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类型2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题.doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:11145399
  • 上传时间:2020-02-09
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    2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题.doc
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    1、2015 专题五:函数与导数在解题中常用的有关结论(需要熟记):(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ,切线方程为()yfx0 0()fx 00()()yfxfx(2)若可导函数 在 处取得极值,则 。反之,不成立。f0x(3)对于可导函数 ,不等式 的解集决定函数 的递增(减)区间。()()f( ) ()fx(4)函数 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: 恒成立()fx xI()f0)(5)函数 在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值,则可等价转化为方程()fx在区间 I 上有实根且为非二重根。 (若 为二次函数且 I=R,则有 )()0fx ()fx 0。(6) 在区间 I 上

    2、无极值等价于 在区间在上是单调函数,进而得到 或()fx ()fx ()fx在 I 上恒成立0(7)若 , 恒成立,则 ; 若 , 恒成立,则x()fmin()fx0xI()f0max()f0(8)若 ,使得 ,则 ;若 ,使得 ,则 .0I0)fxa0()fxin(9)设 与 的定义域的交集为 D 若 D 恒成立则有()fxgx()fgmin()0fxg(10)若对 、 , 恒成立,则 .1I2xI12()fxgminax()x若对 , ,使得 ,则 .()fxii()f若对 , ,使得 ,则 .1I2I12maxax()g(11)已知 在区间 上的值域为 A,, 在区间 上值域为 B,()

    3、fx1 ()gx2I若对 , ,使得 = 成立,则 。1I2I1f2A(12)若三次函数 f(x)有三个零点,则方程 有两个不等实根 ,且极大值()0x12x、大于 0,极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式: ln1(0)xln+1()x( ) 1xe e222ln(0)x考点一:导数几何意义:角度一 求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数 f(x)3x cos 2xsin 2x,a f ,f(x )是 f(x)的导函数,则过曲线 yx 3 上(4)一点 P(a,b)的切线方程为 ( )A3xy20B4x 3y10C3x y20 或 3x4y 10D3xy20 或 4x3y 10解析:

    4、选 A 由 f(x)3x cos 2x sin 2x 得 f( x)32sin 2x2cos 2x,则 af 32sin 2cos 1.由(4) 2 2yx 3 得 y3 x2,过曲线 yx 3 上一点 P(a,b)的切线的斜率 k3a 231 23.又 ba 3,则 b1,所以切点 P的坐标为(1,1),故过曲线 yx 3 上的点 P 的切线方程为 y13(x1) ,即 3xy20.角度二 求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考) 曲线 y3ln xx 2 在点 P0 处的切线方程为 4xy 10,则点 P0 的坐标是( )A(0,1) B(1,1)C(1,3) D(1,0)解析:选 C

    5、由题意知 y 14,解得 x1,此时 41y10,解得 y3,点 P0 的坐标是3x(1,3)角度三 求参数的值3已知 f(x)ln x,g(x ) x2mx (m0,当 x(ln 2, )时,g(x)0,x 10 得,x ;a2 a6由 F(x)0),12f(x)x5 .6x x 2x 3x令 f(x )0,解得 x12,x 23.当 03 时,f(x)0,故 f(x)在(0,2),(3 ,)上为增函数;当 20,x1.当 00;当 x1 时,f ( x)0,1xf(x)在区间(1,)上为增函数,不合题意当 a0 时,f (x) 0(x 0)等价于(2 ax1)(ax1) 0( x0),即

    6、x ,1a此时 f(x)的单调递减区间为 .1a, )由Error!得 a1.当 a0)等价于(2 ax1)(ax1) 0( x0),即 x ,此时 f(x)的单调递减区间为12a. 12a, )由Error!得 a .12综上,实数 a 的取值范围是 1 ,)( , 12针对训练(2014荆州质检)设函数 f(x) x3 x2bxc,曲线 yf (x)在点(0 ,f (0)处的切线方程为 y1.13 a2(1)求 b,c 的值;(2)若 a0,求函数 f(x)的单调区间;(3)设函数 g(x)f( x)2x ,且 g(x)在区间( 2,1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围解:(1)

