1、隐含波动率研究 隐 含波动 率 （Implied Volatility ） 是 将市场 上的期 权交易 价格代 入期权 理论价 格模型 ， 反推 出来的 波动率 数值。 在期 权定价 公式的 五个参 数中， 除了标 的波动 率外， 其他参 数均 可在市 场中获 得精确 值。 一 般来说 ， 通过 模型反 推的隐 含波 动率比 历史波 动率更 能反映 市场的 真实状 态， 具 有更高 的参 考应用 价值。 一、隐含 波 动率 的 计算 方 法 隐含波动率按计算方式分为优化搜索法和直接近似法 。 优化搜索法是采用数值优化算法，主要有二分法和 Newton-Raphson （N-R ） 迭代法 ；
2、直 接 近 似 法 是 对 期 权 定 价 公式进 行多项 式或微 分近似 ， 进而 求出隐 含波动 率的近 似解 析解， 主 要有 Brenner & Subrahmanyam 1988 年提 出的 “B-Sub 法”和 Corrado & Miller 1996 年提 出的 Corrado-Miller （C-M ） 法。 （ 一 ）二 分 法 二分法 需要确 定隐含 波动率 的估计 范围， 可以参 考标的 资产的 最低、 最高历 史波动 率值。 通过内 插值方 法得出 隐含 波动率 的估计 并计算 相应的 期权理 论价值 ， 如果 理论价 值与 市场价 格的距 离小于 指定精 度， 则
3、计算终 止， 否 则， 将 计算 得 出 的 期 权 理 论 价 值 作 为 新 的 最 低 或 最 高 值 代 入 迭 代 公 式更新隐 含波动 率的估 计。迭 代计算 公式如 下： 使得： 其 中 ， 为 隐 含 波 动 率 的 估 计 ； 为 隐 含 波 动 率 的 较 高 估计 ； 为 隐 含 波 动 率 的 较 低 估 计 ； 为 对 应 的 期 权 理 论价值 ； 为 对 应的期 权理论 价值 ； 为 对应 的期权 理 论价值 ； 为期 权的市 场价格 ； 为指 定精度 。 （二）N-R 迭代法 Newton-Raphson 迭代算法需要指定隐含波动率的初始 值， 利 用 Vega
4、 值作为 权数， 不 断更新 隐含波 动率估 计值并 计 算相应 的期权 理论价 值， 直 至理论 价值与 市场价 格的距 离小 于指定 精度。 迭代计 算公式 如下： 使得： 其中 ， 为隐含波 动率的 估计值 ； 为 对应 的期权 理 论 价 值 ； 为 期 权 的 市 场 价 格 ； 为 理 论 价 值 为 的 期 权 Vega 值 ； 为指 定精度 。 （三）B-Sub 法 定义标 的资产 价格 等于期权 执行价 格 的贴 现值时 ， 期权处于 平价状 态， 即 ： 。 将累积正 态分布 函数 在零值 附近进 行一阶 泰勒展 开， 进 而推导 出 平值 看涨期 权的 隐含波 动率近 似
5、估计 如下： 其中， 为平值 看涨期 权的市 场价格 ； 为 平值看涨 期权 对应的 标的资 产价格 ； 为平值 看涨 期权的 存续期 限。 不难看出，B-Sub 方 法计 算 隐 含 波 动 率 非 常 简 单 ， 与 期 权的市 场价格 成正比 ， 与标 的资产 价格、 期权存 续期限 成反 比。B-Sub 方 法 更 适 用于 平 值期 权 ，对 实 值、 虚 值期 权 的 隐 含波动 率计算 通常偏 差较大 。 （四）C-M 法 Corrado-Miller 方 法 利 用 累 积 正 态 分 布 函 数 在 零 值 附 近 的二阶 泰勒展 开，推 导出隐 含波动 率的近 似估计 如下
6、： 其中， ； 为 看 涨 期 权 的 市 场 价 格 ； 为 标 的 资产 价 格 ； 为 期权 的 执行 价 格 ； 为 期权 的 存 续 期 限 。 与 B-Sub 方法相比， Corrado-Miller 方法考虑了 期权所 处 的 实值 虚值 状 态（通 过 体现 ） ，扩大 了适用 范围。 二 、 隐含 波 动率 实 证研 究 波动率 在期权 定价公 式中是 唯一不 能确定 的参数 ， 选取的波动 率 并不 像 定价 公式计算 的权 利金， 存在唯一 且稳 定的 精确解 。 在比 较各类 波动率 的特征 过程中 ， 我们 并不能 寻找 到一个 公允的 标准。 因此， 数据实 证成为
