1、1,第2章 离散时间信号与系统,数字信号处理,2,内容,2.1 离散时间信号-序列2.2 离散时间系统2.3 线性常系数差分方程2.4 连续时间信号的数字处理2.5 MATLAB在离散时间信号与系统中的应用,3,重点、难点周期序列序列卷积，序列相关线性时不变系统系统稳定性，系统因果性,4,$2.1 离散时间信号序列（Sequence）,离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就表示一序列数,即序列：x(n)。 为了方便，通常用
2、x(n)表示序列x(n)。,2.1.1、序列,5,2.1.2.序列的时域表示,1、枚举表示,6,2、公式表示,x(n)的全部用集合 x(n)或用x(n)表示。,7,3、图形表示,8,9,10,2.1.3、序列的运算,1. 序列的加、减 运算序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减， 其中的操作符号“”是当进行相加运算时取“+”，相减运算时取“-”。其中y(n)值为当n取相同值时的x1(n)和x2(n)值的加或减运算结果值。,11,例2-1：已知两个序列x(n)、y(n)如下图2-4（a）、(b)，求z(n)=x(n)+y(n)。,解：根据序列加法的定义，得Z(-1)=x(-1)+y(-1)Z(
3、0)=x(0)+y(0)Z(1)=x(1)+y(1),12,用MATLAB实现该过程的程序：,n=-4:4;x=-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3;y=2 2 1.5 1 0 -1 -1.5 -2 -2;z=x+y; %序列相加subplot(311);stem(n,x);ylabel(x(n);xlabel(a); grid on;subplot(312);stem(n,y);ylabel(y(n);xlabel(b); grid on;subplot(313);stem(n,z);ylabel(z(n);xlabel(c); grid on;,13,14,2.序列的乘积运算,序列的
4、乘积指将两序列序号相同的数值相乘积,15,例2-2：已知两个序列x(n)、y(n)如图2-5(a)、(b)，求：z(n)=x(n)y(n),解：根据序列乘积的定义，得,16,用MATLAB实现该运算的程序：,n=-4:4;x=-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 3;y=2 2 1.5 1 0 -1 -1.5 -2 -2;z=x.*y; %序列相乘subplot(311);stem(n,x);ylabel(x(n);xlabel(a); grid on;subplot(312);stem(n,y);ylabel(y(n);xlabel(b); grid on;subplot(313);ste
5、m(n,z);ylabel(z(n);xlabel(c); grid on;,17,18,是将序列的全体在时间轴上进行右移动。其中n00表示延时数。x(n-n0)是将x(n)序列整体向右移n0位得到。,3.序列的时延,19,例2-3：已知序列x(n)如图2-6（a）,求序列y(n)=x(n-2)。,解：根据序列乘积的定义，采用MATLAB实现的程序：x=3,11,7,0,-1,4,2;nx=-3:3;y,ny=sigshift(x,nx,2); %调用移位函数实现延时subplot(211);stem(nx,x);ylabel(x(n);xlabel(a); grid on;subplot(2
6、12);stem(ny,y);ylabel(y(n);xlabel(b); grid on;,20,其中移位函数sigshift为,functiony,ny=sigshift(x,nx,n0) ny=nx+n0;y=x;,21,4.序列乘常数,即幅度发生了改变,22,5.序列反褶,以n=0为对称轴进行对褶,如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列,23,例2-4：已知序列x(n)如图2-7（a）,求序列y(n)=x(-n)。,解：采用MATLAB提供的左右反褶的函数fliplr来完成该题，MATLAB程序：x=3,11,7,0,-1,4,2;nx=-3:3;ny=
7、nx;y=fliplr(x); %调用函数fliplrsubplot(211);stem(nx,x);ylabel(x(n);xlabel(a); grid on;subplot(212);stem(ny,y);ylabel(y(n);xlabel(b); grid on;,24,25,6.序列的差分运算,指同一序列相邻的两个样点之差，分前向差分和后向差分： 前向差分： 后向差分： 关系：,26,7.序列的抽取与插值（尺度变换）,（1）抽取：将原来序列每M个抽取一个点组成新序列：,27,（1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以
