1、专题：傅里叶光学 基础Fundamentals of Fourier Optics 1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念 1.2 光波的傅里叶分析 1.3 平面波角谱理论 1.4 透镜的傅里叶变换 1.5 光阿贝成像原理 1.6 光全息术傅里叶光学： 研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。 1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、 一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。常用函数 定义 图形表示 应用阶跃函数 直边（或刀口） 的透过率符号函数孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数 狭缝或矩孔的透 过率1 01ste p ( )
2、020 0xx xx xstep(x)101 0sg n ( ) 0 01 0xxxx 1 1 / 2r e c t ( )0 e l sexxaa 常用函数 定义 图形表示 应用三角 形 函数光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数sinc函数狭缝或矩孔的夫琅禾费衍射图样高斯函数 激光器发出的 高斯光束圆域函数 圆孔的透过率|1 1()0 e l sex xxaa s i n ( / )s i n c( )/x x aa x a2G a us ( ) e xpxxaa220220c ir c ( )1 0 e lsexyrx y r 二、 傅里叶级数的定义 01( ) c os( 2 ) s
3、i n( 2 )2 nnnag x a nfx b nfx 一个周期性函数 g(x) ，周期为 T（频率 f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三角傅里叶级数 :在 -T/2, T/2区间逐项积分：2 2 2 2002 2 2 21( ) c os( 2 ) si n( 2 )22T T T TnnT T T Tnaag x dx dx a nfx dx b nfx dx T 因此有：20 22 ()TTa g x dxT (1)将公式 (1)两端同乘以 cos(2mfx)，并利用三角函数的正交性：0,sin( ) sin( ),
4、for m nm x nx dxfor m n 0,c os( ) c os( ),for m nm x nx dxfor m n si n( ) c os( ) 0 ,m x nx dx for any m and n傅里叶系数逐项积分：22022221()22222( ) c os( 2 ) c os( 2 )2c os( 2 ) c os( 2 ) si n( 2 ) c os( 2 )c os ( 2 )22( ) c os( 2 )TTTTTTnnnmnTnnTTnTag x m fx dx m fx dxa nfx m fx dx b nfx m fx dxaa nfx dx Ta
5、 g x nfx dxT = 0= 0系数： /20 /22 ()TTa g x d xT 直流分量 /2/22 ( ) c os 2Tn Ta g x nfx dxT 余弦分量的幅度 /2/22 ( ) si n 2Tn Tb g x nfx dxT 正弦分量的幅度6用傅里叶级数展开表示矩形周期函数 01( ) c os 2 si n 22 nnnag x a nfx b nfx 周期信号可分解为直流，基波 ( )和各次谐波 ( )的线性组合。0f 0f nf随着三角波数量逐渐的增长，最终会叠加成一个标准的矩形复指数形式的傅里叶级数傅里叶系数 是频率 的函数，称为 频谱函数 。nc/nf n
6、 T nf满足狄里赫利条件的周期函数 g(x)也可以表示为无限多不同频率的复指数函数的线性组合，即指数傅里叶级数形式( ) e xp( 2 )nng x c j nfx 为了确定系数，用 (exp(j2mfx)*)乘两端并积分，得：222 2 ( )()TTj m fx j n m fxnng x e dx c e dx 右端仅 n=m时积分不为零，因此有：2 222 22()1()T j nfxnTT j nfxn Tg x e dx c Tc g x e dxT利用欧拉公式，可以确定指数傅里叶级数系数 cn与三角傅里叶级数系数 an,bn之间的关系： 012 2 2 2012201( )
7、c os( 2 ) si n( 2 )22 2 22 2 2nnnj nfx j nfx j nfx j nfxnnnj nfx j nfxn n n nnnnag x a nfx b nfxa e e e eabja a jb a jba e b e 若令 0021212n n nn n nacc a jbc a jb则有 22012() j nfx j nfxnnnj nfxnng x c c e c ece 指数傅里叶级数 系数 和 三角傅里叶级数 系数 是同一种级数的两种表示方法三、 频谱的概念* 2 21 ()2n n n n nc c c a b a r c ta nnnnba 复
