1、第 33卷 第 1期 中 国 科 学 技 术 大 学 学 报 Vol. 33 ,No. 12 0 0 3 年 2 月 JOURNAL OF UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY OF CHINA Feb. 2 0 0 3文 章 编 号 :025322778 (2003) 0120034205线 性 调 频 信 号 的 调 频 斜 率 估 计 方 法 X周 刚 毅 1 ,叶 中 付 2(1. 中 国 科 学 技 术 大 学 力 学 与 机 械 工 程 系 ,安 徽 合 肥 230027)(2. 中 国 科 学 技 术 大 学 电 子 工 程 与 信 息 科 学
2、 系 ,安 徽 合 肥 230027)摘 要 :提 出 了 一 种 基 于 分 数 阶 傅 里 叶 变 换 (fractional fourier transform , FRFT) 估 计 线 性调 频 信 号 (lmear FM , LFM)的 参 数 的 方 法 . 该 方 法 通 过 计 算 LFM 的 FRFT ,然 后 用 匹 配滤 波 的 方 法 确 定 LFM 在 时 频 域 内 正 交 投 影 位 置 ,从 而 得 到 LFM 的 调 频 斜 率 .关 键 词 :分 数 傅 里 叶 变 换 ; 调 频 斜 率 ;线 性 调 频 信 号中 图 分 类 号 :TN957. 51
3、文 献 标 识 码 :A0 前 言LFM 信 号 是 雷 达 回 波 信 号 的 基 本 模 型 ,比 如 说 在 合 成 孔 径 雷 达 (SAR) 中 ,点 目 标 的 回 波模 型 就 是 单 一 LFM. LFM 信 号 的 调 频 斜 率 的 估 计 是 很 重 要 的 ,例 如 在 SAR 成 像 中 ,很 重 要 的一 步 就 是 估 算 方 位 向 数 据 的 调 频 斜 率 ,以 构 造 匹 配 滤 波 器 进 行 方 位 向 压 缩 ,以 便 成 像 ;对 于斜 视 的 情 形 ,还 要 对 造 成 距 离 迁 移 的 多 普 勒 频 偏 进 行 估 计 .FRFT最 早
4、是 从 光 学 领 域 引 进 的 概 念 ,它 反 映 了 透 镜 后 方 光 强 在 垂 直 于 光 轴 的 平 面 内 的分 布 1 . 在 90 年 代 中 期 ,该 方 法 被 引 入 了 信 号 处 理 领 域 ,并 指 出 了 它 的 物 理 意 义 是 给 定 信 号时 频 分 布 在 时 频 域 内 某 一 与 时 间 轴 成 角 度 轴 线 上 的 积 分 投 影 1 ,2 ,3 . FRFT 是 一 种 线 性 变换 ,它 与 小 波 变 换 、 Wigner2Ville 分 布 (WVD)都 有 密 切 的 关 系 ,因 此 近 些 年 来 该 方 法 作 为 信 号时
5、 频 分 析 的 研 究 工 具 受 到 了 研 究 者 的 广 泛 关 注 ,相 应 的 离 散 变 换 算 法 也 相 继 提 出 4 . 此 外 有些 学 者 也 在 进 行 FRFT对 LFM 信 号 的 检 测 的 研 究 5 .本 文 首 先 介 绍 了 FRFT变 换 的 定 义 ,然 后 分 析 了 LFM 信 号 的 FRFT ,在 此 基 础 上 提 出 了含 参 变 量 匹 配 滤 波 器 的 系 统 函 数 ,指 出 了 该 函 数 的 物 理 意 义 ,进 而 利 用 该 函 数 判 定 垂 直 于LFM 时 频 分 布 的 轴 线 位 置 的 方 法 . 最 后 通
6、 过 模 拟 算 例 验 证 了 上 述 分 析 .1 LFM 信 号 的 FRFT对 于 信 号 x ( t) 的 FRFT的 定 义 如 下 :X 收 稿 日 期 :2002205213作 者 简 介 :周 刚 毅 ,男 ,1976 年 生 ,博 士 1 研 究 方 向 :智 能 材 料 力 学 机 理 与 应 用 ,时 频 信 号 分 析 1E2mail :gyzhou mail.ustc. edu. cnR x ( t) ( u) = F ( u) =exp i 12i sin - exp i ( t2 + u2) cos - 2 utsin x ( t) d t (1)根 据 式 (
7、1) ,可 以 得 到 F0 ( u) 就 是 信 号 本 身 , F / 2 ( u) 就 是 信 号 的 傅 里 叶 变 换 . 关 于FRFT ,其 最 主 要 的 物 理 意 义 是 :信 号 的 FRFT就 是 信 号 的 时 频 分 布 函 数 在 与 时 间 轴 成 角 度的 轴 线 上 的 投 影 .LFM : x ( t) = Kj =0 jf ( t - j ) ,其 中 f ( t) = exp j f rt2 - T0 t T00 others(该 信 号 模 型 对 应 于 SAR 正 侧 点 目 标 的 回 波 模 型 ) , f r 为 调 频 斜 率 , j 为