7、 对各类 波动率 研究 的必要 工具。 （一） 隐 含 波动 率 与历 史 波动 率 对比 通 过 定 价 公 式 倒 推 的 隐 含 波 动 率 与 通 过 统 计 标 的 一 段 期限内 收盘价 计算的 历史波 动率 ， 二者在 计算方 式上差 别很 大，对 比二者 时间序 列数据 是这部 分的主 要目的 。 数据选 取截止 到 2012 年 11 月 30 日的 ICE 白糖 3 月期货 收盘价 ， 分别 计算 90 天和 120 天历史波动率 ； 选取 2012 年 11 月 1 日到 2012 年 11 月 30 日 的白糖 3 月期货 看涨、 看跌 期权结 算价， 以 delta0
8、.5 为标准确定 平值， 通过二 分法计 算 平值的 隐含波 动率。 图 1 ：ICE 白糖 3 月合约隐含波动率与 90、120 天历史 波动率对比 数据来源：ICE 网站 通过图 1 数据对比，得 出以下 结论： 20.50% 21.00% 21.50% 22.00% 22.50% 23.00% 23.50% 24.00% 24.50% 25.00% 25.50% 26.00% 11/01/2012 11/09/2012 11/19/2012 11/28/2012 历史波动率（90 天） 历史波动率（120天） 隐含波动率第一， 历史波 动率 90 天与 120 天具 有一定 相关性 ，
9、隐 含波动 率与历 史波动 率无显 著相关 性，如 下表。 表 1 ：历史波动率与隐含波动率相关性 90 天历史 波动率 120 天历史 波动率 隐含波动率 90 天历史 波动率 1 0.85 -0.22 120 天历史 波动率 0.85 1 -0.58 隐含波动率 -0.22 -0.58 1 第二， 利用看 涨期权 与看跌 期权权 利金计 算得到 的隐含 波动率 基本一 致。 表 2 ：二分法看涨期权与看跌期权隐含波动率对比 日期 看涨 看跌 日期 看涨 看跌 11/01/2012 25.39% 25.40% 11/16/2012 23.02% 23.03% 11/02/2012 24.69
10、% 24.69% 11/19/2012 24.35% 24.35% 11/05/2012 24.27% 24.28% 11/20/2012 23.95% 23.96% 11/06/2012 24.31% 24.30% 11/21/2012 22.94% 22.95% 11/07/2012 24.18% 24.19% 11/23/2012 23.54% 23.55% 11/08/2012 24.13% 24.14% 11/26/2012 23.84% 23.84% 11/09/2012 23.80% 23.81% 11/27/2012 23.19% 23.19% 11/12/2012 24.52
11、% 24.52% 11/28/2012 23.72% 23.72% 11/13/2012 24.26% 24.27% 11/29/2012 23.20% 23.19% 11/14/2012 23.72% 23.72% 11/30/2012 23.06% 23.06% 11/15/2012 23.18% 23.18% 历 史 波 动 率 与 隐 含 波 动 率 实 际 上 分 别 代 表 了 标 的 市 场 和标的 的期权 市场， 二者既 有关联 又相互 独立。 形态上 ， 隐 含波动 率与历 史波动 率曲线 相互缠 绕， 当 二者偏 离达到 一定 程度时 ， 就可 通过两 个市场 对冲的 手段
12、使 偏离减 小， 有 效的 保证两 个市场 的联动 性。 （二） 二 叉 树美 式 期货 期 权隐 含 波动 率 精度 与 步长 个 数 关系 二叉树 模型不 同于标 准 BS 模型， 并不存 在解析 解表达 式， 需 要通过 增加步 长个数 来提高 计算精 度， 在 计算隐 含波动率的 时候 ， 这种步 长个数 的选取 对隐含 波动率 的精度 影响 如何， 是这部 分需要 考虑的 问题。 方法上 ， 以场 景测试 为主， 按照不 同的给 定波动 率设置 实值、 平值和 虚值， 以 500 步二叉 树模型 计算的 权利金 作 为 基准价 ， 用二 分法 反 推计算 对应步 长的隐 含波动 率，
13、 然 后与 给定波 动率对 比偏差 。 初始 日期设 为 2012 年 12 月 4 日， 结 束日期 设为 2013 年 2 月 15 日，无风 险利率 设为 5% ，执行 价格 5300 元/ 吨。 表 3 ：二叉树步长个数与隐含波动率精度检测 步长个数 50 100 200 500 500 步权 利金 情景一 （波动 率： 10% ） 5100 看涨 10.06% 9.99% 10.01% 10.00% 24.898 看跌 10.05% 9.99% 10.01% 10.00% 223.575 5300 看涨 10.04% 10.02% 10.01% 10.00% 93.721 看跌 10
