1、 7. 连续性方程的推导连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。1.1 L 法有限体积分析取体积为 ，质量为 的一定流体质点团，则有：m（100DDDmddddt ttt）因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：（2）1divdt（3）Duwvtxyzt代入式（1）得（4()di)(di()0dvvvttt t ）运用奥高定理（5）()coscos)SSnSuvwduyzvdxwyxyzvv得（6）(di() 0nSdvtt 上式即是连续性方程的积分形式。假定被
2、积函数连续，而且体积 是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：（7）div00ivDDttx或（8）()div()00ivttx在直角坐标系中连续性方程为：（9）()()0uvwtxyz或（10）()Duvtxyz连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积2。1.2 L 法体积元分析考虑质量为 的体积元 ，对其用拉格朗日观点，根据质量守恒定律有：dm（11）0()0Dddtt（12）()Dt两边同除以 ，得d（13）10dtt或写成（14）1div0Dt上式表明要维持质量守恒定律，相对体积变化率必须等于负的相对密度变化率。1.3 E 法有限体积分析着眼坐标空
3、间，取空间中以 面为界的有限体积 ，则称 面为控制面， 为控制体。SS取外法线方向为法线的正方向， 为外法线方向的单位矢量。考虑该体积内流体质量的变n化，该变化主要以下两方面原因引起。第一，通过表面 有流体流出或流入，单位时间内流出流入变化的总和为：（15）div()nSSvdv奥 高 公 式第二，由于密度场的不定常性（注意，欧拉观点下空间点是固定的，密度的变化只由场的不定常性刻画） ，单位时间内体积 的质量将变化，变化量为：（16）dt上述两者应相等，即（17）iv()t由于体积 是任意的，且被积函数连续，则（18）div()0t1.4 E 法直角坐标系分析单位时间内通过表面 EFGH 的通量为： udyz通过表面 ABCD 的通量为： ()xyz其他三对表面类似，另外，该控制体内质量的变化率为： dxyzt则（19()()0uvwtxyz）特殊情况下的连续性方程：（1） 定常态： 0div()0t（2） 不可压缩流体： D从上述四种推导方法来看，连续性方程适用于所有惯性系.