8、 第 j 个 信 号 的 强 度 .对 该 信 号 做 FRFT ,有 : R x ( t) ( u) = F ( u) = Kj = 0 jR f ( t - j ) ( u) . 因 此 需 要 对 时延 信 号 f ( t - j ) 的 FRFT做 讨 论 .考 虑 到 FRFT的 时 移 性 质 2 ,3 得 到 :R f ( t - j ) ( u) = exp i (2 uj sin + 0. 5 j2 2sin (2 ) ) ( u - j cos ) (2)其 中 ( u) = R f ( t) ( u) ; i 为 虚 数 单 位 (上 式 与 文 献 3 中 的 相 应
9、公 式 有 出 入 ,原 因 是 文献 3 中 有 误 ,读 者 可 以 参 阅 文 献 6 中 的 证 明 得 到 式 (2) ,限 于 篇 幅 ,此 处 不 再 证 明 ) .当 = - arctan 1fr时 (LFM 的 时 频 分 布 为 斜 率 为 f r 的 平 行 线 段 ,因 此 此 时 的 轴 线 垂 直于 LFM 的 时 频 分 布 ) ,经 过 适 当 的 推 导 ,有R x ( t) ( u) = Kj =0 jexp i (2 uj sin + 0. 5 j2 2sin (2 ) ) exp (i0. 5 )isinexp i cossin ( u - j cos
10、) 2sin 2 u - j cossin T0 ( u - j cos )sin(3)构 造 匹 配 滤 波 器 : h ( u) = exp - i (cot u2 - 2 u sin ) sin 2 usin T0 usin,其 中 为 一 参变 量 . 因 此 F ( u) 经 过 该 匹 配 滤 波 器 的 输 出 为T( , u) = Kj = 0 jexpi (2 uj sin + 0. 5 j2 2sin(2 ) ) exp (i0. 5 )isin exp i cossin ( u - j cos ) 2sin 2 u - j cossin T0 ( u - j cos )s
11、in3 exp - i (cot u2 - 2 u sin ) sin 2 usin T0 usin(4)由 匹 配 滤 波 器 的 特 性 ,式 (4) 说 明 当 且 仅 当 = - arctan 1fr时 , 匹 配 滤 波 器 的 输 出T ( , u) 在 u 平 面 内 形 成 K + 1 个 峰 ,峰 的 位 置 在 ( - j , j cos ) ,其 中 j = 0 ,1 ,2 ,0 , K.进 一 步 可 以 看 出 这 些 峰 集 中 在 u 平 面 内 的 直 线 u = ( - cos ) 上 、 线 段 长 度 为 Kcos .53第 1 期 线 性 调 频 信 号
12、 的 调 频 斜 率 估 计 方 法至 此 可 以 得 到 确 定 调 频 斜 率 f r 的 方 法 :寻 找 恰 当 的 角 度 ,使 得 x ( t) 的 FRFT经 匹 配 滤波 器 h ( u) 输 出 后 在 u 平 面 内 能 量 集 中 在 直 线 u = ( - cos ) 上 ,从 而 f r = - cot .(a)2(c)为 不 同 下 的 FRFT; (d)为 = 34 下 的 T( , u) , (e)为 其 等 高 线 图 ;(f)为 = 35 下 的 T( , u) , (g)为 其 等 高 线 图图 1 M = 10、 = 1 时 处 理 结 果Fig. 1
13、Simulation result for the signal with M = 10 and = 163 中 国 科 学 技 术 大 学 学 报 第 33 卷2 算 例模 拟 信 号 为 : G( t) = Mk = 0g ( t - k ) ,其 中 g ( t) = exp i t2 - 1 s t 1 s0 others (注 意 调频 斜 率 为 f r = 1 s - 2) . 因 此 h ( u) = exp - i (cot u2 - 2 u sin )sin sin 2 usin T0 u . 以 下将 给 出 模 拟 信 号 的 变 换 T ( , u) ,并 说 明 上
14、 述 确 定 调 频 斜 率 f r 方 法 的 有 效 性 .图 1 (a)2(c)给 出 了 当 M = 10、 = 1 时 不 同 下 的 FRFT ,图 1 (d)列 出 了 当 = 34 时的 T ( , u) , 图 1 (e)给 出 了 (d)的 等 高 线 图 .由 于 该 模 拟 信 号 f r = 1 s - 2 ,因 此 垂 直 于 其 时 频 分 布 的 轴 线 与 时 间 轴 成 34 的 角 度 . 从 图1 (c)中 可 以 看 出 ,当 = 34 时 , G( t) 被 分 解 成 11 个 峰 ,对 应 于 11 个 单 一 LFM ,并 且 也 可 以预 见
15、 当 减 小 时 ,这 些 峰 将 彼 此 混 跌 而 不 能 明 显 区 分 . 从 图 1 (d)2(e) 中 可 以 看 出 ,当 =34 时 , T ( , u) 函 数 在 u 平 面 内 形 成 一 段 倾 斜 排 列 的 峰 ,这 些 峰 位 于 一 条 正 斜 率 直线 上 ,这 些 结 果 与 上 节 中 的 分 析 结 果 吻 合 . 图 1 (f)给 出 了 在 = 34 时 的 T ( , u) 函 数 ,很明 显 由 于 此 时 滤 波 器 与 R G( t) ( u) 的 不 匹 配 ,无 法 在 u 平 面 内 相 干 积 累 出 连 续 峰 .正 如 上 面 叙
