1、12017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）2(,)1Axy(,)BxyABA3 B2 C1 D02设复数z满足 ，则 （）(1i)zzA B C D2223某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7
2、 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4 的展开式中 的系数为（）5()2xy3xyA B C40 D805已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程为 ，且与椭圆21xCab： 0ab52yx有公共焦点则 的方程为（）213xyA B C D2802145xy2154xy2143xy6设函数 ，则下列结论错误的是（）()cos)3fx2A 的一个周期为 B 的图像关于直线 对()fx2()yfx83x称C 的一个零点为 D 在 单调递减()f6x()f,)27执行右图的程序框图，为使输出 的值小于91，则输入的正整数 的最小值为（）SNA5B4C3D28已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在
3、直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A B C D34 49等差数列 的首项为1，公差不为0若 ， ， 成等比数列，则 前6项的na2a36na和为（）A B C3 D824310已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， ，且以线段 为2:1xyCab0a1A21A2直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（）A B C D633 311已知函数 有唯一零点，则 （）21()(e)xfxaaA B C D11 31212在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上若CD1A2DPB，则 的最大值为（）PA3 B C D25二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13
4、若x，y满足约束条件 则 的最小值为 _0,xy 34zxy314设等比数列 满足 ， ，则 _na12a13a415设函数 则满足 的x的取值范围是_,0()xf ()12fx16 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与ab ABC， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：ABC当直线 与 成 角时， 与 成 角；a60b30当直线 与 成 角时， 与 成 角；6直线 与 所成角的最小值为 ；45直线 与 所成角的最大值为 其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题
5、，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， sin3cos0A27a2（1）求c；（2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积DADCBD18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，205，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面
6、的频数分布表：最高气温 105， ， ， 2530， 35， 40，天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列；X（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）当六月份这种酸奶一天的Y进货量 （单位：瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？n419（12分）如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形ABCD ACD， ABD=（1）证明：平面 平面 ；（2）过 的平面交 于点 ，若平面E把四面体 分成体积相等的两部EC分求二面角 的余弦值A-20（12分）已知抛物线 ，过点（2，0）的
7、直线 交 于 ， 两点，圆 是:Cyx=lCABM以线段 为直径的圆AB（1）证明：坐标原点 在圆 上；OM（2）设圆 过点 （4， ），求直线 与圆 的方程P-l21（12分）已知函数 ()1lnfxax（1）若 ，求 的值；()0f（2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小m211()()nm+值ABE522选修4-4 ：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t 为参数），直线 的参数方程l,xykl为 （m为参数），设 与 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C,xykl（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
8、系，设，M为 与C的交点，求M的极径:(cosin)ll23选修4-5 ：不等式选讲 （10分）已知函数 ()|fxx（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集非空，求m 的取值范围f62017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）2(,)1Axy(,)BxyABA3 B2 C1 D0【答案】B【解析】 表示圆 上所有点的集合， 表示直线 上所有点的集合，2 yx故 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即 元素的个数为2，故选B.2设复数z满足 ，则 （）(1i)2zz
9、A B C D22【答案】C【解析】由题， ，则 ，故选C.2i1ii21z 21z3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图7根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4 的展开式中 的系数为（）5()2xy3xy
