1、求解：单元体的主应力。（应力单位为MPa）。,一.已知一个主应力，求另外两个主应力：转化成平面应力状态求解。,7.5 三向应力状态,例：单元体上的应力如图, 求三个主应力及最大切应力。,解: 该单元体有一个已知主应力,用解析法或图解法求另外两个主应力。得到：, 1 =46MPa, 2 =20MPa, 3 = -26MPa,2.最大切应力？,1,2,2,1)用截面法, 将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象.,二. 已知单元体有三个不为零的主应力，画应力圆。,首先研究与其中一个主平面 （例如主应力3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力。,2)主应力3 所在的两平面上有一对自相平衡的力,因而斜面上
2、的应力 , 与3 无关, 只与主应力1 , 2 有关.,3)因此，该斜面上的应力可由 1，2 作出的应力圆上的点来表示.,由1、2确定的应力圆周上的点，对应于与3 垂直的所有斜截面上的应力。,O,由1、3确定的应力圆周上的点，对应于与2 垂直的所有斜截面上的应力。,由2、3确定的应力圆周上的点，对应于与1 垂直的所有斜截面上的应力。,结论:,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力.,O,通过证明，对于与三个主平面均不垂直的任意斜截面abc，该截面上应力 和 对应的点位于上述三个应力圆所围成的阴影内。,2.最大切应力？,三. 三向应力状态下切应
3、力的极值,1)最大、最小切应力：,练习：习题7.19（a、c）,沿x轴方向的线应变：沿y轴方向的线应变：沿z轴方向的线应变：,7.6 广义胡克定律,1.单向拉伸胡克定律 ：,2.泊松效应 ：,例:求x方向的线应变：,分别计算出x, y, z 单独在每个方向引起的线应变x ,y,z,然后叠加.,引起的线应变,引起的线应变,引起的线应变,一、各向同性材料的广义胡克定律,2.在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为：,1.x,y,z方向的线应变x ,y,z为：,（以上各式统称为广义胡克定律。）,3.主应力(1,2,3)主应变(1,2,3)的关系,例:边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入变形可略去
4、不计的钢凹槽中, 已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到合力为F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力, 以及最大切应力.,解:1.铜块横截面上的压应力,2.考虑铜块的变形：,铜块受力状态,3.解得：x-15.5MPa， z-15.5MPa,1 =2 =-15.5MPa,3=-30MPa.,作业：习题7.26,例：已知矩形截面外伸梁受力F1=100KN,F2=100KN.作用.弹性模量E=200GPa,泊松比= 0.3,求:（1）A点的主应变 1, 2 , 3,（2）A点的线应变 x , y , z,解: 1.A点的应力状态,3.A点的主应变1， 2 ， 3,2.A
5、点的主应力1,2 ,3,4.A点的线应变 x , y , z,（正）,（负）,二、各向同性材料的体积应变,构件单位体积的体积变化, 称为体积应变,用表示.,1）单元体原边长为：dx ,dy ,dz,2）变形后的边长分别为：,3）变形后单元体的体积为：,dx(1+,dy(1+2 ,dz(1+3,V1=dx(1+dy(1+2dz(1+3,体积应变为:,公式（7.21）,例:边长a = 0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中, 已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的体积应变.,解:,1.铜块的主应力为：,2.体积应变为：,平均应力：,体积应变：,体积弹性模量：,体积应改与三个主应力的和有关，与三个主应力间的比例无关，作用三个不相等的主应力或作用三个相等的平均应力，对体积改变效果相同。,回顾：1.轴向拉压杆件的应变能：,2.应变能密度：单位体积的应变能。符号:小写v,7.9 复杂应力状态的应变能密度,1.三向应力状态下单元体的应变能密度：,单元体的总变形可由两部分变形合成：,单元体的应变能密度可分为两部分：,证明：在如图应力状态下，单元体的体积不改变。（提示：利用公式7.22）,其中：,
