1、线性规划模型研究摘要：探讨线性规划在生活中的应用。方法：了解线性规划法及其特点；分析生活中某些问题适合利用线性规划求解的缘由；求解出所需值,同时观察其现实意义。结果：由于生活中很多关于利益最大化、成本最小化的问题，所以线性规划在生活中应用很广泛。而且线性规划求解方法多样；求出的结果能很好反映现实问题。结论：线性规划模型在生活中应用广泛。关键词：线性规划；生活问题；求解相关值Linear programming modelAbstract: discuss the application of linear programming in life. Method: to investigate
2、the linear programming method and its characteristics; Analysis of some problems in the life is suitable for using the linear programming to solve the reason; Solving the required value and observe its realistic significance. Results: the result of living in a lot of questions about the benefit maxi
3、mization, cost minimization, so linear programming is widely applied in life. Diverse and linear programming method; Calculated results can well reflect the reality. Conclusion: the linear programming model has been widely applied in life. Keywords: linear programming; Life problems; To solve the re
4、lative value 1线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定,如何合理筹划，精细安排，用最少的资源 (人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨” 、 “变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。
5、2线性规划是运筹学规划论的一个分支。它发展较早，理论上比较成熟，应用较广。20 世纪 30 年代，线性规划从运输问题的研究开始，在二次大战中得到发展。现在已广泛地应用于国民经济的综合平衡、生产力的合理布局、最优计划与合理调度等问题，并取得了比较显著的经济效益。线性规划的广泛应用，除了它本身具有实用的特点之外，还由于线性规划模型的结构简单，比较容易被一般未具备高深数学基础，但熟悉业务的经营管理人员所掌握。它的解题方法，简单的可用手算，复杂的可借助于电子计算机的专用软件包，输入数据就能算出结果。 在生产过程中,我们都追求利益最大化、成本最小化、时间最少化。为了实现这些目标，我们就需要进行生产模型化
6、。也就是说我们要知道如何分配原料、设备、时间等等来实现利益最大化。在分配之前我们必然要先进行大概的估算或精确的计算。而我们选择怎样的计算呢?这就需要根据现实的意义来确定。在生产过程中我们经常要用到线性规划模型来进行计算。如生产安排模型、混合配料模型、配套生产模型、运输问题模型、截料模型。为什么处理这些问题选择用线性模型呢?因为这些问题涉及了利益的最大化或成本最小化，而线性模型中求最优值可以满足其目的。并且在生产安排中有设备和原料的限制；在混合配料模型中有动物对各种饲料的基本需求的限制；在配套生产模型中有对工时的限制；在运输问题模型中有各地需求的限制；在截料模型中有产品需求的限制。除此之外还有现
7、实意义的要求如时间不能是负的、运输量不能是负的、车辆数必须是整数等等.而选择线性规划模型可以用约束条件进行实现。那么接下来的问题是如何建立线性规划模型，如何求出我们需要的值？值是否唯一？两个值之间有什么关系？条件的适当改变会不会影响利益值？问题：求使得总成本最低的饲养配方？某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所,已知这些动物的生长对饲料中 3种营养成分(蛋白质、矿物质和维生素) 特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g,矿物质 3g,维生素 8mg，该公司能买到 5 种不同的饲料，每种饲料 1kg 所含各种营养成分和成本如下所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过 52kg,才能满足动物生长
8、需要。在现实生活中如何搭配饲料使得总成本最低？构建什么数学模型进行求解？这个问题是在某些条件限制下求最优解，即在满足动物对各营养物质需求的情况下如何搭配饲料使成本最低。这符合线性规划的特点，所以选择构建线性规划模型来求解。而且线性规划容易求解，可以进行笔算，稍微复杂的便可选择lingo 软件求解。如何构建线性规划模型；从实际问题出发建立线性规划模型三个步骤：（1） 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；（2） 由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数；（3） 由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。由上可知：解: 确定决策变量：设 X1 , X2, X3, X4,
