1、第5章 保费原理,5.1引言,保险公司的业务可以用一个输入输出系统来描述。 输入：保费，利息，投资收益。输出：理赔，营运成本。,一个保费计算原理是一条规则。例如称作H，它把一个实数P指定给有分布函数F的随机变量S。即P=HS。实际解释：对于任何风险S，根据保费计算原理，保险公司提出一个保费P=HS，表明保险公司愿意接受P，并作出一个大小为S的随机支付。公司公司从这个合同收益为P-S，它是一个随机变量。,5.2利用上下方法计算保费,Buhlmann( 1 985 )描述了关于保费计算的上下(top-down)方法：首先给出整个保单组合必需的总保费，其次再考虑将总保费以一个公平的”方式分配到每个保
2、单上去,考虑离散时间破产模型:,有如下问题：,保费为：,指数保费的一个特征在于：如果对每个保单都选择这个保费，则简单相加便得到了 对应的总保费 。,设 为保单 的赔付额， , 当它们相互独立时，,方差保费原理也有类似的可加性，即对于某个参数 ，保费由下面的公式而定：,该保费也可以看作是对指数保费的一个近似：设风险厌恶系数较小，我们只考虑累积量母函数Taylor 展开式的前两项,我们可以粗略地说：,下面考虑一个新的问题：如果保费要包含股东（即初始资本的提供者）一年的红利，那么应该多大？,考虑到这个因素，我们取如下形式的保费：,我们应当选取u使得保费具有竞争力（即越低越好）,显然，在标准差保险原理
3、下，独立风险变量的保费之和并不等于风险变量和的保费。此时我们不可以简单地要求附加保费与标准差成比例,最后还有一个问题：如何确定对保单组合里的每个保单应该征收多少保费？,得到关于保费计算的如下建议：,Buhlmann给出了一个包含两类指数型风险保单组合的例子：,我们注意到：,（1）初始资本u的提供者要求的回报i越高，u的最优值就越低。,（2）负荷与风险保费远不成比例：A 型风险的负荷是B 型风险的负荷的5 倍。,（3）求得的指数保费几乎是相同的：如果i2 % ，那么A 型风险的参数值为2R 的保费是6 . 18 ，而B 型风险对应保费是1 . 037 。,5 . 3 各种保费原理,假设X 是一个
4、有界随机变量这里讨论的大多数保费原理也适用于无界的或者负的理赔变量场合，不过这时有可能会导致保费等于无穷，即意味着这样的风险变量不可保,我们已经遇到下面五种类型保费原理：,保费模型：“参数”是一个函数 。,一个单调增且凸的函数 。,下面这些保费原理只是在理论上有意义：,5 . 4 保费原理的性质,下面我们给出保费原理 应该满足的五个性质,例5 . 4 . 1 （指数保费原理的平滑性）指数保费原理具有平滑性,例5 . 4 . 2 （复合分布）设 既满足可加性又满足平滑性，再设S 是由N 个与X 同分布的独立随机变量组成的一个复合分布则S 的保费等于,综上所述，只有指数保费原理，最大损失保费原理和
5、纯保费原理满足所有这些性质。鉴于最大损失保费原理和纯保费原理的实际意义不大，只有指数保费原理才符合这样的挑选准则 。,5.5 保费原理的刻画,定理5 . 5 . l （指数保费原理的刻画）如下的四个命题成立：,1 满足相容性的平均值保费原理是指数原理2 满足可加性的平均值保费原理是指数原理3 满足可加性的零效用保费原理是指数原理4 满足平滑性的零效用保费原理是指数原理,对方程两边求q = 0 点的右导数得,故 进一步，在 处求二阶导数可得,对这个方程两边求 点的二阶导数得,注意到 ，于是对于一切的x 我们有,右端导数等于,当时 ，如果,则导数（5 . 19 ）式为0.,记,利用变分学中一个熟知的定理，得到,代入 和 ，可见,如果,5 . 6 通过共保来降低保费,所需要的总保费是,由（5 . 27 ）知，相应的最小总保费为,此式可以被改写为,又等价于,所以对一切实数 有,由此可得,如果在（5 . 30 ）中记 和 那么便得到了著名的 Holder不等式,