8、此类推。,x(2n),1,3,1/4,-1,0,1,n,28,（2）插值：,将原来的序列每个序列点之间插入L个样点，形成新序列：,29,（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。,x(n),1,2,1/2,-1,0,1,n,x(n/2),1,2,1/2,-2,-1,0,1,2,n,。,。,30,8.移位,当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位；（时延） x(n+m)表示依次左移m位。,31,例：,32,33,9. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列
9、 y(n)定义为 即表示n以前的所有x(n)的和。,34,10.卷积和(序列卷积) 设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为,35,卷积和的性质,（1）交换律 （2）结合律,36,（3）对加法的分配律,37,卷积（和）计算分四步：,（1）翻褶（2）位移（3）相乘（4）相加,38,例2-5：,求：,39,解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 位移一个单元，对应序号相乘， 相加 得 y(1)； 3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。,40,x(m),在亚变量坐标m上作出x(m)
10、,h(m),41,x(m),得 y(0),得 y(1),x(m),翻褶,位移1,对应相乘，逐个相加。,42,43,44,45,解法二（分段）：,分段求解析式的关键是确定卷积求和式的起点和终点。,46,47,方法三、用MATLAB实现,nx=0:3;%x序列时间范围x=nx/2;nh=0,1,2;%h序列时间范围h=1 1 1;subplot(3,1,1);stem(nx,x);ylabel(x(n);xlabel(a);grid on;subplot(3,1,2);stem(nh,h);ylabel(h(n);xlabel(b);grid on;nyb=nx(1)+nh(1);%卷积序列的起始
11、位置nye=nx(length(x)+nh(length(h);%卷积序列的结束位置ny=nyb:nye;%卷积序列的范围y=conv(x,h);%求卷积subplot(3,1,3);stem(ny,y);ylabel(y(n);xlabel(c);grid on;,48,49,50,11.序列线性相关,1、定义设序列x(n)和y(n),它们的线性相关(互相关)序列定义为 （1）x(n)和y(n)的线性互线关 （2）y(n)和x(n)的线性互线关,51,2、线性相关序列特点,（1）不满足交换律,52,（2）自相关,53,（3）线性互相关的计算步骤： 移位、相乘、相加,例2-6：已知计算x与y的
12、线性互相关rxy、y与x的线性互相关ryx。,54,解：,55,MATLAB程序如下,nx=1:5;%x序列时间范围x=1:5;ny=1,2,3;%y序列时间范围y=7 8 6;subplot(4,1,1);stem(nx,x);ylabel(x(n);xlabel(a);grid on;subplot(4,1,2);stem(ny,y);ylabel(y(n);xlabel(b);grid on;nrl=2*max(length(x),length(y)-1;%相关序列的长度nr=-(nrl-1)/2:(nrl-1)/2;%相关序列时间的范围rxy=xcorr(x,y);%x与y相关ryx=
13、xcorr(y,x);%y与x相关subplot(4,1,3);stem(nr,rxy);ylabel(rxy(n);xlabel(c);grid on;subplot(4,1,4);stem(nr,ryx);ylabel(ryx(n);xlabel(d);grid on;,56,57,（4）线性相关与卷积的关系,58,1.单位取样序列,1,-2,-1,0,1,2,n,1,-2,-1,0,1,2,n,2.1.4 常见序列,59,60,2.单位阶跃序列 u（n）,3.矩形序列,62,63,4.实指数序列,64,例2-7：求 ，n=0:50,解：用运算符“.”来实现指数运算。MATLAB程序如下：
14、n=0:1:50; %取序列显示范围x=(0.9).n %指数运算plot(n,x);stem(n,x);,65,66,5.复指数序列,67,正弦型序列余弦型序列 其中，为数字频率。,68,数字信号可以通过对模拟信号取样得到。设模拟信号为：,其中取样周期为T，其中： 为模拟域频率，单位为rad/s；则取样后信号为：与正弦信号式（2.24）比较，得到：,69,注意:,（1）正弦序列和复指数序列对数字频率变化以 为周期 （2）当 时，变化最慢（不变化）；当 时，变化最快。故在DSP中，在主值区间上，将 附近称为数字低频；而将 附近称为数字高频。这一特点与模拟正弦信号截然不同，模拟正弦信号中越大，f
15、 越大，变化越快。,70,如果存在一个最小的正整数N, 满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期 性序列,N为周期。,2.1.5 序列的周期性,71,例2-8：判断序列是否为周期序列，若是求出其周期,（1）解：假设序列周期为N，则满足周期存在即要下式成立：即要满足：,72,根据三角函数性质，所以要求： 从而得到 ，由于k为整数，所以不存在最小正整数N能使式（2.30）成立。故序列不是周期序列。,73,（2）,解：假设序列周期为N，则满足,要该式成立，则要求满足：,周期存在则要求满足：,74,也即要满足：取140和220的最小公倍数1540，得到： ，其中k1=11,k2=7。序列x(n