10、A B C40 D80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含 的项为3xy，则 的系数为40，故选C.233255C40xy3xy5已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程为 ，且与椭圆21ab： ab52x有公共焦点则 的方程为（）213xyCA B C D2802145xy2154xy2143xy【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ，则 2yx2ba又椭圆 与双曲线有公共焦点，易知 ，则 213xy3c229abc由解得 ，则双曲线 的方程为 ，故选B.,5abC2145xy6设函数 ，则下列结论错误的是（）()cos)3fxA 的一个周期为 B 的图像关于直线 对f2()
11、yfx83x称8C 的一个零点为 D 在 单调递减()fx6x()fx,)2【答案】D【解析】函数 的图象可由 向左平移 个单位得到，cos3fcosy3如图可知， 在 上先递减后递增，D 选项错误，故选 D.fx,2 -6AxyO7执行右图的程序框图，为使输出 的值小于91，则输入的正整数 的最小值为（）SNA5B4C3D2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SMt初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 2第2次循环结束 90 1 3此时 首次满足条件，程序需在 时跳出循环，901St即 为满足条件的最小值，故选D.N8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的
12、球面上，则该圆柱的体积为（）A B C D34 4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 ，213r则圆柱体体积 ，故选B.234Vrh 9等差数列 的首项为1，公差不为0若 ， ， 成等比数列，则 前6项的na2a36na和为（）9A B C3 D8243【答案】A【解析】 为等差数列，且 成等比数列，设公差为 .na236,ad则 ，即2361115da又 ，代入上式可得1 20又 ，则0d ，故选 A.6156242Sa10已知椭圆 （ ）的左、右顶点分别为 ， ，且以线段 为2:xyCb0a1A21A2直径的圆与直线 相切，则 的离心率为（）CA B C D6
13、33 3【答案】A【解析】以 为直径为圆与直线 相切，圆心到直线距离 等于半径，12 20bxayd 2abd又 ，则上式可化简为0,23ab ，可得 ，即22bac23ac ，故选A63e11已知函数 有唯一零点，则 （）21()(e)xfxaaA B C D11 312【答案】C【解析】由条件， ，得：21()(e)xfxa2(2)1211()4(exxxfx ，即 为 的对称轴，()ff()f由题意， 有唯一零点， 的零点只能为 ，fx即 ，211(1)(e)0a解得 a12在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上若ABCD12ADPCBD，则 的最大值为（）PA3 B
14、C D25【答案】A10【解析】由题意，画出右图设 与 切于点 ，连接 BDCAEC以 为原点， 为 轴正半轴，x为 轴正半轴建立直角坐标系，y则 点坐标为 (2,1) ， | 25B 切 于点 DCAE 是 中斜边 上的高Rt BD12|2| 5|BCDCSE即 的半径为 A5 在 上P 点的轨迹方程为 224()(1)5xy设 点坐标 ，可以设出 点坐标满足的参数方程如下：0(,)yP025cos1inxy而 ， ， 0(,)APx(0,1)B(2,0)AD , ，015cos2xiny两式相加得： 22515si1cos()(in()sin3(其中 ， )55cos当且仅当 ， 时， 取
15、得最大值 32kZ二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若x，y满足约束条件 则 的最小值为 _0,2,xy 34zxy ()AODxyBPgCE11【答案】 1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为 ，则直线 纵截距越大， 值越小34zxy34zyxz由图可知： 在 处取最小值，故 1,Amin14 AB(1,)(2,0)0xy20xy x 14设等比数列 满足 ， ，则 _na12a13a4【答案】 8【解析】 为等比数列，设公比为 nq，即 ，123a123a显然 ， ，q10得 ，即 ，代入 式可得 ， q 1a334128a15设函数 则满足 的x的取值范围是_,0
16、()xf ()2fx【答案】1,4【解析】 ， ，即,02 xf 12fxf12fxfx由图象变换可画出 与 的图象如下：yfyf A12(,)41()2yfx1()yfx 由图可知，满足 的解为 .12fxfx,416 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与ab ABC12， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：abABC当直线 与 成 角时， 与 成 角；a60b30当直线 与 成 角时， 与 成 角；6直线 与 所成角的最小值为 ；45直线 与 所成角的最大值为 其中正确的是_（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知， 三条直线两两相互
17、垂直，画出图形如图abAC、 、不妨设图中所示正方体边长为1，故 ， ，|2B斜边 以直线 为旋转轴旋转，则 点保持不变，A点的运动轨迹是以 为圆心，1为半径的圆以 为坐标原点，以 为 轴正方向， 为 轴正方向，CCDxCBy为 轴正方向建立空间直角坐标系Az则 ， ，(1,0)D(,)直线 的方向单位向量 ， a(0,1)a|a点起始坐标为 ，B,直线 的方向单位向量 ， b,b|b设 点在运动过程中的坐标 ，(cos,in0)B其中 为 与 的夹角， CD2那么 在运动过程中的向量 ， AB,si,1)A|2AB设 与 所成夹角为 ，a0,则(cos,in1)(2s |sin|0,2B故
