1、 3.1,目的与要求:掌握环的概念及相关例子. 掌握几种特殊环的概念以及之间的联系.,近世代数精品课程,第三章 环与域,3.1 环的定义,预备知识：,加群：设G为一个交换群,若将G中的运算称为加法,则称G为一个加群,G中的运算用”+”来表示.,注意: 1 加群G中的单位元称为零元，记为0;G中元 素a的逆元称为a的负元（简称负a）,记为a.,2 加群G中的一些符号和运算规则也将随之发生改变.,3 设S加群G的一个非空子集, 则S为G一个子群,近世代数精品课程,定义3.1.1 设R为一个非空集合,R中带有两个运算: 加法(记为”+”)和乘法(记为”.”). 假如满足 1. R关于加法是一个加群；
2、 2. R关于乘法是一个半群； 3. 两个分配律: 左分配律: 右分配律: 则称R是一个结合环，简称R是一个环, 记 (R,+,.,0)是 一个环.,注:,(3)环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法,(2)乘法a b通常简写成ab.,(1)由于环R关于加法是一个加群，故R中一定有零元0，即 R，且对,近世代数精品课程,R是一个加群 封闭性， 结合律， 零元， 负元， 交换律,证明,(2) R是一个乘法半群：封闭，结合律.,(3) 满足左、右分配律,近世代数精品课程,例 3 数域F上的n阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法 构成一个环，称为F上的n阶方阵环，记为 ,例 2 易证
3、:（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成 一个环，称为整数环，记为 或简记为 ,例 4 设R模 m的剩余类=0,-,n-1，规定运算为 ， 可以证明R关于上述运算构成一个环，称之为模 m 的剩余类环，记为 ，或 ,（）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法 和乘法构成一个环，称为有理数域，记为 （ 、 ）或简记为 （ 、 ）,近世代数精品课程,定义 3.1.2若环R的乘法满足交换律，即 ， ，则称R是一个交换环,例 、 、 、 、 都是交换环，而 则不是交换环,注:,在交换环中，二项式定理成立,即 n为正整数. 但在一般环中二项式定理未必成立.,定义3.1.3若R的乘法半群是一个乘法幺半群
4、，则称R是 一个有单位元的环，其中乘法单位元 通常记为1， 此时环R通常也称为含幺环,例 、 、 、 都是含幺环，单位元就是数1， 、 是 含幺环单位元分别是 1和n阶单位矩阵 . 这也说明含 幺环中的单位元1并非就是普通整数1,近世代数精品课程,注:,（1）并非所有的环都是含幺环 如 所有偶数R对于数的普通加法和乘法 作成一个环，但是R没有单位元,（2）若R是有单位元的非零环，则R中的零元与单位元 一定不相等注意，零环 也是一个含幺环 故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环,（3）含幺环中的单位元总是惟一存在的,（4）在含幺环R中，规定,注:,（1）若b是a的一个逆元，则a也是b的一个逆元
5、,（2）逆元未必存在，如非零环中的零元但逆元 若存在，则必是惟一存在的,定义 3.1.4一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆 元，假如 ，此时也称a是一个可逆元,记 .,近世代数精品课程,（3）若a可逆，则 ,（4）也有左逆、右逆的概念（见第二章）,定义3.1.5若是在一个环里 但 则称 是这个环的一个左零因子， 是一个右零因子 若 a 既是一个左零因子，又是一个右零因子，则 称a是一个零因子,注:,（1）在交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是统一的.,（3）乘法可逆元一定不是左、右零因子,（2）在非交换环中，左零因子、右零因子、零因子 的概念是不统一的. 如 在特殊矩阵环 中,
