1、数列1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2， 3，n ）的特殊函数，如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用一个公式来a表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知 ，则在数列 的最大项为_（答： ） ；*2()156naNn125（2）数列 的通项为 ，其中 均为正数，则 与 的大小关系为_（答： ） ；1bnab,na1 na1（3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ） ；na2n 3递推关系式：已知数列 的第一项
2、（或前几项） ，且任何一项 与它的前一项 （前 n 项）间的关系可以用一个an1式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的分类：按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前 n 项和： .asnn321已知 求 的方法（只有一种）：即利用公式 = 注意：一定不要忘记对 n 取值的讨论！最后，san )2(,11nsn还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n 2 的关系式，从而决定能否将其合并。2.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
3、那么这个数列叫做等差数an列，这个常数叫等差数列的公差。即 .(或 ).)2,*(1nNdn且 )*(1Nndan（1） 等差数列的判断方法： 定义法： 为等差数列。 中项法： 为等差数列。)(1常 数danan nn21an通项公式法： （a,b 为常数） 为等差数列。前 n 项和公式法： （A,B 为常数）bBAs为等差数列。an如设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列 为等差数列。n aan21*Nnb（2）等差数列的通项： 或 。公式变形为: . 其中 a=d, b= d.1()nd()nmdaa1(1)等差数列 中， ， ，则通项 （答： ）；na03205aa210n（
4、2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： ）83d（3）等差数列的前 和： ， 。公式变形为： ，其中n1()2nnaS1()2nSadBnAsn2A=d，B= .注意：已知 n,d, 1, n, s中的三者可以求另两者，即所谓的“知1三求二”。（1）数列 中， ， ，前 n 项和 ，则 ， na*1(2,)nnN32na152nS1an（2）已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 项和 （答：S|T2*(6,)17nNn（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbababA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式
5、中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作n1dnnS1ad为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；偶数个数成等差，可设2,adad为， ,（公差为 2 ）3,adad3.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；011()nadnand前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21()(ndSa（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。d0d（3）对称
6、性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 时,则有n mnpq，特别地，当 时，则有 .如qpmaa2mnp2mnpa（1）等差数列 中， ，则 _（答：27） ；n138,1nnSaS（2）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，则1010|nA、 都小于 0， 都大于 0 B、 都小于 0， 都大于 0 1210,S 2, 1219, 21,SC、 都小于 0， 都大于 0 D、 都小于 0， 都大于 0 （答：B）5 67S S (4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 成等差.若 、 是等差数列，则),.(, *2Nmkaknab、 ( 、 是非零
7、常数)、 、 ，也成等差数列，而nkanpbkp*()pnq232,nnS成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和na0algn为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）（5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ； ； .na2n)(1ansnds奇偶 an1奇偶项数为奇数 时， ； ； 。 如21anns)1(21奇偶 奇偶（1）在等差数列中，S 1122，则 _（答：2） ；（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，6 na偶数项和为 75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设 d 为等差数列
8、 的公差，an则 d0 是递增数列；d0 且满足 ,则 最小.0101n01a01ansn“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最n小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差011nna或数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运n *nN用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 中， ， ，前多少项和最大？并求此最大值。 （答：前 13 项和最大，最大值为na125917S169） ；（2
9、）若 是等差数列，首项 ，n10,a2304a，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 （答：4006）0324anS(9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab4.等比数列的有关概念：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做an等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 （或)2,(*1nqNn )(*1Nanq（1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或 。如a为 常 数 ） 0,n1na(2)（1）一个等比数
10、列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则 为_（答： ） ；na21 1na56（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列 是等比数列。nS1annab21b（2）等比数列的通项： 或 。如1nqm设等比数列 中， ， ，前 项和 126，求 和公比 . （答： ， 或na6n218nnSq6n12q2）（3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。如（1）等比数列中，q1nSaq1()nnana2，S 99=77，求 （答：44）q963a特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再q由 的情况
11、选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，要对 分 和 两种情形讨论求解。qq1（4）等比中项：如果 a、G 、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G= .提醒：不是任何两ab数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数 的等差中项为 A，等,()比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为 _（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前 项和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作n1aqnnS1aq为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运
