1、八下第 18 章 勾股定理 勾股定理知识点导航一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a， b，斜边长为 c，那么a2 b2 c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足 a2b 2c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。 ）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断
2、直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c） ；（2）若 c2 a2 b2，则ABC 是以C 为直角的三角形；若 a2 b2 c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；若 a2 b2 c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于
3、 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30。5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为 的线段n6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHGFED CBAbac baccabcababccbaEDCBA7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理：（一）结合三角形：1.已知 ABC 的三边 、 、 满足 ，则 ABC
4、 为 三角形abc0)()(22cba2.在 ABC 中，若 =（ + ） （ - ） ，则 ABC 是 三角形，且 2903.在 ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，则 BC 的长为 4、已知 与 互为相反数，试判断以 、 、 为三边的三角形51yx25102zxyz的形状。5、.已知：在 ABC 中，三条边长分别为 、 、 ， = ， =2 ， = （ 1）abc12nbc12n试说明： C= 。906.若 ABC 的三边 、 、 满足条件 ，试判断 ABC 的形abc2acbacb26410382状。7.已知 则以 、 、 为边的三角形是 ,0)1(8262cbaabc（
5、二） 、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一架长 2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 （如图） ，如果梯子的顶端沿mm墙下滑 0.4 ，那么梯子底端将向左滑动 米第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图（2）如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米， （填“大于” ， “等于” ，或“小于” ）（3）如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x 米时，梯足 B 沿 CB方向滑动 y 米，则 x 与 y 的大小关系是
6、（ ）A. X+y B. xy C. x y D. 不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 1 m，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为 h，则下列式子总能成立的是（ ）A. B. C. D. 2ba22ba1221hba变：如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，设 AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：（1） 221hba（2） c（3）以 ，为三边的三角形是直角三角形试一试：（1）只需证明 ，从左边推到到右
7、边1)(22bah（2） c（3） ，注意面积关系 的应用22 chab86ACBDA BC3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm，得到 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙1C（盒壁的 忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点 处静止不动，如图 a，在盒子的内部我们先取棱 的中点 E，再连结 AE、1C1B，昆虫乙如果沿途径 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中EC1EA的道理，并在图 b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图 b，假设昆虫甲从点 以 1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿 向
8、下爬行，同时昆虫乙从顶点CC1A 以 2 厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2） ，当昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点 C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，1利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2.如图，一块砖宽 AN=5，长 ND=10，CD 上的点 F 距地面的高 FD=8，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20 、3 、2 ，A 和 B 是这个台阶两dmd相对的端点，A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着
9、台阶爬到 B 点的最短路程是 分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短为（ ）A. B. C. D.a321a3a5BAQNMP5、如图，壁虎在一座底面半径为 2 米，高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3）6、如图为一棱长为 3cm 的正方体，把所有面都分为 9 个小正方形，其边长都是 1c
10、m，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点，最少要花几秒钟？7 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为 3 cm，绕一圈升高 4cm，则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为 8 cm，绕一圈爬行 10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高多少厘米？8、如图，A、B 是笔直公路 l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是 300m 和
11、500m，两村庄之间的距离为 d(已知 d2=400000m2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？4、实际问题1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水3平距离是 米。3. 如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC50米，B60，则江面的宽度
12、为 。5、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点 A 处有一所中学，AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18 千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？APQMNABl5、求边长：1.如图所示，在四边形 ABCD 中，BAD=90 ，DBC=90 ，AD=3，AB=4，BC=12 ，求 CD。006、方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行，在 A 点望湖中小岛
13、 M，测得MAN30，当他到 B 点时，测得MBN45，AB100 米，你能算出 AM 的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行 8 km，接着，它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km? 若轮船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?M A B N 7、折叠问题：1.如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？2.如图，在长方形 ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置，CE 与 AD 交于点 F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果 AB=
14、3，BC=4，求 AF 的长3.如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC 边上存在一点 E，沿直线 AE 把ABC 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若ABF 的面积为 30，求折叠的AED 的面积4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？DCBAFE5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC 折叠，使点 B 与点A 重合，折痕为 DE，则 CD 等于（ ）A. B. C. D. 42534756、如图，矩形纸片 AB
15、CD 的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为 BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长.8、利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.9、旋转问题1、如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，PA=2,PB= ,PC=4,23求ABC 的边长。2、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合） ，在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由.3、如图，正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的中点，F 是 AB 上一点，且 ，那么DEF 是直角三角14FBA形吗？为什么？
