1、2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学 试 题 2017.5注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡0.5的指定位置3答题时，必须用 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作0.5答一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔一、填空题：本大题共 14 小题
2、，每小题 5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合 ， ，则 13Ax2BxAB2已知 i 为虚数单位，复数 ， ，且 ，则 1izy()R2iz12izy 3下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布若利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为 x数据 12.5,)15.,8)18.5,2)21.5,4)频数 2 1 3 44已知直线 为双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的230xy21(0,)xyab离心率的值为 5据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前 n 个自然数平方和的一般公式右图是一个求前 n 个自然数平方和的算法流程
3、图，若输入 的值为 1，则输出 的值为 xS6已知 是集合 所表示的区域， 是集合12(,)y2所表示的区域，向区域 内随机的投一个点，(,)xy 1则该点落在区域 内的概率为 27已知等比数列 的前 n 项和为 ，公比 ，nanS3q，则 345S38已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形，侧面对角线的长为 ，则该直四棱柱的侧面23积为 9已知 是第二象限角，且 ， ，则 3sin10tan()tan10已知直线 ： ，圆 ： ，当直线 被圆 所截l2mxyC240xylC得的弦长最短时，实数 11在 中，角 对边分别是 ，若满足 ，则角 的大ABC,abccos=23bAaB小为 12在 中
4、， ， ， ， 是ABC 所在平面内一点，若A1BtACtP，则PBC 面积的最小值为 4|BAP13已知函数 若函数 有三个零点，则实数 b 的2,0()3xf()3gxfxb开 始结 束 是 否5S2x0S输入 x1输出取值范围为 14已知 均为正数，且 ，则 的最小值为 ,ab20ab2214ab二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）已知向量 , m(3cos1)xn2(si,co)x（1）当 时，求 的值；x（2）若 ，且 ，求 的值0,4n312cosx16 （本小题满分 14
5、 分）如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 ACD，E，F，G 分别为 AB，AD，AC 的中点， ，ACB90ACD（1）求证：AB平面 EDC；（2）若 P 为 FG 上任一点，证明 EP平面 BCD17 （本小题满分 14 分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单wx位：百元）满足如下关系： ，且投入的肥料费用不超过 5 百元此外，341x还需要投入其他成本（如施肥的人工费等） 百元已知这种水蜜桃的市场售价为216 元/千克（即 16 百元/百千克） ，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 （单位：百元） ()LxPGFEDCBA
6、（1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域；Lx（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18 （本小题满分 16 分）已知函数 ，a，b 为实数， ， e 为自然对数的底数，3()lnfxx0be2.718（1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值；0a1()fx()ga()（2）若关于 x 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围()=0fx1e， ab19 （本小题满分 16 分）已知椭圆 的左焦点为 ，左准线方程为 2:1(0)xyCab(1,0)F2x（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知直线 交椭圆 于 ， 两lAB点若直线 经过
7、椭圆 的左焦点 ，lCF交 轴于点 ，且满足 ，yP求证： 为定值；BF若 A，B 两点满足 （O 为AB坐标原点） ，求AOB 面积的取值范围20 （本小题满分 16 分）已知数列 满足 ,其中 , , 为非零常数na2114,nna*Nn（1）若 ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；3,8n na（2）若数列 是公差不等于零的等差数列nay xPFBAO求实数 的值；,数列 的前 n 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排nanSnSn列组成四项子数列试问：是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所1有项之和恰好为 2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若
