1、第三章 同 余,同余是数论中的一个基本概念。本章除介绍同余的基础知识外，还要介绍它的一些应用。,第三节 简化剩余系,在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合有一些特殊的性质，我们要在这一节中对它们做些研究。,定义1 设R是模m的一个剩余类，若有aR，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类。,第三节 简化剩余系,显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都与m互素。,例如，模4的简化剩余类有两个：R1(4) = , 7 , 3, 1 , 5 , 9 , ，R3(4) = , 5 , 1 , 3 , 7 , 11 , 。,第三节 简化剩余系,定义2 对于正整数k，令函数(k
2、)的值等于模k的所有简化剩余类的个数，称(k)为Euler函数，或Euler函数。,例如，容易验证(2) = 1，(3) = 2，(4) = 2，(7) = 6。,显然，(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互素的整数的个数。,第三节 简化剩余系,定义3 对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中各取一个数xi，构成一个集合x1, x2, ,x(m)，称为模m的一个简化剩余系（或简称为简化系）。,显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无穷多个。,例如，集合9, 5, 3, 1是模8的简化剩余系，集合1, 3, 5, 7也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余系。,第三节 简化剩余系,定理
3、1 整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是() A中含有(m)个整数；() A中的任何两个整数对模m不同余；() A中的每个整数都与m互素。,证明 留作习题。,第三节 简化剩余系,定理2 设a是整数，(a, m) = 1，B = x1, x2, , x(m)是模m的简化剩余系，则集合A = ax1, ax2, , ax(m)也是模m的简化剩余系。,证明 显然，集合A中有(m)个整数。其次，由于(a, m) = 1，所以，对于任意的xi（1 i (m)），xiB，有(axi, m) = (xi, m) = 1。因此，A中的每一个数都与m互素。,第三节 简化剩余系,最后, 我们指出, A中的任何
4、两个不同的整数对模m不同余. 事实上, 若有x , x B, 使得a x ax (mod m)，,那么，因为(a, m) = 1，所以x x (mod m)，于是x = x 。由以上结论及定理1可知集合A是模m的一个简化系。证毕。,第三节 简化剩余系,注：在定理2的条件下，若b是整数，集合ax1 b, ax2 b, , ax(m) b不一定是模m的简化剩余系. 例如, 取m = 4, a = 1, b = 1, 以及模4的简化剩余系1, 3.,定理3 设m1, m2N，(m1, m2) = 1，又设分别是模m1与m2的简化剩余系，则A = m1 y m2 x；xX，yY 是模m1m2的简化剩余
5、系。,第三节 简化剩余系,证明： 由第二节定理3推论可知，若以X 与Y 分别表示模m1与m2的完全剩余系，使得X X ，Y Y ，则A = m1 y m2 x；xX ，yY 是模m1m2的完全剩余系。因此只需证明A 中所有与m1m2互素的整数的集合R是集合A。显然，A A 。,第三节 简化剩余系,若m1 y m2 xR，则(m1 y m2 x, m1m2) = 1，所以(m1 y m2 x, m1) = 1，于是(m2 x, m1) = 1，(x, m1) = 1，xX。同理可得到yY，因此m1 y m2 xA。这说明R A。,另一方面，若m1 y m2 xA，则xX，yY，即(x, m1)
6、= 1，(y, m2) = 1。,第三节 简化剩余系,由此及(m1, m2) = 1得到(m2 x m1 y, m1) = (m2 x, m1) = 1以及(m2 x m1 y, m2) = (m1 y, m2) = 1。因为m1与m2互素，所以(m2 x m1 y, m1m2) = 1，于是m2 x m1 yR。因此A R。,综合以上，得到A = R。证毕。,第三节 简化剩余系,定理4 设m, nN，(m, n) = 1，则 (mn) = (m)(n)。,证明 这是定理3的直接推论。证毕。,定理5 设n是正整数，p1, p2, , pk是它的全部素因数，则,第三节 简化剩余系,证明 设n的标
7、准分解式是 ，由定理4得到,对任意的素数p，(p)等于数列1, 2, , p中与p（也就是与p）互素的整数的个数，因此,将上式与式(1)联合，证明了定理。证毕。,第三节 简化剩余系,注: 由定理5可知, (n)=1的充要条件是n=1或2.,例1 设整数n 2，证明： 即在数列1, 2, , n中，与n互素的整数之和是,第三节 简化剩余系,证明 设在1, 2, , n中与n互素的(n)个数是a1, a2, , a(n)，(ai, n)= 1, 1ain 1, 1 i (n),则(n ai, n) = 1, 1 n ai n 1, 1 i (n),因此，集合a1, a2, , a(n)与集合n a
8、1, n a2, , n a(n)是相同的，于是,第三节 简化剩余系,a1a2 a(n)= (na1) (na2) (na(n),2(a1 a2 a(n) = n(n)，,因此a1 a2 a(n) =1/2n(n)。,第三节 简化剩余系,例2 设n是正整数， 则 此处 是对n的所有正约数求和。,证明 将正整数1, 2, , n按它们与整数n的最大的公约数分类，则,第三节 简化剩余系,例3 设nN，证明：() 若n是奇数，则(4n) = 2(n)；() (n) = 的充要条件是n = 2k，kN；() (n) = 的充要条件是n=2k3l, k, lN;() 若6n，则(n) ；() 若n 1与
9、n 1都是素数，n 4，则 (n) .,第三节 简化剩余系,证明 () 我们有(4n) = (22n) = (22)(n) = 2(n)；,() 若n = 2k，则,若(n) = ，设n = 2kn1，2 n1，则由,= (n) = (2kn1) = (2k)(n1) =2k 1(n1),第三节 简化剩余系,推出(n1) = n1，所以n1 = 1，即n = 2k；,() 若n = 2k3l，则 (n) = (2k)(3l),若(n) = ，设n = 2k3ln1，6 n1，则由,第三节 简化剩余系,推出(n1) = n1，所以n1 = 1，即n = 2k3l；,() 因为n 4，所以n 1与
10、n 1都是奇素数，所以n是偶数。,() 设n = 2k3ln1，6 n1，则(n) = (2k)(3l)(n1) =,因为n 1 3，所以n 1与n 1都不等于3, 当然不被3整除, 所以3n, 因此6n. 再由上面已经证明的结论(), 即可得到结论().,第三节 简化剩余系,例4 证明：若m, nN，则 (mn) = (m, n)(m, n)；,证明 显然mn与m, n有相同的素因数，设它们是pi（1 i k），则,由此两式及mn = (m, n)m, n即可得证。,习 题 三,1. 证明定理1。2. 设m1, m2, , mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的简化剩余系（1 i n），m = m1m2mn，Mi = ，则M1x1 M2x2 Mnxn通过模m的简化剩余系。3. 设m 1，(a, m) = 1，x1, x2, , x(m)是模m的简化剩余系，证明：其中x表示x的小数部分。,习 题 三,4. 设m与n是正整数，证明：(mn)(m, n) = (m, n)(m)(n)。5. 设a，b是任意给定的正整数，证明：存在无穷多对正整数m与n，使得a(m) = b(n)。6. 设n是正整数，证明：() (n) ；() 若n是合数，则(n) n .,