16、 述 ,当 减 小 时 ,在 垂 直 于 LFM 时 频 分 布 的 轴 线 上 的 FRFT无 法 区 分 出 明 显的 峰 ,那 么 此 时 上 述 算 法 是 否 能 有 效 呢 ? 图 2 (a)给 出 了 M = 40、 = 0. 25 并 且 = 34 时T ( , u) , 图 2 ( b) 是 相 应 的 等 高 线 图 . 从 两 幅 图 中 可 以 看 出 (并 对 比 图 1 ( d)2( e) ) ,T ( , u) 函 数 在 u 平 面 内 同 样 形 成 一 段 倾 斜 排 列 的 峰 ,这 些 峰 位 于 一 条 正 斜 率 直 线上 ,该 直 线 与 图 1
17、(e) 一 致 . 这 些 结 果 与 上 节 中 的 理 论 解 释 是 一 致 的 ,即 相 干 积 累 形 成 的 峰 值在 u 平 面 内 集 中 在 直 线 u = ( - cos ) 上 ,而 f r = - cot .(a)为 = 34 下 的 T( , u) , (b)为 其 等 高 线 图图 2 M = 40、 = 0. 25 时 处 理 结 果Fig. 2 The simulation result for the signal with M = 40 , = 0. 2573第 1 期 线 性 调 频 信 号 的 调 频 斜 率 估 计 方 法3 结 论本 文 中 提 出
18、的 变 换 算 法 是 在 时 频 域 内 确 定 垂 直 于 LFM 时 频 分 布 的 轴 线 ,从 而 得 到 LFM的 调 频 斜 率 . 由 于 该 算 法 建 立 在 FRFT基 础 上 ,而 FRFT的 快 速 算 法 已 经 被 很 多 学 者 相 继 提出 ,因 此 该 算 法 的 计 算 复 杂 度 不 是 很 高 ,具 有 实 际 应 用 价 值 .参 考 文 献1 Ozaktas H M , Barshan B. Convolution , filtering ,and mutiplexing in fractional fourier domains andtheir
19、 relation to chirp and wavelet transformsJ .J . Opt. Soc. Am. A , 1994 ,11 (2) : 5472559.2 Mendlovic D , Ozaktas H M. Fractional Fouriertransforms and their optical implementation : IJ .J . Opt. Soc. Am A , 1993 ,10 (9) :187521881.3 孙 晓 兵 ,保 铮 . 分 数 阶 Fourier 变 换 及 其 应 用J . 电 子 学 报 ,1996 ,24 (12) :6
20、0265.4 Ozaktas H M , Arikan et al. Alper Kutay and G?zde Bozdagi , digital computation of the fractionalfourier transform J . IEEE Trans. SP ,1996 ,44(9) :214122150.5 Akay O , Boudreaus2Bartels G F. Fractional con2volution and correlation via operator methods andan application to detection of linear
21、 FM signalsJ . IEEE Trans. SP , 2001 ,49 (5) :9792993.6 周 刚 毅 . 基 于 分 数 傅 立 叶 变 换 的 多 分 量 先 行调 频 信 号 参 数 估 计 算 法 D . 合 肥 :中 国 科 学技 术 大 学 ,2002 ,7.An Approach to Estimating the Chirp Constant of LFMZHOU Gang2yi1 , YE Zhong2fu2(1. Department of mordern mechanics ; 2. Department of Electronic Enginerin
22、g and Information Sicence , Hefei 230026)Abstract : A new approach based on fractional fourier transform to estimate the chirp constant of LFMis presented. The method is to find the axis in time2frequency (TF) domain , which is perpendicular tothe TF distribution of LFM , by using a match filter.Key words : fractional fourier transform ; chirp constant ; LFM83 中 国 科 学 技 术 大 学 学 报 第 33 卷