    7、f(x) x2axb,由题意得Error!即Error!(2)由(1)得,f(x)x 2axx(xa)(a0),当 x( ,0)时,f(x)0,当 x(0 ,a) 时,f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(,0) ,(a,) ,单调递减区间为 (0,a)(3)g(x) x 2ax 2,依题意,存在 x( 2,1) ,使不等式 g(x)x 2ax20,f(x )为(,) 上的增函数,所以函数 f(x)无极值当 a0 时,令 f(x) 0,得 exa,即 xln a.x( ,ln a ),f(x )0,所以 f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,) 上单调递增,故 f(x)在

    8、 xln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)ln a,无极大值综上,当 a 0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时,f( x)在 xln a 处取得极小值 ln a,无极大值针对训练设 f(x)2x 3ax 2bx 1 的导数为 f(x),若函数 yf(x )的图像关于直线 x 对称,且 f(1)0.12(1)求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)的极值解:(1)因为 f(x)2x 3ax 2bx1,故 f(x )6x 22ax b,从而 f(x) 6 2b ,(x a6) a26即 yf(x) 关于直线 x 对称a6从而由题设条件知 ,即 a3.a6 12又由于 f(1)

    9、0,即 62ab0,得 b12.(2)由(1)知 f(x)2x 33x 212x1,所以 f(x) 6x 26x 126(x1)(x2),令 f(x )0,即 6(x 1)(x2)0,解得 x2 或 x1,当 x( ,2)时,f(x)0,即 f(x)在(,2)上单调递增;当 x( 2,1)时,f(x)0,即 f(x)在(1,)上单调递增从而函数 f(x)在 x2 处取得极大值 f(2)21,在 x1 处取得极小值 f(1)6.考点五 运用导数解决函数的最值问题典例 已知函数 f(x)ln x ax( aR)(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a0 时,求函数 f(x)在1,2上的最小值

    10、解 (1) f(x) a(x 0),1x当 a0 时,f(x ) a0,1x即函数 f(x)的单调增区间为(0,) 当 a0 时,令 f(x) a0,可得 x ,1x 1a当 00;1a 1 axx当 x 时,f(x ) 0),若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切, 12(1)求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)在 上的最大值1e,e解:(1)f(x) 2bx,ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切,12Error!解得Error!(2)f(x)ln x x2,f( x) x ,12 1x 1 x2x当 xe 时,令 f(x)0 得 x0)的导函数 yf(x) 的两个零

    11、点为3 和 0.ax2 bx cex(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为 e3,求 f(x)在区间 5,)上的最大值解 (1) f(x)2ax bex ax2 bx cexex2 , ax2 2a bx b cex令 g(x)ax 2(2 ab)xbc,因为 ex0,所以 yf(x )的零点就是 g(x)ax 2(2 a b)xbc 的零点,且 f(x) 与 g(x)符号相同又因为 a0,所以30,即 f(x)0,当 x0 时,g(x)5f(0),所以函数 f(x)在区间5, ) 上的最大值是 5e5.5e 5针对训练已知函数 f(x)x 3ax 2bx c,曲线 yf

    12、(x)在点 x1 处的切线为 l:3x y10,若 x 时,yf(x)有极23值(1)求 a,b,c 的值;(2)求 yf(x) 在3,1上的最大值和最小值解:(1)由 f(x) x3ax 2bx c ,得 f(x)3x 22axb.当 x1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2ab0,当 x 时,yf(x)有极值,则 f 0,可得 4a3b 40,23 (23)由,解得 a2,b4.由于切点的横坐标为 1,所以 f(1)4.所以 1abc4.所以 c5.(2)由(1),可得 f(x)x 32x 24x5,f ( x)3x 24x 4. 令 f(x) 0,解之,得 x12,x 2 .23当 x

    13、 变化时,f( x),f( x)的取值及变化情况如下表所示:x 3 (3,2) 2 ( 2,23) 23 (23,1) 1f(x ) 0 0 f(x) 8 13 9527 4所以 yf(x) 在3,1上的最大值为 13,最小值为 .9527考点七:利用导数研究恒成立问题及参数求解典例 (2013 全国卷 )设函数 f(x)x 2ax b,g (x)e x(cxd)若曲线 yf(x) 和曲线 yg(x) 都过点P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x2 时,f(x )kg( x),求 k 的取值范围解 (1) 由已知得 f(0)2,g(0