18、，所以 正确，错误,42设 与 所成夹角为 ，ABb0,2.cos(s,in1)(,02|cos|bAB当 与 夹角为 时，即 ，ABa60312sin2coss ，i1 |s|13 21cos|cs| 0, ，此时 与 夹角为 =3ABb60正确，错误三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ， sin3cos0A27a2（1）求c；（2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积DADCBD【解析】（1）由 得 ，sin3cos0A2sin03即
19、 ，又 ，kZ, ，得 .33由余弦定理 .又 代入并整理22cosabA127,cos2abA得 ，故 .15c4（2） ，,7,ACB由余弦定理 .227osabc ，即 为直角三角形，D则 ，得 .c由勾股定理 .223AC又 ，则 ，236B.1sin3ABDS18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，205，需求量为200瓶，
20、为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 105， ， ， 2530， 35， 40，天数 2 16 36 25 7 414以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 （单位：瓶）的分布列；X（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）当六月份这种酸奶一天的Y进货量 （单位：瓶）为多少时， 的数学期望达到最大值？n【解析】易知需求量 可取x20,35160PX35.274503则分布列为： X05P152当 时： ，此时 ，当 时取到.20n 64Ynmax40Y20n当 时：310258
21、685n此时 ，当 时取到.max520Y3n当 时，3n 122303055nn205此时 .Y当 时，易知 一定小于的情况.n综上所述：当 时， 取到最大值为 . 3nY52019（12分）如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形ABCD ACD， ABD=（1）证明：平面 平面 ；（2）过 的平面交 于点 ，若平面E把四面体 分成体积相等的两部EC分求二面角 的余弦值A-【解析】取 中点为 ，连接 ， ；COBD为等边三角形AB .DABCABD ABE DABCEO15 ,即 为等腰直角三角形，ADCADC为直角又 为底边 中点OA 令 ，则BaBCa易得： ，2322OD由勾股
22、定理的逆定理可得DOB即 BACOB平DABC平又由面面垂直的判定定理可得由题意可知 VDACEB即 , 到平面 的距离相等即 为 中点EB以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方OxOy向， 为 轴正方向，设 ，建立空间直za角坐标系，则 ， ， ， ，0,02aA,02D3,0Ba3,4aE易得： ， ，3,4E,2OA设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，1nAECn则 ，解得10AnD13,，解得20EOn2,若二面角 为 ，易知 为锐角，AC则127cos20（12分）已知抛物线 ，过点（2，0）的直线 交 于 ， 两点，圆 是:yx=lCABM以线段 为直径的圆AB（1）证明：
23、坐标原点 在圆 上；OM（2）设圆 过点 （4， ），求直线 与圆 的方程P-l【解析】显然，当直线斜率为 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意0DABCEyxOz16设 ， ， ，:2lxmy1(,)Axy2(,)By联立： 得 ，240m恒大于 ， ， 246012y124y12OABxur2()()y112(y44m0 ，即 在圆 上urM若圆 过点 ，则PABur1212()()xy()0y12128m化简得 解得 或0m1当 时， 圆心为 ，2:4lxy0(,)Qxy， ，10y0092半径291|4rOQ则圆2285:()()6Mxy当 时， 圆心为 ，1m:0l 0(,)Qxy，
24、 ，20y023xy半径 |3rOQ则圆22:()(1)21（12分）已知函数 lnfxax（1）若 ，求 的值；()0f（2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最m211()()nm+小值【解析】 ，()1lnfxax0则 ，且 (1)f当 时， ， 在 上单调增，所以 时，0 fx平 01x，不满足题意；fx当 时，a当 时， ，则 在 上单调递减；()0f()f0,a当 时， ，则 在 上单调递增xx若 ， 在 上单调递增当 时 矛盾1f,1a(,1)x(1)0fx17若 ， 在 上单调递减当 时 矛盾1a()fx,a(1,)xa(1)0fx若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增
25、01满足题意()fxf综上所述 当 时 即1a()lnx l1x则有 当且仅当 时等号成立ln 0 ，()2k*N一方面： ，2 2111lln().ln().2nn即 2().e另一方面： 2 235(1).(1)()1()64n当 时，3n ,e ， ，*mN2().()nm 的最小值为 22选修4-4 ：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线 的参数方程为 （t 为参数），直线 的参数方程l,xykl为 （m为参数），设 与 的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C,xykl（1）写出C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为 与C的交点，
26、求M的极径:(cosin)ll【解析】将参数方程转化为一般方程1:2lykx2 消 可得：k24xy即 的轨迹方程为 ；P将参数方程转化为一般方程3:20lxy联立曲线 和C3l204xy解得2xy18由 解得cosinxy5即 的极半径是 M23选修4-5 ：不等式选讲 （10分）已知函数 ()|fxx（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集非空，求m 的取值范围f【解析】 可等价为 .由 可得：|1|2|fxx3,122,xf 1fx当 时显然不满足题意；当 时， ，解得 ；1 1x当 时， 恒成立.综上， 的解集为 .2x 3f f|不等式 等价为 ，2xm 2fm令 ，则 解集非空只需要 .gfgx maxg而 .23,12,xx当 时， ；1 max315g当 时， ；2x2a 314g当 时， . 2mx综上， ，故 .ax54g
