A D A A D ， ) 0 , 2 1 , 2 3 ( B C ， 0 0 4 3 4 3 B C A D ， B C A D . （） ) 3 , 1 , 0 ( D D C C ，设平面 B C B C 的法向量为 ) , , ( z y x m ，则 0 2 1 2 3 0 3 y x z y ，取 ) 3 , 3 , 3 ( m ， 10 10 15 6 3 6 , cos A D m . A D 与平面 B C B C 所成角的正弦值为 10 10 . O x y z C A B C D A B
9、D 高三数学 参考答案 第 4页 共 6页 20 （本题满分 15分）已知数列 n a 的前 n项和为 n S ， 1 2 n n a S （ n N * ） （）求数列 n a 的通项公式； （）若 1 1 1 1 1 n n n a a c ， n T 为数列 n c 的前 n项和求证： 3 1 2 n T n 20 （） 1 2 n n a S （ n N * ） ，令 1 n ，得 3 1 1 a 又 ) 2 ( 1 2 1 1 n a S n n ，两式相减，得 3 1 1 n n a a n n a ) 3 1 ( （） 1 ) 3 1 ( 1 1 ) 3 1 ( 1 1 n n
10、n c 1 3 3 1 3 3 1 1 n n n n 1 3 1 1 3 1 2 1 n n) 1 3 1 1 3 1 ( 2 1 n n 又 1 1 3 1 1 3 1 , 3 1 1 3 1 n n n n ， ) 3 1 3 1 ( 2 1 n n n c 3 1 3 1 ) 3 1 3 1 ( ) 3 1 3 1 ( 2 1 3 2 2 ） （ n n n n T 3 1 3 1 2 1 n n 3 1 2 n 3 1 2 n T n 21 （本题满分 15 分） 设点 A， B 的坐标分别为 ) 4 , 4 ( ， ) 16 , 8 ( ，直线 A M 和 B M 相 交于点 M
11、，且 A M 和 B M 的斜率之差是 1. （）求点 M 的轨迹 C 的方程； （）过轨迹 C 上的点 4 , ) , ( 0 0 0 y y x Q ，作圆 D： 4 ) 2 ( 2 2 y x 的两条切线，分 别交 x轴于点 G F , .当 Q FG 的面积最小时，求 0 y 的值. 21 （）设 ) , ( y x M ，由题意得 1 8 16 4 4 x y x y 化简得点 M 的轨迹 C 的方程为： ) 4 , 8 ( 4 2 x x y x 高三数学 参考答案 第 5页 共 6页 （）由点 ) 4 ( , ) , ( 0 0 0 y y x Q 所引的切线方程必存在斜率，设为
12、 k 则切线方程为 ) ( 0 0 x x k y y ，即 0 0 0 kx y y kx 其与 x轴的交点为 ) 0 , ( 0 0 k y k x ， 而圆心 D到切线的距离 d 2 1 2 2 0 0 k k x y ， 整理得： 0 4 ) 2 ( 2 ) 4 ( 0 2 0 0 0 2 2 0 y y k y x k x ， 切线 Q F 、 Q G的斜率分别为 2 1 , k k ，则 2 1 , k k 是方程的两根， 故 ) ( 4 4 4 ) 2 ( 2 2 0 0 2 0 2 1 2 0 0 0 2 1 x y y k k x y x k k而切线与 x轴的交点为 ) 0
13、 , ( 0 0 k y k x ，故 ) 0 , ( 1 0 0 1 k y x k F ， ) 0 , ( 2 0 0 2 k y x k G ， 又 ) 0 ( , ) , ( 0 0 0 y y x Q ， Q G F Q F G y x x S 2 1 ， 2 0 2 1 2 1 0 2 0 0 2 1 0 0 1 2 1 2 1 y k k k k y k y x k k y x k S Q F G 2 2 1 2 1 2 2 1 2 0 2 2 1 2 2 1 2 0 ) ( 4 ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 k k k k k k y k k k k y 将 ) (
14、代入得 4 4 2 ) 4 ( ) 4 )( 4 ( 4 ) 2 ( 4 2 1 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 y y y x y y y y y x y x y S QF G ， 而点 Q在 ) 4 , 8 ( 4 2 x x y x 上，故 ) 4 ( , 4 0 0 2 0 y y x ， 4 16 ) 4 ( 8 ) 4 ( 2 4 4 ) 4 ( 2 4 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 y y y y y y y S Q F G32 16 4 16 ) 4 ( 4 ) 8 4 16 4 ( 2 0 0 0 0 y
15、y y y ， 高三数学 参考答案 第 6页 共 6页 当且仅当 4 4 16 4 0 0 0 y y y ，即 8 0 y 时等号成立 又 0 2 0 4 y x ， 2 4 0 x ， 故当点 Q 坐标为 ) 8 , 2 4 ( 时， 32 ) ( min Q F G S 22 （本题满分 15分） 已知函数 ) 0 ( ln ) ( a c b x x a x f 有极小值 （）试判断 b a, 的符号，求 ) ( x f 的极小值点； （）设 ) ( x f 的极小值为 m ，求证： a b a c a m 4 4 2 22 （） x b x a b x a x f ) ( ， 0 x
16、 又函数 ) 0 ( ln ) ( a c b x x a x f 有极小值点 0 , 0 a b ， ) ( x f 的极小值点为 b a （）由（）知， ) ( b a f m ， a b a c a b a f a b a c a m 4 4 ) ( 4 4 2 2 a b b a a a b c a c a b a a 4 ) ln( 4 ) ln( 2 2 ) ( 4 1 ) ln( 2 a b b a a 令 t b a ， 2 4 1 ln ) ( t t t g , 0 t 则 3 2 3 2 1 2 2 1 1 ) ( t t t t t g 令 0 ) ( t g ，得 2 2 t ， ) ( t g 在 ) 2 2 , 0 ( 单调递减，在 ) , 2 2 ( 单调递增 0 2 1 ) 2 2 ln( ) 2 2 ( ) ( g t g 0 a ， 0 ) ( t a g ， a b a c a m 4 4 2
