1、09光 信 息 量 子 力 学 习 题 集一 、 填 空 题1 设 电 子 能 量 为 4电 子 伏 ， 其 德 布 罗 意 波 长 为 （ 6.125） 。2 索 末 菲 的 量 子 化 条 件 为 （ ） ， 应 用 这 量 子 化 条 件 求 得 一维 谐 振 子 的 能 级 （ ） 。3 德 布 罗 意 假 说 的 正 确 性 ， 在 1927年 为 戴 维 孙 和 革 末 所 做的 （ 电 ） 子 衍 射 实 验 所 证 实 ， 德 布 罗 意 关 系 （ 公 式 ）为 （ ） 和 （ ） 。4 三 维 空 间 自 由 粒 子 的 归 一 化 波 函 数 为 =（ ） ， （ ） 。
2、5 动 量 算 符 的 归 一 化 本 征 态 （ ） ， （ ） 。6 t=0时 体 系 的 状 态 为 ， 其 中 为 一 维 线 性 谐 振 子 的 定 态 波 函数 ， 则 （ ） 。7 按 照 量 子 力 学 理 论 ， 微 观 粒 子 的 几 率 密 度 =（ ） ， 几 率流 密 度 =（ ） 。8 设 描 写 粒 子 的 状 态 ， 是 （ 粒 子 的 几 率 密 度 ） ， 在 中 的平 均 值 为 =（ ） 。9 波 函 数 和 是 描 写 （ 同 一 ） 状 态 ， 中 的 称 为 （ 相 因 子） ， 不 影 响 波 函 数 的 归 一 化 ， 因 为 （ ） 。10
3、定 态 是 指 （ 能 量 具 有 确 定 值 ） 的 状 态 ， 束 缚 态 是 指（ 无 穷 远 处 波 函 数 为 零 ） 的 状 态 。11 是 定 态 的 条 件 是 （ ） ， 这 时 几 率 密 度 和 （ 几 率 密 度 ）都 与 时 间 无 关 。12 （ 粒 子 在 能 量 小 于 势 垒 高 度 时 仍 能 贯 穿 势 垒 的 现 象 ）称 为 隧 道 效 应 。13 （ 无 穷 远 处 波 函 数 为 零 ） 的 状 态 称 为 束 缚 态 ， 其 能 量一 般 为 （ 分 立 ） 谱 。14 3 t=0时 体 系 的 状 态 为 ， 其 中 为 一 维 线 性 谐 振
4、 子 的 定 态波 函 数 ， 则 （ ） 。15 粒 子 处 在 的 一 维 无 限 深 势 阱 中 ， 第 一 激 发 态 的 能 量 为 （） ， 第 一 激 发 态 的 波 函 数 为 （ ） 。16 基 态 是 指 （ 能 量 最 低 ） 的 状 态 ， 写 出 一 维 线 性 谐 振 子的 基 态 波 函 数 ： （ ） 。17 一 维 线 性 谐 振 子 的 第 一 激 发 态 的 能 量 为 （ ） 、 第 一 激 发态 的 波 函 数 为 （ ） 。18 （ 对 应 于 同 一 本 征 值 的 本 征 函 数 的 数 目 ） 称 为 简 并度 ， 不 考 虑 电 子 自 旋
5、时 ， 氢 原 子 的 第 n个 能 级 的 简 并 度 为（ n2 ） 。19 一 维 无 限 深 势 阱 第 n个 能 级 的 简 并 度 为 （ 1 ） ， 不 考 虑电 子 自 旋 时 ， 氢 原 子 的 第 n个 能 级 的 简 并 度 为 （ n2 ） 。20 一 维 线 性 谐 振 子 第 n个 能 级 的 简 并 度 为 （ 1 ） ， 考 虑 电子 自 旋 以 后 ， 氢 原 子 的 第 n个 能 级 的 简 并 度 为 （ 2n2） 。21 氢 原 子 的 状 态 为 ， 角 动 量 平 方 是 （ ） 、 角 动 量 分 量 是 （） 。22 厄 密 算 符 的 定 义
6、是 ： 对 于 两 任 意 函 数 和 , 等 式 （ ） 成立 。23 力 学 量 算 符 的 本 征 值 必 为 （ 实 数 ） ， 力 学 量 算 符 的 属于 两 个 不 同 本 征 值 的 本 征 态 必 （ 相 互 正 交 ） 。24 力 学 量 算 符 的 属 于 （ 不 同 本 征 值 ） 的 本 征 函 数 必 相 互（ 正 交 ） 。25 量 子 力 学 中 ， 力 学 量 算 符 都 是 （ 厄 米 ） 算 符 ， 力 学 量算 符 的 本 征 函 数 组 成 （ 完 全 ） 系 。26 算 符 在 其 自 身 表 象 中 的 矩 阵 为 （ 对 角 ） 矩 阵 ， 例
7、如 在表 象 中 =（ ） 。27 如 果 =0， 则 存 在 组 成 （ 完 全 ） 系 的 共 同 本 征 态 ， 的共 同 本 征 态 是 （ ） 。28 如 果 存 在 有 组 成 （ 完 全 ） 系 的 共 同 本 征 态 ， 则 =（ 0） ， 的 共 同 本 征 态 是 （ ） 。29 对 易 子 （ ） ， （ ） 。30 （ ） ， （ ） ， （ ） 。31 （ ） 。 （ ） ， （ 0 ） 。32 能 量 与 时 间 的 测 不 准 关 系 是 （ ） ， 和 的 测 不 准 关 系 是 （） 。33 在 一 维 情 况 下 ， 若 粒 子 处 于 状 态 中 ， 则