16、)的周期为20。,75,MATLAB程序：n=1:80;pi=3.1415926;x=cos(11*pi/10.*n-pi/2)+2*sin(7*pi.*n);stem(x);xlabel(n);ylabel(x(n);grid on;输出序列 x(n)如图2-17。从图可见序列周期的确为20。,76,77,2.1.6 用单位抽样序列表示任意序列 1.任意序列可表示成单位抽样序列的移位加权和.,78,例2-9：将序列表示成单位取样序列的加权和形式,79,解：可以表示为：,80,例2-10 已知序列，写出其单位取样序列的加权和形式,解：,81,2.1.7 序列的能量与功率 有界信号x(n)的能量
17、定义为,1、有界信号,3、当E有界时，称信号为能量有限信号,4、若序列长度有限，则有限信号能量就是有限的,2、若信号x(n)有界，则不能保证E是有限的,82,信号功率,对于非周期序列x(n),若序列为无限长，其平均功率为：当信号平均功率为有限值，称信号为功率信号 当信号能量为有限，称能量信号,83,2.2 离散时间系统,系统可以看作是对信号进行的操作或函数，系统可以分为：（1）连续时间系统（模拟系统）；（2）离散时间系统（数字系统）。连续时间系统是对模拟信号进行操作处理的系统。离散时间系统是对数字信号进行处理并输出数字序列的系统。,84,2.2.1 线性时不变系统,1.线性系统 系统实际上表示
18、对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即,x(n),离散时间系统 Tx(n),y(n),y(n)=Tx(n),85,设系统具有： 那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。 *加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。,86,2. 时不变系统 如Tx(n)=y(n),则 Tx(n-m)=y(n-m), 满足这样性质的系统称作时不变系统，也称移不变。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即 输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。,87,3 .单位脉冲响应与线性时不变系统的卷积表示 （1）单位抽样响应h(n) 当线性移不变系统的输入为
19、(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T(n),(n),h(n),T(n),88,线性移不变系统 h(n),x(n),y(n),2.系统输出,y(n)=x(n)* h(n),89,90,4.线性移不变系统的性质（1）交换律,91,（2）结合律,92,3.对加法的分配律,93,94,例2-11：分别判断下列系统的线性性、时不变性。,(1) （2） ， a为非零常数。,95,解:(1)设 ， ，则,是线性系统,96,因 而：,所以为时变系统,97,因为而,所以为系统为非线性系统。,98,由于：,所以为系统为移不变系统。,99,1.稳定系统 对于一个有界的输入，产生有界输出的系统，
20、称系统为稳定系统。即如果： ，则稳定系统必然有： 。 线性移不变稳定系统的充要条件是,2.2.2 系统的稳定性和因果性,100,例2-12：判断系统 的稳定性。,解：设 ，则： ，所以系统稳定。,101,2.因果系统如果输出的变化不会领先于输入的变化的系统，即为因果系统。即因果系统的输出值不取决于输入的将来值，只与的现在值及过去值等有关，与将来值无关。线性移不变因果系统的充要条件为 h(n)=0，n0，输入取样信号时， 。,方程变为： ，这是齐次方程。,于是得： ，所以：,齐次方程的特征方程为：,解为：,109,所以方程的解为：,代入初始条件得到：,110,综合得到差分方程的解为：,所以系统单
21、位取样响应为：,111,2.3.3 FIR系统和IIR系统的差分方程,线性时不变系统可以用线性常系数差分方程表示为：当其中的系数a全为零，则变为：,FIR（有限长单位脉冲响应）数字滤波器的差分方程表示,112,当线性时不变系统的差分方程（2.46）中的系数a不全为零，即：,该式实际上表示了IIR（无限长单位脉冲响应）数字滤波器的差分方程。,113,连续时间信号要经过A/D转换器才能变为数字信号。经过数字信号处理后的输出数字信号，如果要变为模拟信号，还得经过D/A转换器。,2.4 连续时间信号的数字处理,114,（1）理想抽样,2.4.1 抽样定理与AD转换 1.理想抽样及其频谱,115,（2）