6、元素 是一个左零因子,但不是右零因子.,近世代数精品课程,定义3.1.6 不含左、右零因子的环称为无零因子环,例 、 、 、 都是无零因子环，而 (n是合数)、 不是无零因子环,注:,推论3.1.2环R的乘法满足左消去律 R是无零因子环 R的乘法满足右消去律.,定义3.1.7有单位元的无零因子的交换环叫做整环.,例 、 、 、 都是整环，而 、 (n是合数) 、 不是整环,可以证明：R是无零因子环R中非零元素之积仍非零,定理3.1.1环R是无零因子环 R的乘法满足左、右消 去律.,近世代数精品课程,定义3.1.8 一个环R叫做一个除环（或体、斜域），假如 （1）R中至少包含一个不等于零的元 (
7、即R中至少有两个元素)； （2）R有单位元； （3）R的每一个不等于零的元有一个逆元 交换的除环叫做域,例 、 、 都是域.,命题3.1.3(1) 除环是无零因子环 (2) 设R是一个非零环，记 ， 则R是除环 对于R的乘法构成一个群，称之 为除环R的乘法群 (3)在除环R中， ，方程 和 在R中都有惟一解,近世代数精品课程,定理3.1.4 一个至少含有两个元素的无零因子的有限环 是除环,注:,在除环R中 ， 与 未必相等 若R是域，则 ，统一记为 ，称为b除以a的商，易知商具有与普通数相似的一些性质,推论3.1.5有限整环是除环,近世代数精品课程,是Abel加群,左、右分配律,幺半群,无零因
8、子环,半群,交换环,Abel半群,（含幺环）,群,除环,Abel群,域,整环,环的定义示图,近世代数精品课程,是乘法半群,交换环,整环,域,例可取偶数环 ；,例可取数域F上的n阶方阵环 ；,例可取模n的剩余类环 (n是合数)；,例可取四元数除环 的子环,例可取整数环 或数域F上的一元多项式环,例可取四元数除环,例可取 或 或,环的关系图,近世代数精品课程, 3.2- 3.3,目的与要求:掌握无零因子环的特征的概念及性质 . 掌握子环的概念及判别准则;掌握同态、同构的定义及基本性质,近世代数精品课程,3.2 无零因子环的特征,例 假定 是两个循环群，其中 ， 它们的代数运算用来表示, 即 . 作
9、集合 . 定义运算为 那么R显然作成一个环但这个环的元（a,0）对于加 法来说的阶是n，元（0，b）的阶是无穷大,上例说明了: 在一个环中，两个不为零的元素对于加法的 阶可能不相同,近世代数精品课程,？,在什么样的特殊环，两个不为零的元素对于加法的阶是相同的？,定理3.2.1在一个没有零因子的环R中，所有非零元 （对于加法而言）的阶都是相同的.,证明,如果R的每一个非零元的阶都是无限大，那么结论显然成立,若存在 ，a阶是有限整数n ，则有,从而，b的阶,同样可得， 故有,近世代数精品课程,定义3.2.1一个无零因子环R的非零元的相同（对加法 来说的）阶叫做环R的特征，记为Ch(R),如 域 的
10、特征为p (p为素数),注:,(1)若无零因子环的非零元的阶为无穷大，则称其特征为0. 如Ch( )=Ch( )=Ch( )=Ch( )=0 .,(2)对于特征为0的环R， 成立.,定理3.2.2如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么 n一定是个素数,证明,近世代数精品课程,推论3.2.3域F的特征要么是0，要么是一个素数p,证明,由于R是交换环，故有,注意,由Ch(R)=p可知，,于是结论成立.,下一节：子环与同态,近世代数精品课程,3.3 子环与同态,定义3.3.1设R是环，S是R的一个非空子集若S对于R 的代数运算来说作成一个环，则称S是R的一个子环， 也称R是S的一个扩环，记做,类似