14、.04% 10.02% 10.01% 10.00% 93.721 5700 看涨 10.00% 10.02% 9.99% 10.00% 403.470 看跌 10.01% 10.03% 10.00% 10.00% 5.300 情景二 （波动 率： 20% ） 5100 看涨 19.91% 20.00% 20.02% 20.00% 101.491 看跌 19.90% 20.00% 20.02% 20.00% 300.055 5300 看涨 20.08% 20.04% 20.01% 20.00% 187.395 看跌 20.08% 20.04% 20.01% 20.00% 187.395 5700
15、 看涨 20.02% 20.03% 19.99% 20.00% 454.441 看跌 20.02% 20.03% 19.99% 20.00% 57.114 情景三 （波动 率： 30% ） 5100 看涨 30.14% 29.93% 30.03% 30.00% 187.857 看跌 30.14% 29.93% 30.03% 30.00% 386.403 5300 看涨 30.13% 30.06% 30.02% 30.00% 280.976 看跌 30.13% 30.06% 30.02% 30.00% 280.976 5700 看涨 30.05% 29.95% 29.99% 30.00% 532
16、.200 看跌 30.05% 29.95% 29.99% 30.00% 135.022 通过观 察表 3 ， 步长个 数对隐 含波动 率计算 是有影 响的， 随着步 长个数 的增加 隐含波 动率计 算也更 加精确 。 当步 长个 数设置 为 500 的时候 ，可以 精确到 百分数 的小数 点后两 位。这个结 论和步 长个数 对权利 金的影 响相比 ， 计算 权利金 的时 候对步 长个数 要求会 更高一 些。 在 实际运 算中， 可考虑 计算 隐含波 动率的 时候适 当降低 步长个 数，以 增加计 算效率 。 （三） 二 分 法与 N-R 迭 代 法比 较 二分法 和 Newton-Raphso
17、n 迭代 法均采 用数值 优化算 法 ， 通过迭 代达到 所需精 度。 因 此， 从 计算精 度的角 度来看 ， 二 者是相 同的； 而从计 算的效 率来看 ， 二者 却有较 大差异 ， 这 里的效 率是指 达到同 样精度 的前提 下， 迭 代的次 数少则 效率 高。 比较二 分法与 N-R 迭代法， 能 够影响 迭代次 数的最 基本 原因是 初始值 的选取 ， 如二 分法需 要估计 一个波 动率的 最低 值和最 高值， 而 N-R 更是要 求 指定 一个初始 值。 当初始 值或 最低值 与最高 值距离 真实值 过远 时 ， 迭代 次数将 会增加 ， 计 算效率 将会降 低。 这里 通 过计算
18、 11 月 30 日 ICE 白糖 3 月期权合 约 序列 隐 含波动 率， 比 较二分 法（最 低值设 为接近 0 ，最高 值 50% ） 与 N-R 法（初 始值设 为 ） 的 效率 。 表 4 ：二分法与 N-R 迭代法效率对比 执行价格 隐含波动率 二分法迭代次数 N-R 法迭代次数 看涨 看跌 看涨 看跌 看涨 看跌 1900 23.08% 23.06% 35 37 6 6 1925 23.06% 23.06% 36 35 4 4 1950 22.97% 22.98% 37 33 4 4 1975 23.24% 23.26% 35 36 6 6 2000 23.56% 23.59%
19、35 35 5 5 2025 23.76% 23.80% 32 37 8 8 2050 24.14% 24.20% 36 36 6 6 2075 24.39% 24.46% 35 36 8 8 2100 24.60% 24.69% 35 35 8 7 2125 25.07% 25.19% 36 36 9 9 从表 4 可 以看出 ， 在计算 相同精 度的隐 含波动 率过程 中， N-R 法比二分 法的迭 代次数 少，效 率更高 。N-R 法的高 效率 得益于 其动态 初始值 的设置 ， 在还 原该表 达式后 发现， 这个 初始值 实际上 是 BS 公 式中 时得到的 ，这使 得该值 更 加接近