    14、)2,f(0)4,g(0)4.而 f(x )2xa,g( x)e x(cxdc),故 b2,d2,a4,dc 4.从而 a4,b2,c2,d2.(2)由(1)知,f(x)x 24x2,g(x) 2e x(x1)设函数 F(x)kg(x )f( x)2ke x(x1)x 24x2,则 F(x)2ke x(x2)2x 42(x2)(ke x1)由题设可得 F(0)0,即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k ,x 22.()若 1ke 2,则2x 10.从而当 x(2,x 1)时,F(x) 0;当 x(x 1,)时,F( x)0,即 F(x)在(2,x 1)上单调递减,在(x 1, )上单调递增

    15、,故 F(x)在 2,)上的最小值为 F(x1)而 F(x1)2x 12x4x 12 x1(x12)0.21故当 x2 时,F (x)0,即 f(x)kg(x) 恒成立()若 ke 2,则 F(x )2e 2(x2)(e xe 2 )从而当 x 2 时,F( x)0,即 F(x)在(2,)上单调递增,而 F(2) 0,故当 x2 时,F( x)0,即 f(x)kg(x)恒成立()若 ke 2,则 F(2)2ke 2 22e 2 (ke 2)0.从而当 x2 时,f(x)kg( x)不可能恒成立综上,k 的取值范围是1 ,e 2针对训练设函数 f(x) x2e xx ex.12(1)求 f(x)

    16、的单调区间;(2)若当 x2,2时,不等式 f(x)m 恒成立,求实数 m 的取值范围解:(1)函数 f(x)的定义域为( ,),f(x )xe x(e xxe x)x(1 e x),若 x0,则 f (x)0;若 x0,所以 f(x)0,则 1e xm 恒成立故 m 的取值范围为(,2e 2)考点八、利用导数证明不等式问题典例 (2013 河南省三市调研 )已知函数 f(x)axe x(a0)(1)若 a ,求函数 f(x)的单调区间;12(2)当 1a1e 时,求证:f(x)x.解 (1) 当 a 时,f( x) xe x.12 12f(x) e x,令 f(x) 0,得 xln 2.12

    17、当 x0;当 xln 2 时,f(x)0,f(x)x 成立()当 1ln(a1) 时, F(x)0,F(x) 在( ,ln ( a1)上单调递减,在(ln(a1),)上单调递增F(x) F (ln(a1) e ln(a1) (a1)ln(a1)( a1)1 ln(a1) ,10,1ln(a1)1ln(1e) 10,F(x) 0,即 f(x)x 成立综上,当 1a1e 时,有 f(x)x.法二:令 g(a)x f(x)xaxe x,只要证明 g(a)0 在 1a1e 时恒成立即可g(1)xxe xe x0,g(1e)x(1e)x e x exe x,设 h(x)e xex,则 h(x ) exe

    18、,当 x1 时,h(x)0,h(x)在(,1)上单调递减,在 (1,)上单调递增,h(x)h(1)e 1e10,即 g(1e)0.由知,g(a)0 在 1a1e 时恒成立当 1a1e 时,有 f(x)x.针对训练(2014东北三校联考)已知函数 f(x) x2 ax3(a0),函数 g(x)f(x )e x(x1) ,函数 g(x)的导函数为12 13g( x)(1)求函数 f(x)的极值;(2)若 ae,()求函数 g(x)的单调区间;()求证:x0 时,不等式 g (x)1ln x 恒成立解:(1)f(x) xax 2ax ,(x 1a)当 f(x) 0 时,x0 或 x ,又 a0,1a当 x(,0)时,f(x)0;当 x 时,f ( x)0,h(x)是增函数,h(x)h(1)10,则在(0,)上,g( x)0;在(,0) 上,g( x)0 时,g(x)x(e xe x1)1ln xe xex1 ,1 ln xx由()知,h(x)e xex11,记 (x) 1ln xx(x 0),则 (x) ,1 xx在区间(0,1)上, (x)0,(x)是增函数;在区间(1,)上,(x )0, (x)是减函数,(x) (1)0,即 1ln x x0, 1,1 ln xxe xe x1 1 ,即 g( x)1ln x 恒成立 1 ln xx

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