9、X5 分别为购买 A1、A2、A3、A4 、A5 饲料的数量；确定目标函数：成本最低，即要求 0.2X1+0.7 X2+ 0.4X3+ 0.3X4+0.5X5 最小值；所满足的约束条件蛋白质需求限制：0.3X1 + 2X2 + 1X3 + 0.6X4 +1.8X5 60，矿物质需求限制：0.1X1 + 0.05X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.05X5 3， 维生素需求限制：0.05X1 +0.1X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.08X5 8，每周食用饲料量的限制：X1 + X2 + X3 + X4 + X5 52， 现实意义的限制：X1,X2, X3, X4, X50
10、。A1 A2 A3 A4 A5 营养最低要求蛋白质（g） 0.3 2 1 0.6 1.8 60矿物质（g） 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3维生素（mg） 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8成本（元/kg） 0.2 0.7 0.4 0.3 0.5线性规划模型：目标函数 Min Z=0.2X1+0.7 X2+ 0.4X3+ 0.3X4+0.5X5s.t 0.3X1 + 2X2 + 1X3 + 0.6X4 +1.8X5 60，0.1X1 + 0.05X2 + 0.02X3 + 0.2X4 +0.05X5 3， 0.05X1 +0.1X2 + 0.02X3 + 0.2X
11、4 +0.08X5 8，X1 + X2 + X3 + X4 + X5 52， X1,X2, X3, X4, X50。接下来是求出这些解,得出我们想要的数值。求解线性规划有两种方法：其一、人工求解，即笔算。其二：利用 lingo 或 matlab 等软件求解。人工求解时，一般先转化为标准线性规划模型；考虑其是否退化。然后利用单纯形法求解。 （在此省略过程）利用 lingo 求解：输入 model:min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x560;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0
12、.05*x53;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x58;x1+x2+x3+x4+x552;end得出结果：对结果进行分析： 1， 因此，每周每只动物的配料为饲料 A2、A4、A5 分别为 12、30和 10kg，合计 52kg 可使得饲料成本达到最小，最小成本为 22.4 元。 除去求解出饲料的搭配方式和此时最低成本值。我们还可以从 lingo 软件给出的值去发现更多问题的答案。如A：“Reduced Cost”表示当变量有微小的变动时，目标函数的变化率。其中基变量的 reduced cost 值应为 0，对于非变量 Xj.相应的 reduced cost
13、 值表示当某个变量 Xj 增加一个单位的时目标函数增加的量，变量 X1 对应的 reduced cost 值为 0.7，表示当非变量 X1 的值从 0 变为 1 时（此时假定其他非基变量保持不变，但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化） ，最优的目标函数值=22.4+0.7=23.1B: “Slack or Surplus”给出松弛变量的值：可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准 4.1kg.C:“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为 p，表示对应约束中不等式有段项若增加(减少
14、) 一个单位，目标函数将增加（减少）p个单位，显然，如果在最优解处约束正好取等号，对偶价值才可能取 0.从这可以得到：1. 降低标准蛋白质 1 单位可使饲养成本降低 0.583 元，2. 降低标准维生素 1 单位可使饲养成本降低 4.167 元，3. 降低标准矿物质 1 单位不会降低成本，4. 如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低 1kg 可使得饲养成本增加 0.88.现实生活中充满各种诱惑，如以下作为条件，养殖所值不值得接受？（1） 如果维生素要求降为 7 单位，但要求动物价格降 5 元；（2） 如果矿物质要求降为 2 单位，但要求动物价格降 0.3 元；
15、（3） 如果蛋白质要求降为 58.5 单位，但要求动物价格降 0.7 元；如果饲料价格发生如下变动，请问是否要改变饲养方案？（4） A5 的价格若变为 0.7 元每千克； 看到如上问题也许我们会束手无策。如果利用 lingo 软件中的灵敏度分析。我们就可以做成相应的判断。（1） 系数价格变化的分析：目标函数中 X1 原来的费用系数为 0.2，允许增加到无穷大、或者允许减加到无穷大、或者允许减少=0.7，说明当它在0,+ 范围变化时，最优基保持不变。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化） ，所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以
16、最优值会变化） 。对于 X2 来说，目标函数中原来的费用系数为 0.7，允许增加到无穷大？或者允许减少=0.316，说明当它在0.7-0.136, + 范围变化时，最优基保持不变。（2）约束中右端项原来为 60，当它在60-4.8,60+4.8=55.2,64.8范围变化时，最优基保持不变。其余类似解释。不过此时约束条件发生变化，最优基即使不变，最优值、最优解也会发生变化。以上是对灵敏度的分析。根据灵敏度分析上面的问题便迎刃而解。总结：在此简单了解线性规划的特点以后，便利用了一个实例。阐述某些现实问题为何适合构建线性规划模型进行判断。判断如何使成本最 低（当然也适用于利益最低） 。根据构建法则构建模型后，便是解出我们所需。有两种方法，在此详细解释了利用 LINGO 软件的求解。因为该软件可以给出很多信息。如当适当的改变某个量时利益或成本会不会改变。改变的单位值是多少。这些在我们生活中可以很好的利用。帮助我们判断我们是否该对自己已有的方案进行调整。或他人给予条件时，我们是否要接受。总之，可以给我们的生活带来一些提示和向导。备注:1与2摘自百度线性规划极其特点
