1、等差数列的性质, -12，_,0,等差数列的性质：,1、等差中项在下列两数之间插入一个什么数，使三数成等差数列。它和前后两数之间有什么关系？, 2，_, 4, -1，_, 5,3,-6,2,等差中项的定义：如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项：,或 2Aa+b,注：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.,等差数列： a1，a2，a3，an-1，an，an+1,如：1，3，5，7，9，11，,253+7； 297+11 。,思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.,设数技巧 已知三个数成等差 数列，且和已知
2、时常利用对称性设三数为：a-d , a , a+d 四个数怎么设？,（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，,等差数列的图象1,（2）数列：7，4，1，-2，,等差数列的图象2,（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，,等差数列的图象3,例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？,分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看anan-1(n2)是不是一个与n无关的常数就行了,解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n2) anan-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)
3、=p 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p 在通项公式中令n=1，得a1=p+q, 所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质,P382，3,在等差数列,中，,为公差，若,且,求证：,证明： 设首项为,，则,例2.,等差数列的性质,P3911,am+an=ap+aq,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】3.更一般的情形，an= ，d=,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+
4、(n - m) d,b为a、c 的等差中项,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,等差数列的性质,P398，10,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,例2 .在等差数列an中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+
5、a20=10,分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15,分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187 ， 解 、 得,或,d= _2或2, 从而a14= _3或31,例题分析,1.等差数列an的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等于（ )A . -1 B . 1 C .-2 D. 2,B,2. 在数列an中a1=1，an= an+1+4，则a10=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1an=4,-35,3. 在等差数列a
6、n中(1) 若a59=70，a80=112，求a101；(2) 若ap= q，aq= p ( pq )，求ap+q,d=2,a101=154,d= -1,ap+q =0,课堂练习,300 500,4. 在等差数列an中, a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？,d=5,提示：,an=78+5n,n=45，46，84,40,2.已知an为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?,1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n.,3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数.,d= 4,n=72,a 3= a 10 +(
7、3-10)d,a 3=27,设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,研究性问题,练习 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.,分析：,解法一: 用an题中的等差数列，由已知条件，有a1=33 ，a12=110 ，n=12又a12=a1+(121)d 即 1103311d所以 d=7因此，a2=33+7=40 a3=40+47 a11=96+7=103答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96c
8、m、103cm.,am+an=ap+aq,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？,【说明】3.更一般的情形，an= ，d=,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项,2b= a+c,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q,注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；,等差数列的性质,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,前10
9、0个自然数的和：1+2+3+100= ；前n个奇数的和：1+3+5+(2n-1)= ；前n个偶数的和：2+4+6+2n= .,思考题：如何求下列和？,n2,n(n+1),二、学习新课,等差数列前n 项和Sn = = .,=an2+bn,a、b 为常数,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1),Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1 (2),(1)+ (2)得,2Sn=n(a1+ an),【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；,等差数列的前n项和公式类同于 ；,an为等差数列 ，这是一个关于 的没有 的“ ”,倒序相加法,梯形的面积公式,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（ 注意 a 还可以是 0）,例1 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.,等差数列an的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：,三、课堂练习,95,500,100,2,2,15,0.7,604.5,例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最 上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,