8、不存在，请说明理由2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（附加）试题 2017.5注意事项：1本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第 21 题有 4 个小题供选做，每位考生在 4 个选做题中选答 2 题，如多答，则按选做题中的前 2 题计分第 22，23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试用时 30 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的0.5指定位置3答题时，必须用 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答0.5一律无效4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5请保持答题卡卡
9、面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 21 【选做题】本题包括 ， ， ， 四小题，每小题 10 分. 请选定其中两题，并在ABCD相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于 两点， 于点 ，DEOEO,ABDCOB且 ，求证： 2B23CBB （选修 42：矩阵与变换）A BCDOEO已知矩阵 的一个特征值 及对应的特征向量 M13ab1e1求矩阵 的逆矩阵C （选修 44：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，以 O 为极点，x 轴的正
10、半轴为极轴，取相同的单位长度，xy建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 为参数)，1C32cos(0,2iny，曲线 的极坐标方程为 （ ） 若曲线 与曲线 有且仅有一个2 sin()3aR1C2公共点，求实数 的值aD.（选修 45：不等式选讲）已知 为正实数，求证： ,abc22bcabc【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）已知袋中装有大小相同的 2 个白球、2 个红球和 1 个黄球一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是 0 分、1 分和 2 分，每一局
11、从袋中一次性取出三个球，将 3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中当出现第 局n得 分（ ）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏n*N也结束 （1）求在一局游戏中得 3 分的概率；（2）求游戏结束时局数 的分布列和数学期望 X()EX23 （本小题满分 10 分） 已知 ，01()()(1)(1)nnknnnn nfxCxCxCx 其中 *,RNxnkn，（1）试求 ， ， 的值；1()f2fx3()f（2）试猜测 关于 n 的表达式，并证明你的结论nf2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案 2017.5一、填空题
12、1 21 319.7 4 x 213514 6. 7 8 34169 10-1 11 12 7213 147 (,)(,0二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15解：（1）当 时， ， ， 4 分3xm3(,1)2n31(,)24所以 6 分n14（2） 2cosincsxx=， 8 分311in()262若 ，则 ，即 ，mnsin()362x 3sin()6x因为 ，所以 ，所以 ， 10 分0,4xco2则 12 分31cos2()cos(2)sin()666xxx 14 分3116 （1）因为平面 ABC平面 ACD， ，即 CDAC ，90ACD平面 ABC 平面 ACD=
13、AC，CD 平面 ACD，所以 CD平面 ABC， 3 分又 AB 平面 ABC，所以 CDAB， 4 分因为 ，E 为 AB 的中点，所以 CEAB， 6 分ACB又 ，CD 平面 EDC，CE 平面 EDC，D所以 AB平面 EDC 7分（2）连 EF， EG，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EFBD ，又 平面 BCD， 平面 BCD，BEF所以 EF平面 BCD， 10 分同理可证 EG平面 BCD，且 EF EG=E，EF 平面 BCD，EG 平面 BCD，所以平面 EFG平面 BCD， 12 分又 P 为 FG 上任一点，所以 EP 平面 EFG，所以 EP平面 B
14、CD14 分17解：（1） （ ） 4348()1642631Lxxx05分（2）法一： 8()7xx8 分4672314当且仅当 时，即 时取等号10 分81xx故 12 分max43L答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元14 分法二： ，由 得， 7 分2810Lx3x故当 时， ， 在 上单调递增；0,3x,当 时， ， 在 上单调递减；10 分5故 12 分max4L答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植该果树获得的最大利润是 4300 元14 分18解：（1）当 时，函数 ，1b3()lnfxax则 ， 2 分32()fx令 ，得 ，因为
15、 时， ，0f3030x3(0,)a3a3(,)a()f0 +极小值所以 ， 4 分33()lnln()3aaagf令 ，ltxx则 ，令 ，得 ，()lnt()0t1x且当 时， 有最大值 1，1xtx所以 的最大值为 1（表格略） ，(分段写单调性即可) ，此时 6 分()ga 3a（2）由题意得，方程 在区间 上有两个不同实数解，3ln0axb(1e，所以 在区间 上有两个不同的实数解，3lnxb(1e，即函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，9 分1y3)lnxm因为 ，令 ，得 ，2(3l)n)xm(03e3(1,e3 3(,()x0 +3e所以当 时， ，14 分3(1e)， (