8、在 动 量 表 象 中 的波 函 数 为 （ ） 。34 一 维 线 性 谐 振 子 处 在 的 本 征 态 的 迭 加 态 中 ， 则 在 表 象 中一 维 线 性 谐 振 子 的 波 函 数 为 =（ （ 0， 0， 3/5，0， -4/5， 0, ） ） 。35 斯 特 恩 革 拉 赫 证 实 电 子 具 有 （ 自 旋 ） 角 动 量 ， 它 在任 何 方 向 上 投 影 只 能 取 两 个 值 （ ） 和 （ ） 。36 =（ ） ， =（ ） 。37 =（ 0 ） ， =（ 0 ） 。38 在 表 象 中 ， 粒 子 处 在 自 旋 态 中 ， =（ ） 。39 在 表 象 中 ，
9、 粒 子 处 在 自 旋 态 中 ， =（ ） 。40 在 表 象 中 ， ， 则 在 状 态 中 ， =（ ） 。41 全 同 性 原 理 的 内 容 是 ： （ 在 全 同 粒 子 组 成 的 体 系 中 ， 两全 同 粒 子 相 互 代 换 不 引 起 物 理 状 态 的 改 变 ） 。42 泡 里 原 理 的 内 容 是 ： （ 不 能 有 两 个 或 两 个 以 上 的 费 密 子处 于 同 一 状 态 ） 。43 描 写 电 子 体 系 的 波 函 数 只 能 是 （ 反 对 称 ） 波 函数 ， 而 电 子 体 系 的 自 旋 波 函 数 则 可 以 是 （ 对 称 ） 或 者（
10、 反 对 称 ） 的 。44 电 子 是 （ 费 密 ） 子 ， 服 从 （ 费 密 -狄 拉 克 ） 统 计 ， 描写 电 子 体 系 的 波 函 数 只 能 是 （ 反 对 称 ） 波 函 数 。45 描 写 玻 色 子 体 系 的 波 函 数 只 能 是 （ 对 称 ） 波 函 数 ， 而玻 色 子 体 系 的 自 旋 波 函 数 则 可 以 是 （ 对 称 ） 或 者 （ 反对 称 ） 的 。46 描 写 费 密 子 体 系 的 波 函 数 只 能 是 （ 反 对 称 ） 波 函 数 ，而 费 密 子 体 系 的 自 旋 波 函 数 则 可 以 是 （ 对 称 ） 或 者 （反 对 称
11、 ） 的 。47 光 子 是 （ 玻 色 ） 子 ， 服 从 （ 玻 色 -爱 因 斯 坦 ） 统 计 ，描 写 光 子 体 系 的 波 函 数 只 能 是 （ 对 称 ） 波 函 数 。 二 、 计 算 、 证 明 题1 粒 子 在 一 维 势 场 中 运 动 ， 试 从 薛 定 谔 方 程 出 发 求 出 粒 子 的 定 态 能级 和 归 一 化 波 函 数 .解 ： 当 当 令 得 ， 2 一 粒 子 在 一 维 势 场 中 运 动 ， 试 求 粒 子 的 能 级 和 归 一 化 定 态 波 函 数（ 准 确 解 ） 。解 ：令 则 3 一 粒 子 在 硬 壁 球 形 空 腔 中 运 动
12、 ， 势 能 为试 从 薛 定 谔 方 程 出 发 求 粒 子 在 态 中 的 能 级 和 定 态 波 函 数 （ 不 必 归 一化 ） 。 提 示 ： 在 态 中 解 ：当 当 令 得 有 限 ， 4 粒 子 在 一 维 势 场 中 运 动 ， 试 从 薛 定 谔 方 程 出 发 求 出 粒 子 的 定 态能 级 和 归 一 化 波 函 数 。解 ： 1 当 当 令 得 ， 5 利 用 力 学 量 算 符 本 征 函 数 的 正 交 归 一 完 全 性 ， 证 明 式 中 ， 为 本 征 值 。解 ：= = 6 求 证 ： 如 果 算 符 和 有 一 组 共 同 本 征 态 ， 而 且 组
13、成 完 全 系 ， 则 算 符和 对 易 。解 ： 设 任 一 波 函 数 可 展 开 为 =. 7 求 证 ： 力 学 量 算 符 的 属 于 两 个 不 同 本 征 值 的 本 征 态 相 互 正 交 。解 ： 设 当 时 ， . 代 入 得 . . 8 证 明 力 学 量 算 符 的 本 征 值 必 为 实 数 。解 ：设 在 中 令 得 9 证 明 ： 力 学 量 在 任 意 态 中 的 平 均 值 为 实 数 。解 ：设 已 归 一 化 ， 则 . 10 粒 子 处 在 的 一 维 无 限 深 势 阱 中 的 基 态 ， 设 t=0时 阱 壁 突 然 运 动到 ， 求 此 时 粒 子
14、 处 于 基 态 的 几 率 。 解 ： = 11 设 粒 子 的 状 态 为 ， 求 粒 子 动 量 和 动 能 的 可 能 值 及 相 应 的 几 率 。解 ：由 得 ， （ ）动 量 的 可 能 值 为 ， 对 应 几 率 为 动 能 的 可 能 值 为 ， 对 应 几 率 为 12 求 证 ： .证 明 ： 13 求 证 ： =.解 ：= 3分= = = = 14 求 证 ： =, .解 ：= = = 15 求 的 本 征 值 和 归 一 化 本 征 态 。解 ： 16 在 表 象 中 ， (1)求 出 的 本 征 值 和 本 征 态 ; (2)求 在 态 中 测 得 的 几率 。 解