8、函数 : 振幅频谱 + 相位频谱nc周期信号可分解为直流，基波 ( )和各次谐波 ( )的线性组合。0 0nnc 关系曲线称为 幅度频谱图n 关系曲线称为 相位频谱图周期信号频谱具有 离散性、谐波性、收敛性 !将一个系统的输入函数 展开成傅里叶级数 ， 在频率域中分析各谐波的变化 ，最后综合出系统的输出函数 ， 这种处理方法称作 频谱分析方法 。锯齿波及它的振幅频谱图形一个周期变化的 物理量既可以在空间 （ 或时间 ） 域 x 中用 描述 ，也可以在空间 （ 或时间 ） 频率域 中用 描述 ， 两者是等效的 。( 四、 傅里叶变换对非周期函数也可以作傅里叶分析 ,只是其频率取值不是离散而是连续
9、的。1. 二维傅里叶变换 ( , )g x y dx dy 1( , ) ( , ) e x p 2 ( ) ( , )X Y X Y X Y X Yg x y G f f j f x f y d f d f F G f f 其中 ( , ) ( , ) e x p 2 ( ) ( , )X Y X YG f f g x y j f x f y d x d y F g x y 是函数 的 傅里叶变换 (或称为傅里叶频谱 )，的作用类似于傅里叶系数 ，表示各频率成分的权重因子，描述了各复指数分量的相对幅值和相移( , )XYG f f ( , )g x y ( , )XYG f fnc是频谱函数
10、 的 傅里叶逆变换 。( , )XYG f f( , )g x y2. 广义傅里叶变换若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限 ， 对序列中每一个函数进行变换 ， 组成一个新的变换式序列 ， 这个新序列的极限就是原来函数的 广义傅里叶变换 。非周期函数 在整个无限 平面上满足狄里赫利条件，而且存在，则有(, 2. 广义傅里叶变换若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限 ， 对序列中每一个函数进行变换 ， 组成一个新的变换式序列 ， 这个新序列的极限就是原来函数的 广义傅里叶变换 。例如 ：对于函数 g(x,y)=1， 显然它不符合傅里叶变换存在条件 ， 但是可以把它定义为矩形函
11、数序列的极限( , ) l im ( ) ( )xyg x y re c t re c t 矩形函数的傅里叶变换为 2( ) ( ) = sinc sincxyxyF re c t re c t f f 即 2, = l im sinc sinc ,x y x yF g x y f f f f 根据广义变换定义 1 = ,xyF f f一、单色光波场：单色光波场中某点 P(x,y,z)在 t时刻的光振动 E(x,y,z,t)可表示为其中， v是光波的时间频率 ； A(x,y,z)和 (x,y,z)分别是 P点光振动的 振幅和 初相位 。 根据欧拉公式 ，可将该波函数表示为复指数函数： 1.2
12、光波的傅里叶分析其中复振幅 为：二、平面波沿 k方向传播的单色平面波，在光场中P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为：其中（ 1） a是 常量振幅 ；（ 2） cos、 cos、 cos 为传播方向的方向余弦，而且有2 2 2c o s c o s c o s 1 , , e xp c os c os c osU x y z a jk x y z 2 , , , , , , j v t x y zE x y z t A x y z e , , , , , c o s 2 , ,E x y z t A x y z v t x y z ( , , )( , , ) , , j x y zU x
13、y A x y z e 22, , e xp c os c os c ose xp 1 c os c os e xp c os c osU x y z a jk x y za jk z jk x y 改写为引入复数常量 A22e xp 1 c os c osA a jk z xy平面上复振幅分布可以表示为 , e xp c os c osU x y A jk x y等位相线的方程 c os c osx y C , e xp c osU x y A jk x 三、平面波的空间频率 首先研究 传播矢量位于 x0z平面 的简单情况，此时 cos=0,（ 1） xy平面上复振幅分布 为（ 2） xy平
14、面内， 等位相线是一组垂直于 x轴且等间距平行线 。复振幅在 xy平面周期分布的 空间周期可以用位相差 2的两相邻等位相线的间隔 X表示：1 c o sxf X1 0yf Y , e x p 2 xU x y A j f xc o s 2kX 2c o s c o sX k空间周期的倒数即为 空间频率xy平面上的复振幅分布 , e xp c os c osU x y A jk x yxy平面内等相位线是一组斜平行线。则沿 x和 y方向的 空间频率 为1 c os1 c osxyfXfY , e x p c o s c o sU x y A j k x y（ 3）光沿 Z方向传播复振幅（ 4）光