12、算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为2,aq，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数33,aq 2q成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 时，则有an mnpq，特别地，当 时，则有 .如qpnma2mp2.pnma（1）在等比数列 中， ，公比 q 是整数，则 =_（答：
13、512） ；n38471,51a10a（2）各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （答：10） 。n5693132310loglloga(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、na| *(,)pnqNnknb、 nab成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。当nbna1232,nnnSS，且 为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. 若 是等比数列，且1q232,nnnSS an各项均为正数，则 成等差数列。 如anlog（1）已知 且 ，设数列 满足 ，且 ，则0a1nx1loglogananxx(*)N1210xx. （答：
14、） ；（2）在等比数列 中， 为其前 n 项和，若022xx 10 nanS，则 的值为_（答：40）4,33010SS20S(3) 单调性：若 ，或 则 为递增数列；若 ,或 则1,aq1,aqna10q10,q为递减数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.nan1(4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式1qbaqqSnn 10a,0abn的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。如若 是等比数列，且 ，则 nn n 3nSr（答：1）(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，mnmnnmSqSnaqn12,n则 的值为_（答：
15、2）q(6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， .na2S偶 奇 211Saq奇 偶(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等nan差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列 的前 项和为 （ ） ， 关于数列 有下列三个命题：nnSNa若 ，则 既是等差数列又是等比数列；若 ，则 是等差数列；)(1Nnanna Rba、2 n若 ，则 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）S等差数列中，S m+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，S m+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；6.数列的通项的求法：公式法：等
16、差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列 试写出其一个通项公,321967,85413式：_（答： ）12nna已知 （即 ）求 ，用作差法： 。如nS12()nf na1,()2nnSa已知 的前 项和满足 ，求 （答： ） ；数列 满足na2log(1)nSn3,nna，求 （答： ）1215n na14,2n已知 求 ，用作商法： 。如数列 中， 对所有的12()nafA n(),2)nfna,1都有 ，则 _（答： ）2n2321na 53a61若 求 用累加法：()nf1221()()()nnnaaa。如已知数列 满足 ， ，则 =_（答：1a(2)na1n1(n）1n已知 求
17、，用累乘法： 。如已知数列 中， ，前()nafna121naa ()nna21项和 ，若 ，求 （答： ）nSn24()n已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。特别地， （1）形如 、 （na 1nakb1nnakb为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。如,kb k已知 ，求 （答： ） ；已知 ，求 （答：11,32nna123nA11,32nn） ；532naA（2） 形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。如1nakb已知 ，求 （答： ） ；已知数列满足 =1， ，求11,3nna132n1a11nna（答： ）na2n注意：（1）用 求
18、数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时，1nSa 2n1） ；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转SnaS 1nSa化为只含 或 的关系式，然后再求解。如数列 满足 ，求 （答：n n11154,3naS）14,32naA7.数列求和的常用方法：（1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式： ，1123()2n， .如22()216nn 333()2n（1）等比数列 的前 项和 S 2 ，则 _（答： ） ；（2）计算
19、机na 22321naa 413n是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1”，如 表示二进制数，将它转换成十进制形式是2)0(，那么将二进制 转换成十进制数是_（答： ）132012013 1205)(个 2051（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求： （答： ）1357(1)2nnS (1)n（3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法。 （联系：等差数列的前 n 项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题） ）. 如已知 ，则
20、_（答： ）2()1xf 1()2(3)4()()234ffff72（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）. 如n设 为等比数列， ，已知 ， ，求数列 的首项和公比；求数na121()n nTaa 1T24na列 的通项公式.（答： ， ； ） ； Tq2（5）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前 n 项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项
21、形式有： ； ；1()1nn1()()knk ， ；2(kk 211()()kk ；)12(1)(nn ()(1)(2)nnn ；(kk()!()!如（1）求和： （答： ） ；（2）在数列 中，1147(32)()n 31nna，且 S ，则 n_（答：99） ；nan（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36， ，前 项和 = （答： ） ；求和：(3)nS (1)53n（答： ）112 218. “分期付款” 、 “森林木材”型应用问题(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指” ，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.(2)利率问题：单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 元，每期利率为 ，pr则 期后本利和为：n(1)(2)(1)nSprrpnr（等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）()2pr元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分 期还清。如果每n期利率为 （按复利） ，那么每期等额还款 元应满足： （等比x12(1)()()(1)nnnprxrxrxr数列问题）.