15、 ：（ 1） 对 应 的 本 征 为 ： ， （ 2） 17 设 ， =1， 为 的 本 征 态 ， 对 应 的 本 征 值 为 。 求 证 ： 也 是 的 本 征态 ， 并 求 出 对 应 的 本 征 值 。解 ： ， 所 以 ， 也 是 的 本 征 态 ， 对 应 的 本 征 值 为 （ ） 18 一 维 线 性 谐 振 子 处 于 基 态 ， 求 该 谐 振 子 的 动 量 处 于 内 的 几 率 。（ 提 示 ： ）解 ：= = 内 的 几 率 为 19 一 维 线 性 谐 振 子 处 于 基 态 ， 求 该 谐 振 子 在 动 量 表 象 中 的 波 函 数 。 （提 示 ： ）解
16、： = = = 20. 在 表 象 中 ， (1)求 出 的 本 征 值 和 本 征 态 ; (2)求 在 态 中 测 得 的 几率 。 解 ：（ 1） 对 应 的 本 征 为 ： ， （ 2） 21 设 氢 原 子 的 状 态 为 ， 求 ：（ 1） 能 量 ， 的 可 能 值 和 相 应 几 率 ；（ 2） 能 量 ， 的 平 均 值 。解 ：由 得 ， . . 能 量 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ;有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; = 22 设 氢 原 子 的 状 态
17、为，求 ： （ 1） 氢 原 子 能 量 、 角 动 量 平 方 、 角 动 量 分 量 的 可 能 值 和 相 应 几率 ； （ 2） 氢 原 子 能 量 、 角 动 量 平 方 、 角 动 量 分 量 的 平 均 值 。解 ： 由 得 ， . (1)能 量 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ;有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; (2) = 23 设 氢 原 子 的 状 态 为 ， 求 ：（ 1） 能 量 E， 轨 道 角 动 量 z分 量 自 旋 角 动 量 z分 量 的 可 能
18、 值 和 相 应 几率 ；（ 2） 能 量 E， 轨 道 角 动 量 z分 量 自 旋 角 动 量 z分 量 的 平 均 值 。解 ：. (1)能 量 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ;(2) = 24 设 氢 原 子 的 状 态 为 ， 求 ：（ 1） 能 量 ， 的 可 能 值 和 相 应 几 率 ；（ 2） 能 量 ， 的 平 均 值 。由 得 ， . . (1)能 量 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ;有 两 种
19、 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; 有 两 种 可 能 值 , ,相 应 几 率 分 别 为 ; (2) = 25 一 量 子 体 系 没 有 受 微 扰 作 用 时 有 三 个 非 简 并 能 级 ， 假 设 微 扰 矩阵 为 ： ， 试 用 微 扰 论 计 算 体 系 的 能 级 至 二 级 修 正 .解 ：, (n=1,2,3) 26 一 量 子 体 系 没 有 受 微 扰 作 用 时 有 三 个 非 简 并 能 级 ， 假 设 微 扰 矩阵 为 ： ， 试 用 微 扰 论 计 算 体 系 的 能 级 至 二 级 修 正 。解 ：, (n=1,2,3) 27 一 量 子
20、体 系 没 有 受 微 扰 作 用 时 有 三 个 非 简 并 能 级 ， 假 设 微 扰 矩阵 为 ： ， 试 用 微 扰 论 计 算 体 系 的 能 级 至 二 级 修 正 。解 ：, (n=1,2,3) 28 一 量 子 体 系 没 有 受 微 扰 作 用 时 有 三 个 非 简 并 能 级 ， 假 设 微 扰 矩阵 为 ： ， 试 用 微 扰 论 计 算 体 系 的 能 级 至 二 级 修 正 。解 ：, (n=1,2,3) 29 在 一 维 无 限 深 势 阱 中 运 动 的 粒 子 ， 受 到 微 扰 作 用 后 ， 势 能 为（ 为 小 常 量 ） ， 试 用 微 扰 论 计 算 粒 子 的 能 级 至 一 级 修 正 。解 ：