15、沿任意方向传播2 2 2 221x y zf f f f 空间频率复振幅1 c os1 c osxyfXfY , , e xp 2 x y zU x y z A j f x f y f z , , e x p c o s c o s c o sU x y z A j k x y z 2 2 2c o s c o s c o s 1 , e xp 2 xyU x y A j f x f ycoszf四 、复振幅分布的空间频谱（角谱）利用 傅里叶变换 对位于单色光场中的 xy平面上的复振幅分布进行傅里叶分析，有： , , e xp 2, , e xp 2x y x y x yx y x yU x
16、y A f f j f x f y df dfA f f U x y j f x f y dx dy 其中， c o s c o sxyff复振幅分布可以看作为 不同方向传播 的 单色平面波 分量的线性叠加 , A(x,y)则为复振幅分布 U(x,y)的 空间频谱 。 e xp 2 xyj f x f y代表一个传播方向余弦为 (cos =x、 cos= y)的 单色平面波 。平面上的复振幅分布 U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是 A(x,y)，而且其逆变换为： , e xp 2 xyU x y A j f x f y平面波 c o s c o s c o
17、s c o s, , e x p 2A U x y j x y d x d y 此时，称 A(cos/， cos/)为 xy平面上 复振幅分布的角谱 。根据傅里叶逆变换可以看出， A(x,y)也可用方向余弦表示引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：(1)单色光波场中某一平面上的场分布可看作 不同方向传播 的单色平面波 的叠加 ;(2) 在叠加时各平面波成分有自己的 振幅 和常量 相位 ，它们的值分别取决于 角谱的模 和 幅角 。 1.3 平面波角谱理论一、 角谱的定义单色平面波入射到（ x,y)平面上，并有沿着 z方向传播的分量，令 z=0处，平面光波为 U(x,y,0)采用傅里
18、叶光学变换E(x,y,0)y物场 像场x yxzE(x,y,z) , , 0 , , 0 e x p 2, , 0 , , 0 e x p 2x y x y x yx y x yU x y A f f j f x f y d f d fA f f U x y j f x f y d x d y U(x,y,0)角谱0c o s c o s 2( , ; 0 ) ( , , 0 ) e x p ( c o s c o s ) A U x y i x y d x d y 二、 角谱的传播U(x,y,0)y物场 像场x yxzU(x,y,z)2 2 2c o s c o s c o s 1 U(x,
19、y,z)角谱逆变换U(x,y,z)满足亥姆霍兹方程coszf1 c os1 c osxyfXfY , , e x p c o s c o s c o sU x y z A j k x y z 22 0U k U 0c o s c o s 2( , ; 0 ) ( , , 0 ) e x p ( c o s c o s ) A U x y i x y d x d y c os c os 2( , ; ) ( , , ) e xp ( c os c os ) A z U x y z i x y dx dy c o s c o s 2 c o s c o s( , , ) ( , , ) e x p
20、 ( c o s c o s ) U x y z A z i x y d d 220c os c os c os c os 2( , , ) ( , , 0) e xp ( 1 c os c os ) A z A i z U(x,y,0)角谱2 2 2 22c o s c o s c o s c o s( , ) ( 1 c o s c o s ) ( , ) 0d A k Adz 讨论：(1) 当 时， 1c o sc o s 22 22 c o sc o s1 是实数。说明 : 经过 z 距离的传播 , 光场中各个平面波分量的 振幅不变 ，只是改变了各自的相对相位 . c o s / ;
21、c o s / ; c o s / ,X Y Zf f f 2 2 2 21 1z X Yf f f yx1/fY1/fX220c os c os c os c os 2( , , ) ( , , 0) e xp ( 1 c os c os ) A z A i z 2221()XYff (2) 当 时 ，22c o s c o s 1 c o s 0 光场在 z 轴方向上的净能流为 0，对角谱传播无贡献。2221()XYff 2 2 2 221x y zf f f f (2) 当 时 ， 1c o sc o s 22 1c o sc o sc o sc o s1 2222 j 220c os
