1、 1 / 13（2019 全国 1 理）9.记 为等差数列 的前 项和.已知 ， ，则（ ） nSna40S5aA. B. C. D. 25na31028n21n答案：A解析：依题意有 ，可得 ， ， .41560Sad132ad5n24nS（2019 全国 1 理）14.记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 .nSn13a246a5S答案： 5S23解答： ，1a246a设等比数列公比为 q32511() q 5S232019 全国 2 理) 19. 已知数列 和 满足 ， ， ， .nab1a0b4341nnba431nnab（1）证明： 是等比数列， 是等差数列；nban（2）求 和
2、 的通项公式.n答案：（1）见解析（2） ， .21)(an 21)(nbn解析：(1)将 ， 相加可得 ，4341nn 431nna nnnbaba341整理可得 ，又 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列.)(21baba1n 2将 ， 作差可得 ，1nn1nn 81nnn2 / 13整理可得 ，又 ，故 是首项为 ，公差为 的等差数列.21nnba1banba12（2）由 是首项为 ，公比为 的等比数列可得 ；)2(n由 是首项为 ，公差为 的等差数列可得 ；nba n相加化简得 ，相减化简得 。21)(nn 1)(b(2019 全国 3 理 )5.已知各项均为正数的等比数列 的前 项和
3、为 ，且 ，则 （）na45314a3aA. B. C. D. 1684答案：C解答：设该等比数列的首项 ，公比 ，由已知得， ，1aq421113aqa因为 且 ，则可解得 ，又因为 ，10aq23()5即可解得 ，则 .314(2019 全国 3 理 )14.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 .nSna10a213a05S答案： 4解析：设该等差数列的公差为 ， ， ，故 ，d213a13da120,ad .1011055 902445aSad（2019 北京理）10.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3，S 5=10，则 a5=_，S n的最小值为_【答案】 (1
4、). 0. (2). -10.【解析】【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得 的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律,得到和的最小值.5a【详解】等差数列 中, ,得 ,公差 , ,na5310S3,a321da5320ad3 / 13由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于 0,所以 的最小值为 或 ,即为 .na50na6nanS4S510【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查.（2019 北京理）20.已知数列 an，从中选取第 i1 项、第 i2 项、第 im项( i10.因为 ckbkck+1，所以 ，其中 k
5、=1，2，3，m .1kkq当 k=1 时，有 q1；当 k=2，3，m 时，有 lnl1k设 f（x）= ，则 ln(1)x2l()xf令 ，得 x=e.列表如下：()0x （1，e） e (e，+)()f+ 0 f（x） 极大值 因为 ，所以 ln28l9n36maxln3()()fkf取 ，当 k=1，2，3，4，5 时， ，即 ，3qlqk经检验知 也成立1因此所求 m 的最大值不小于 5若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216，11 / 13所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5【点睛】本题主
6、要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力10.设 ，数列 中， ， ,则（ ）,abRna21,nnabNA. 当 B. 当10,2 104aC. 当 D. 当10,ba 10,b【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项 B：不动点满足 时，如图，若 ，22104xx110,2naa排除如图，若 为不动点 则a12na选项 C：不动点满足 ，不动点为 ，21904xxax12令 ，则 ，2a10n排除选项 D
7、：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则2217404xx172x172a，排除.1702na选项 A：证明：当 时， ，12b2221343117,6aaa处理一：可依次迭代到 ；1012 / 13处理二：当 时， ，则 则4n2211nnaa 1171717666log2llog2nnnaa，则 .1217()6na62410 273470 故选 A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 的可a能取值，利用“排除法”求解.20.设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每nanS34a3Snb成等比数列.12,nSbbN（1）求数列
8、 的通项公式；,na（2）记 证明：,2nCbN12+,.nCN【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析.nan【解析】【分析】(1)首先求得数列 的首项和公差确定数列 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理nana计算即可确定数列 的通项公式；b(2)结合(1)的结果对数列 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不nc等式.【详解】(1)由题意可得： ，解得： ，1243ad102ad则数列 的通项公式为.na其前 n 项和 .021nnS则 成等比数列，即：1,2nnnbb13 / 13，21112nnnbbb据此有：，22 2121n nnbb故 .211()()()nb n(2)结合(1)中的通项公式可得：，221211naC nbnn则 .120n 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解， ，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