16、)3e,)mx当 时， ，x（ ， ,所以 满足的关系式为 ，即 的取值范围为 16 分,ab3eab 3e（ ，19解：（1）由题设知 ， ，即 ，1 分222c2ab代入椭圆 得到 ，则 ， ，2 分2(,)C21b1 3 分2:1xCy（2）由题设知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，则 l l(1)ykx(0,)Pk设 ，直线 代入椭圆得 ，整理得，12(,)(,)AxyBl22x， 5 分2240kxk121224,kkx由 ， 知， ， 7 分PF12,x （定值） 9 分2121 2244411kxxk当直线 分别与坐标轴重合时，易知AOB 的面积 ，10 分,OAB 2S当直
17、线 的斜率均存在且不为零时，设 ，1:,:OAykxByxk设 ，将 代入椭圆 得到 ，12(,)(,)xyykxC22 ，同理 ， 12 分221k2,kAOB 的面积 13 分221OABS令 ， ，21,tk2tt令 ，则 15 分(0,)ut 211,394Suu综上所述， 16 分,320解：（1）当 时， ，,82138(32)32nnnaaa 2 分(1)nna又 ，不然 ，这与 矛盾， 3 分00a1 为 2 为首项，3 为公比的等比数列，n ， 4 分1n123n（2）设 ，()ad由 得 ，214nn 21()4nnaa ， 5 分2(3)(1(1)(1)4dndndn 2
18、2 243()(1)4d 对任意 恒成立 7 分N 即 9 分22(1)3(4dd， ， ， 2ud， ， ,4u综上， 10 分4,1na，由知 2)nS设存在这样满足条件的四元子列，观察到 2017 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数若三个奇数一个偶数，设 是满足条件的四项，11212,xyzSS则 ，2(1)()407xyz ，这与 1007 为奇数矛盾，不合题意舍去 11 分2若一个奇数三个偶数，设 是满足条件的四项，212,xyzS则 ， 12 分221407xyz2504由 504 为偶数知， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数,1）若 中一个偶数两个奇数，不妨设
19、,z 111,2,xyz，则 ，这与 251 为奇数矛盾 13 分22111()5xyz2）若 均为偶数，不妨设 ，,z111,2,xyz则 ，继续奇偶分析知 中两奇数一个偶数，22116x不妨设 ， ， ，则 14 分x2y12z2231yz因为 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ，22(),()yz 0当 时， ， ，检验得 ， ， ，1230z214y225z2x当 时， ， ，检验得 ， ， ，23x2y1y43当 时， ， ，检验得 ， ， ，526z2202z2即 或者 或者 满足条件，148,S143,S140,S综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元4812361420,S子列
20、16分（第卷 理科附加卷）21 【选做题】本题包括 ， ， ， 四小题，每小题 10 分.ABCDA （选修 41 几何证明选讲） .解：连结 OD，设圆的半径为 R， ，则 ， 2 分ExOR2EBx在 Rt ODE 中， ， ，即 ， 2A()CRA又直线 DE 切圆 O 于点 D，则 ，即 ， 6 分B24x ，代入， ， ， 8 分23Rx2()3CRA5 ，BC35 10 分23OB （选修 42：矩阵与变换）解：由题知， 4 分111133aaabbb， ， .6 分,2M， 8 分1det()343 10 分1234MC （选修 44：坐标系与参数方程）解： ，2222()()c
21、os4inxy曲线 的普通方程为 4 分(1)(3)xy，sin()ics3aa曲线 的直角坐标方程为 ， 6 分D20曲线 圆心到直线 的距离为 ， 8 分C231()d ， 或 10 分（少一解，扣一32a1a5分）D （选修 45：不等式选讲）解法一：基本不等式 ， ， ，2ba2cb2ac ， 6 分b ， 10 分22bcaca解法二：柯西不等式 ，222()()()abbca ， 10 分22bcca【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分.22解：（1）设在一局游戏中得 3 分为事件 ，A则 2 分1235()CPA答：在一局游戏中得 3 分的概率为 3 分2
22、5（2） 的所有可能取值为 X1,4在一局游戏中得 2 分的概率为 ，5 分121350C；135()CPX；46202；8(3)(1)5543402PX所以 8 分 10 分1628437()3515125EX23解：(1) ； 1 分011()()1fxCx02222()f； 2 分4)03132333()(fxxxCx 3 分6（2）猜测： 4 分)!nf而 ， ，!(1)k nCkk1()!(1)kn nnkk所以 5 分1n用数学归纳法证明结论成立 当 时， ，所以结论成立1()fx假设当 时，结论成立，即 k01()()(1)!kkkkkfxCxCx当 时，n01 11kf 01 11() (k kkkkCx 12 111 1 ()()() ()kkkkkkk xx x 00 1( )()()()kkkkkkx CxC 1 2 3 401 0111()()(1)()()()2(kkkkkkkkkkkxCxCxxCx （*）0-11()()(1)(1)2()kkk kk kkkxxxxCC 由归纳假设知（*）式等于 !)!x所以当 时，结论也成立n综合， 成立 10 分()!fx