20、 真实的 波动率 ，从而 提高了 运算效 率。 （四） 迭 代 法与 近似 解析法比 较 本报告 的近似 解析法 介绍了 B-sub 法和 C-M 法， 其 原理 是 依 据 累 积 正 态 分 布 函 数 在 零 值 附 近 的一阶 和 二 阶 泰 勒 展 开得到 。由于 B-Sub 方法更适 用于平 值期权 ，在实 值和虚 值 偏差较 大， 因此 本部分 只对二 分法和 C-M 法进行精度 计算的 比较。 方法上 ， 采用 时间序 列对比 与截面 数据对 比的双 维度观 察。 首先 选取 ICE 白糖 3 月标的 的期权 合约， 收 集从 2012 年 11 月 1 日到 2012 年 1
21、1 月 30 日的期权 结算数 据， 分 别用两 种算法 计算 比 较每个 交易日 平值 附 近的隐 含波动 率。 图 2 ：二分法与 C-M 法在平值的隐含波动率比较 数据来源：ICE 网站 图 2 显示， 二分 法与 C-M 法在计算平 值附近 的隐含 波动 率精度 相差不 大， 21 个数据 显示， 两种方 法计算 的隐含 波动 率 差距 仅限于 百分数 的小数 点后 两 位。下 面，截 取 11 月 30 日白糖 3 月期权各执 行价格 看涨期 权与看 跌期权 结算数 据， 用两种 方法计 算比较 各执行 价格对 应的隐 含波动 率。 图 3 ：二分法与 C-M 法在期权合约序列的隐含
22、波动率对比（看涨） 数据来源：ICE 网站 图 4 ：二分法与 C-M 法在期权合约序列的隐含波动率对比（看跌） 22.50% 23.00% 23.50% 24.00% 24.50% 25.00% 25.50% 11/01/2012 11/09/2012 11/19/2012 11/28/2012 二分法 C-M 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 70.00% 1700 1825 1925 2000 2075 2150 2225 2300 2375 2450 2525 2600 二分法 C-M 数据来源：ICE 网站 比较图 3 和
23、图 4 主要观 察红圈 内数据 情况 ， 这是因 为对 深度实 值、 虚值 期权进 行计算 时， 存在 为 负的情 形， 产 生错误 结果， 而本报 告依据 的模型 为了完 整绘 制出 执 行 价 格 对 应 的 隐 含 波 动 率 轨 迹 而 对 模 型 进 行 了 修 正 ， 因此圈 外的 C-M 数据并不真 实。 通 过对比 图 3 和图 4 ，得出 以下结 论： 第一 ， 二 分法与 C-M 法在圈内的 数据比 较中 ， 精 度较高 ， 可以精 确到百 分数小 数点后 一位； 第二， 二分法 （蓝色 ） 在描 述该组 数据表 现出了 良好的 波动率 微笑特 性，与 预期相 符。 考 虑
24、到解 析解计 算速度 快的高 效特点 ， 实际 运用中 更多 被做市 商采用 ， 对于 不能够 用该方 法计算 的深实 值和深 虚值 隐含波 动率， 则以波 动率微 笑为依 据， 通 过可计 算的部 分推 出不可 计算的 部分。 0.00% 10.00% 20.00% 30.00% 40.00% 50.00% 60.00% 1500 1575 1650 1725 1800 1875 1950 2025 2100 2175 2250 2375 2450 二分法 C-M三、结论 本报告 总结归 纳市场 常见的 几类隐 含波动 率算法 ， 同时 展开相 关讨论 ，得出 以下结 论： 1. 隐 含 波
25、 动 率 与 历 史 波 动 率 并 无 明 显 相 关 性 ， 分 别 代 表 两个市 场的 情 绪， 相 同执行 价格的 看涨期 权与看 跌期权 隐含 波动率 基本一 致； 2. 利 用 二 叉 树 模 型 计 算 的 隐 含 波 动 率 精 度 与 其 步 长 个 数 相 关 ， 步 长 个 数 越 多 ， 精 度 越 高 ， 但 差 别 较 小 ， 影 响 有 限 ， 可考虑 定价模 型运算 与隐含 波动率 运算采 用不同 步长， 用以 提高效 率； 3. 二分法 和 N-R 法在运 算效率 上有差 别，可 选用修 正初 始值后 的 N-R 法提高 计算隐 含波动 率的效 率； 4. 与 迭 代 法 相 比 ， 近 似 解 析 法 运 算 效 率 更 高 ， 但 仅 平 值 附近执 行价格 隐含波 动率计 算较精 确， 对 深实值 与深虚 值期 权则无 法计算 ，迭代 法能够 精确刻 画波动 率微笑 。