22、c os c os c os, ; , ; 0 e xp c os c os 1A z A k z 随 z 的增大 , 迅速衰减，在一个波长的距离几乎衰减为 0。这些方向上的波动分量称为 倏逝波 。2221()XYff 220c os c os c os c os 2( , , ) ( , , 0) e xp ( 1 c os c os ) A z A i z 物体电磁波 ( )近场 ( ) )倏逝波倏逝波 ： 局限于物体表面且急剧衰减 。其 性质与 物体的表面结构 ， 材料紧密相关 （ 非辐射场 ） 220c os c os c os c os, , e xp 1 c os c osA A
23、jk z 0, , ,x y x y x yA f f A f f H f f输出频谱 输入频谱 传递函数系统在频域的效应由传递函数表征： 22 22201, e x p 1, 0xy x y x yxyxyA f f jk z f f f fH f fA f f o th e rs 光波的传播现象可看作一个 空间滤波器 ，它具有有限的空间带宽（ 低通滤波器 ）：在频率平面上半径为 1/的圆形区域内，对各频率分量的振幅没有影响， 频率大于1/，被截止 ；在圆形区域之外，传递函数为零。从空域看，比 波长 小的精细结构 信息，或者 说空间频率 高于 1/的信息 不能沿 z方向向前传播dyx1/fY
24、1/fXds处发出子波对 P点的贡献正比于：P0处面元大小 dsP0处的光场振幅分布函数 A(Q) i k r terP0处发出的子波到达 P点的光振幅 倾斜因子四 、 惠更斯菲涅耳原理波面上每一点都可作为 次级球面波 的波源，下一时刻新波面形状由次波波面的包络面决定。四、惠更斯 菲涅耳原理 0 e x p jk rU P c U P K d sr 0 e x p1 jk rU P U P K d Sjr 令 01,K jk reh P Pjr则有 00 ,U P U P h P P d S 若孔径在 x0y0平面，而观察平面在 xy平面，上式可进一步表示为 0 0 0 0 0 0, , ,
25、; ,U x y U x y h x y x y d x d y 这是描述线性系统输入 输出关系的叠加积分； h(x,y,x0,y0)为线性系统的 脉冲响应函数 ， 光波的传播现象可以看作是一个线性系统 ！ pdE (p)rP0dSS (波 面 )n基尔霍夫衍射理论在徬轴近似下， ，则上述线性系统的 脉冲响应函数 简化为 K1 2220000 22200e x p11, ; ,j k r jk z x x y yeh x y x yj r j z x x y y 00,h x x y y 20202 )()( yyxxzr 若 z远大于孔径 以及观察区域的最大线度，即 22222 0000 1
26、11 22x x y yr z x x y y z zz 称之为 菲涅耳近似 。此时脉冲响应简化为 220 0 0 01, e xp e xp 2kh x x y y jk z j x x y yj z z 把上述简化的脉冲响应函数代入叠加积分式，则得到卷积形式表达的菲涅耳衍射方程： 220 0 0 0 0 01, e x p , e x p 2 kU x y jk z U x y j x x y y d x d yj z z 是运用 惠更斯菲涅尔原理 得到的 菲涅耳衍射公式 。 2223 00 m a x4z x x y y 对 r作二项式展开时可略去次高阶项 (泰勒展开 )，即五、基于平面
27、波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题)c o s()c o s()c o sc o s(e x p ),c o s,c o s(),( ddyxjzAzyxU xyz平面的光场分布按其角谱展开： 220c os c os c os c os( , , ) ( , , 0) e xp 1 c os c osA z A jk z xyz平面的光场分布的角谱与 x0y00平面角谱的关系（角谱传播）yxyxyxyx dfdfyfxfjffzjffAzyxU )(e x p )e x p (),(),( 综合得到 （ 注意 fx=cos/, fy=cos/ ） : 0 0 0 0
28、 0 0 0( , , 0) ( , , 0) e xp 2 ( ) x y x yA f f U x y j f x f y dx dy 传递函数 : H(cos/, cos/)从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题yxyxyxdfdfdydxyyfxxfjffzjyxUzyxU0000222200)()(2e x p )12e x p ()0,(),( xyz平面的光场分布 与 x0y00平面光场分布 的关系：即为普遍的衍射公式 。使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式菲涅耳衍射公式近似条件：2 m a x02 m a x0 yxz 孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度2m a x2m a x yxz 只对轴附近的一个小区域内进行观察)(2111 2222222 yxyx ffff 适合于菲涅耳衍射区1c o s,1c o s 00 z yyfz xxf yx