11、的，可以定义子整环，子除环，子域的概念.,如,注:,（1）任意环R都至少有两个子环：0和R，称之为R 的平凡子环.,（2）设 且 ，则称S是R的一个真子环.,（3）子环的交仍为子环.,近世代数精品课程,判别准则,近世代数精品课程,解,由于 的加法群是一个循环群，故剩余类环 的子环关于加法是（ ，）的子循环群，共有下面6个：,经检验，它们都是 的子环，从而 有上面的6个子环 .,近世代数精品课程,附注,设 ， 有下面一些事实：,1. 在交换性上(1) 若R是交换环，则S也是交换环；(2) 若S是交换环，则R未必是交换环,2. 在有无零因子上(1) 若R无零因子，则S也是无零因子；(2) 若S无零
12、因子，则R未必无零因子,3. 在有无单位元上(1)若R有单位元，则S未必有单位元；(2)若S有单位元，则R未必有单位元,近世代数精品课程,定理3.3.2设 为环同态 (1)若0是R中的零元，则f(0)是R中的零元； (2) (3)若 ，则 ； (4)若 ，则,定义3.2.2设 和 是环， 为映射若f保持 运算，即对任意 有 则称f是环 到 的一个同态 同样有单同态、满同态、同构的概念,近世代数精品课程,1. 在交换性上,2. 在有无零因子上,3. 在有无单位元上,注意设 为环的满同态则环R与R在 很多性质上有一定的联系，但并不完全一致 例如有如下几条：,(1)若R是交换环，则R也是交换环；,(
13、2)若R是交换环，则R未必是交换环,(1)若R无零因子，则R未必无零因子；,(2)若R无零因子，则R未必无零因子,(1)若R有单位元1，则R有单位元f(1)；,(2)若R有单位元，则R未必有单位元,近世代数精品课程,定理3.3.3假定 则R是整环（除环、域） R是整环（除环、域）,引理3.3.4假定在集合A与A 之间存在一个一一映 射 f，并且A中有加法和乘法，可以A 中定义加 法和乘法，使得 是同构映射,定理3.3.5 （挖补定理）假定S是环R的一个子环，S 在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作 成的集合）与另一个环S 没有共同元，并且 那么存在一个与R同构的环R，而且S是R的 子
14、环,注意: 设 为环同构则环R与 在代数性质上 完全一致.,近世代数精品课程, 3.4- 3.5,目的与要求:掌握多项式环的概念,理解未定元的定义及存在性 熟练掌握理想的概念与性质、以及主理想的概念和特殊环条件下主理想的元素形式,近世代数精品课程,3.4 多项式环,定义3.4.1设 , 记集合 在 中规定运算如下： 则 构成一个环，称之为R上的关于 的多项式环 称 中的元素为R上的关于 的多项式,本节中的环均指有单位元的交换环设是环 的子环，且二者有相同的单位元.,近世代数精品课程,注:,（1） 是R中包含 R和 的最小子环.,（2）与高等代数中类似，对每个 ，可以定义 的次数、系数、首项系数
15、等,定义3.4.2 设 ，若不存在不全为零的元素 使得 ，则称 是环R上的 一个未定元称R上关于 的多项式为R上的一元多 项式,？,环R上的未定元是否存在？,定理3.4.1假设R是一个有单位元的交换环，则一定存在 环R上的未定元 ，因此 R上的一元多项式环 是 存在的,近世代数精品课程,定理3.4.1假设R是一个有单位元的交换环，n为任意 正整数，则一定存在环 R 上的 n 个无关的未定元 ，因此 R上的多元多项式环 是存在的,(其中无关的意思是指 ),定理3.4.2假设 和 都是有单位元 的交换环R上的多元多项式环，若 是R上 的n个无关的未定元，则一定存在环的同态满射,下一节：理想与商环,
16、近世代数精品课程,3.5 理想与商环,问题引入：,设R是一个环，A关于R中的加法构成R的一个子加群，则有商加群 其加法为： 我们想让其成为一个环，于是引入乘法： .,？,上述定义的乘法是否有意义？即：,若,定义3.5.1 设R是一个环， 是R的一个非空子集，若满足 （i） （ii） 则称 是环R的一个理想（Ideal），记为 ,近世代数精品课程,注:,(1)理想一定是子环，反之未必,(3) 有左、右理想的概念,(2)设R是有单位元的环， ，则,(4)对于任意环R，0和R都是理想，分别称之为 零理想和单位理想.,(5)任意多个理想的交仍为理想，但并则未必.,定义3.5.2只有零理想和单位理想的环