22、理想抽样信号的频谱,假设：,理想抽样的频谱可以是对（2.49）两边取傅里叶变换得到： 根据频域卷积定理性质继续得到：,116,由于,于是：,117,代入（2.52）式，得到频谱：,118,即：可见，该频谱为周期性信号，其周期为：,且当k=0时， 取得频谱段为 ，所以的频谱是频谱以为间隔的重复，这种情况称为周期延拓。,119,频谱周期延拓,120,2抽样定理由图2-25可知，用一截止频率为 的低通滤器对抽样信号 滤波即得到原模拟信号 。,121,如果当 ，则 的频谱 和周期延拓部分的存在重叠，从而将无法通过低通滤波器滤波得到频谱 段的频谱，造成“混叠失真”。因此，要想能从抽样后的信号中不失真的还
23、原出原模拟信号，则必须满足：,122,即：因为： ，因此：,也就是说：对频带有限的模拟信号，要抽样后能够不失真地还原出原模拟信号，则抽样频率必须大于等于两倍模拟信号最高频率。这就是奈奎斯特抽样定理。,123,常称为折叠频率或奈奎斯特频率，即奈奎斯特频率为抽样频率的一半。,124,3、A/D转换原理,抽样：时间离散化，抽样频率需满足抽样定理；量化：将无限精度的抽样信号幅度离散化；编码：将数字信号表示成数字系统所能接受的形式；保持：在量化编码时间内维持抽样信号不变。,125,2.4.2 抽样信号的恢复与D/A转换,1抽样信号的恢复将抽样信号转换为模拟信号，称为抽样信号的恢复。设理想低通滤波器：抽样
24、信号 的频谱为：,126,（1）从频域恢复用理想低通滤波器对抽样信号进行滤波，滤波后得到：取傅里叶反变换，由于：即恢复出了原模拟信号。,127,（2）从时域恢复理想低通滤波器的冲激响应为： （2.65）式（2.65）为内插函数。滤波是频域相乘，则根据卷积定理，对应时域为相卷，则：,128,129,式中：为内插函数,130,图2-28为通过内插函数对抽样信号的恢复。通过滤波器后，在各抽样点可以得到原抽样信号值,而在非抽样点（各抽样点之间）的信号则由幅度为抽样值的各内插函数的波形延伸叠加而成。,131,5、D/A转换原理,图2-29是数字信号模拟化过程。其中D/A转换(DAC)是将数字信号变成模拟
25、信号的处理。DAC包括译码、保持器。,译码：将数字信号转换为抽样信号；零阶保持器： 实际为一个低通滤波器，将每个抽样信号 保持一个抽样时间段，变成阶梯信号；平滑滤波：将阶梯信号变为模拟连续信号。,132,2.5 MATLAB在离散信号与系统中的应用,2.5.1 MATLAB在离散时间信号中的应用,例题2-16：用MATLAB产生并输出随机序列，序列长度取100。len=100; %序列长度n=1:len;x=rand(1,len);%产生随机序列stem(n,x); xlabel(n);ylabel(x(n);grid on;,133,134,例题2-17：用MATLAB求复数序列：,n=-1
26、0:1:10;alpha=-0.1+0.3j;x=exp(alpha*n);subplot(2,2,1);stem(n,real(x);title(实部);xlabel(n);grid on;subplot(2,2,2);stem(n,imag(x);title(虚部);xlabel(n);grid on;subplot(2,2,3);stem(n,abs(x);title(振幅);xlabel(n);grid on;subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x);title(相位);xlabel(n);grid on;,135,136,2.5.2 MATLAB
27、在离散时间系统中的应用,1、数字系统的单位脉冲响应impz函数调用格式：1） 其中t记录取样点矢量，取样点由系统自动选取。b、a分别为差分方程 的系数向量。2）其中用户指定取样点n,当n为标量时，t=0:n-1。不带输出变量的impz将在当前图形窗口利用stem(t,h)绘出脉冲响应。,137,例题2-18:已知系统的差分方程： ，绘出单位脉冲响应。程序：b=0.3 1;a=2 0.5 1;H,T=impz(b,a,50);plot(T,H,.);hold on;plot(T,H);title(脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n);grid on;,138,139,2、数字系
28、统的阶跃响应,对于数字系统的阶跃响应，可以将阶跃信号输入数字系统进行数字滤波，得到滤波后的输出即为阶跃响应式。1） x为输入序列，b,a为系统函数的分子分母系数，y为系统滤波后的输出序列。2）Zi指定输入信号x的初始状态，zf为最终状态矢量，其余同上,140,例题2-19：已经差分方程(1)计算并画出系统的脉冲响应h(n),n=-20,120；(2)计算并画出系统的阶跃响应s(u),n=-20,120；(3)判断根据此h(n)规定的系统是否稳定。,141,解：(1)b=1;a=1,-1,0.9;x=impseq(0,-20,120);n=-20:120;h=filter(b,a,x);stem(n,h);axis(-20,120,-1.1,1.1);xlabel(n);ylabel(h(n);title(脉冲响应);其中产生脉冲信号的函数impseq为：functionx,n=impseq(n0,n1,n2)if(n0n2)|(n1n2) error(必须满足n1=n0=n0;输出结果如图2-35。,144,145,（3）若 ，则系统稳定。从单位脉冲响应图可见，|h(n)|是逐渐减小的。在MATLAB命令行下输入 sum(abs(h)，得到ans =14.8785，为有限值，故系统稳定。,