17、称为单环,定理3.5.1 除环是单环,证明,近世代数精品课程,例 1设R是整数环 ，则n的所有倍数之集 构成R的一个理想,例 2 设Rx为环R上的一元多项式环，则所有如下形式的 多项式 之集作成Rx的一 个理想,定义3.5.3设R是一个环，T是R的一个非空子集，则称 R中所有包含T的理想的交为由T生成的理想，记为(T), 即 . 特别地，若T=a，则简记(T)为(a)，称 之为由a生成的主理想,显然，(T)是R中包含T的最小的理想.,近世代数精品课程,定理3.5.2设R是环， 则,推论3.5.3设R是环， 则 （1）当R是交换环时， （2）当R有单位元时， （3）当R是有单位元的交换环时，,近
18、世代数精品课程,例 假定 是整数环 上的一元多项式环，求理想 ， 并判断其是否为 的主理想,解,因为 是有单位元的交换环，故,事实上，若存在,矛盾.,近世代数精品课程,(提示：考虑 的所有子加群.),近世代数精品课程, 3.6- 3.7,目的与要求:掌握环的同态基本定理、极大理想的概念与相关性质 了解商域的概念以及它的存在与唯一性,近世代数精品课程,3.6 同态与理想,定理3.6.1 设 是环， ，则存在自然的满同态,定理3.6.2（同态基本定理）设 是环 到环 的一个 同态映射，则 (1) ，称 为同态 的核； (2) ； (3) .,推论3.6.3 设 是环 到环 的一个同态满射，则 .,
19、近世代数精品课程,注:,和群论中一样，还有其他一些同构定理（如方块定理、对应定理、分式定理等）,定理3.6.4 设 是环 到环 的一个同态满射，则,() 则 （即子环的象是子环）；,() 则 （即理想的象是理想）；,() 则 （即子环的原象是子环）；,() 则 （即理想的原象是理想） 且,证明 完全类似于第二章定理2.9.4,近世代数精品课程,定义3.6.1假设R是环， 若不存在R 的理想I使得 ，则称M是R的一个极大理 想（最大理想）记作 ,注:,（1）M是R的一个极大理想当且仅当只有R是真正 包含M的理想,（2）一个环可能没有极大理想，也可能有很多个极 大理想,例 1 设p是一个素数，则由
20、p生成的主理想(p)是整数环 的 一个极大理想.,近世代数精品课程,证明,故(p)是一个极大理想,由于 ，则 设N是包含(p)的一个理想,若 ，则 ,由p是素数知，q与p互素，于是可以找到整数s和t，使得 .,注意 ，而且N是理想，所以,注:,在下章我们将会看到， 整数环R的极大理想一定具有形式(p)，p是一个素数,近世代数精品课程,命题3.6.5假设R是环， ,则 是单环,证明,所以M是R的极大理想,设M是R的极大理想， ，则有,又由 知 ，,再由M的极大性得 ，从而,即有 是单环,假设存在R的理想I使得 ,则 ,由条件知 于是I=R,近世代数精品课程,引理3.6.6假设R是有单位元的交换环
21、若R是单环， 则R一个域,证明,所以R是一个域,，则 .于是 ,故由条件知单位元 ，从而存在元素 ，使得 , 即 可逆.,命题3.6.7假设R是有单位元的交换环， , 则 是域,例 2 设p是一个整数，则R/(p)是域 是素数,近世代数精品课程,3.7 商域,众所周知， ,1936年，A.Makev给出了一例子：存在一个无零因子的非交换环R，R不被任何除环包含从而也否定了上述问题2.,由于域中无零因子，因此上述问题1的答案是否定的.,对于任意环R，是否存在域F，使得 ？,对于任意无零因子环R, 是否存在域F，使得,对于任意整环R，是否存在域F，使得 ？,近世代数精品课程,定理3.7.1 任意整环R都可以扩充成一个域F，即存在 一个域F，使得,定理3.7.2设R整环，记集合 ，Q中的 运算类似于普通数的运算，则Q是一个域，且 称Q为R的商域,该定理说明了整环的商域是存在的,注:,定理3.7.3同构的整环的商域也是同构的,注:,该定理说明了整环的商域在同构的意义下是惟一存在的,近世代数精品课程,
