1、高中物理思维方法集解随笔系列高中物理习题解决的“数列法”山东平原一中 魏德田我们知道，按一定顺序排列的一列数，叫做数列；数列中的某个数，叫做数列的一项。无论哪一种数列，都应具有一些自身的特点和变化的规律。在高中物理解题时，我们也常会用到等差数列、等比数列的知识。由此，我们把应用数列知识解决物理问题的思维方法，称为数列法。高中物理解题中，数列知识的应用分为：1判断物理过程的特征；2用通项公式求未知量；3用求和公式求未知量等三个方面的问题。一般地，按一定规律变化的多个子过程问题，大都具有类似性、反复性的特点。随着子过程过程的反复进行，某个物理变量即可逐步生成几个形式类似、而内涵（如大小、正负、幂次
2、等）却不同的表达式，由此得某种数列的前几项，应用归纳法（或递推原理），把这几项“融合”在一起，从而求出数列的通项公式，以描述对应物理量的变化规律(这是解题的关键)。因此，我们即可用数列的通项公式求出某一项。若欲求数列前 项之和，则n常用对应的求和公式来解决。解答此类问题的基本思路：先逐个分析多过程初期的几个子过程，分别找出数列的前几项；再利用归纳法找出数列的通项公式；最后整体分析物理过程，应用数列的通项公式或求和公式解决问题。无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。等差数列前 n 项之和 ，d 为公差。2)1(2)(11nanSn等比数列前 n 项之和： ，q 为公比。nn)(下
3、面，主要针对上述 2、3 两方面的问题，分别讨论数列知识在高考物理解题中的应用。【例题解析】数列法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通项表达式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数列知识求解。 用数列法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推式。一用通项表达式求未知量某些物理状态或过程必须借助于数列知识，才能全面的描述其状态及其变化特征。此类问题，要求我们能够根据初始条件，以数学归纳法来（递推规律），求出某个物理量的通项
4、表达式。【例题 1】质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t ，加速度变为 2a ；在时刻 2t ，加速度变为 3a ； ；在 nt 时刻，加速度变为 (n + 1) a ，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程。【解析】根据数列法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻 t 末的速度为 vt = at2t 末的速度为 v2t = vt + 2at 即 v2t = at + 2at3t 末的速度为 v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at由此可得，通项表达式则 nt 末的速度为vnt = v(n )t + nat
5、= at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n)= at (n + 1)n 1= n (n + 1)at2（2）同理：可推得 nt 内通过的总路程 s = n (n + 1)(2n + 1)at212【点拨】显然，此例先“从特殊到一般找到规律” ，由速度公式布列各式，比较、归纳出通项表达式，再用等差数列求和知识解决。【例题 2】线段 AB 长 S，均分为 n 等分，一质点由 A 出发，以加速度 a 向 B 作匀加速运动，当质点到达每一等分的末端时，它的加速度增加了 a/n，试证质点到 B 点时的速度是 。)/13(naS【解析】这是一道数学上有规律
6、而物理上几乎无法完全归纳的问题，可只要发现了数学上的规律，而在物理上对其过程并不没有必要作很深的探讨。应用匀变速运动的速度-位移的关系式，分别对每段等分位移列出下面的表达式。 XnavXnavvnBA)1(2,)21(122321 再把以上各式左右相加,可得 21)(1212 1)2()(2 naXna nvAB ）（显然， 。代入上式可得相同的结果SvA,0)13(naA【点拨】此例用位移-速度的关系式，分别列出每一等份位移的方程，然后相加，即获得一等比数列，再用等比数列求和公式解决。由此可知，解决数列问题，并不是每题非得求出通项式表达式不可。【例题 3】 （10 北京）雨滴在穿过云层的过程
7、中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为 ，初速度为 ，下降距离 后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离 后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为 、 （设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，求（1）第次碰撞前、后雨滴的速度 和 ；（2）求第次碰撞后雨滴的动能 。【解析】 （1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为 g 的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒第 1 次碰撞前 ， glv2021glv201第 1 次碰撞后 ， （2）第 2 次碰撞利用 式化简得第 2 次
8、碰撞后，利用式得 同理，第 3 次碰撞后，第 n 次碰撞后速度为 glmvmvnnin 210202 故第次碰撞后雨滴的动能为【点拨】应注意到，第 n 次碰撞后的速度平方式也是某一数列的 通项表达式。【例题 4】如图 742 所示，在 x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B ，在 x 轴下方有沿 y 轴负方向的匀强电场，场强为 E 。一质量为 m ，电量为q 的粒子从坐标原点 O 沿着 y 轴方向射出。 射出之后，第三次到达 x 轴时，它与 O 点的距离为 L 。 求此粒子射出时的速度 v 和每次到达 x 轴时运动的总路程 s 。 （重力不计）【解析】粒子进入磁场后做匀速
9、圆周运动，经半周后通过 x 轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加速通过 x 轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性。它第 3 次到达 x 轴时距 O 点的距离 L 等于圆半径的 4 倍（如图 743 甲所示）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为：4LqBmvR所以粒子射出时的速度：mqLv4粒子做圆周运动的半周长为：图 742图 74341Ls粒子以速度 v 进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为 y ，因为ymqEa22所以粒子在电场中进入一次通过的路程为： ELBys1622粒子第 1 次到达 x 轴时通过的路程为： 41RsS粒子第 2 次到达 x 轴时，
10、已通过的路程为：mELqBs162212粒子第 3 次到达 x 轴时，已通过的路程为：qsS16221213粒子第 4 次到达 x 轴时，已通过的路程为： mELqBsS82)(214由此可得，通项表达式粒子第(2n1) 次到达 x 轴时，已通过的路程为：qnsnsSn 16)(4)1( 2212 粒子第 2n 次到达 x 轴时，已通过的路程为：)164()(2212 mELqBnsSn应该补充说明，上面两式中的 n=(1，2，3，)，亦即都取正整数。【点拨】事实上这两个结果，明眼人一看便知：分别表示为第（奇数、偶数）次到达x 轴所过的路程的通项表达式，由此也可得到某种对应的级数或数列，这里不
11、再讨论。【例题 5】(07 浙江)如图 744 所示，质量为 m 的由绝缘材料制成的球与质量为M19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成 60的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于 45。【解析】设在第 n 次碰撞前绝缘球的速度为 vn1 （初速度） ，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为 vn、 Vn。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则 nnmMVv12221v由此解得 109nnvV第 n 次碰撞后绝缘
12、球的动能为：02)81.(EmvEnnnE0 为第 1 次碰撞前的动能，即初始能量。绝缘球在 060与 45处的势能之比为 586.0)cos1(0mglE经 n 次碰撞后有：nn)8.(0易算出(0.81)20656，(0.81) 30.531，因此，经过 3 次碰撞后 小于 45 。【点拨】此例属于碰撞中的动量与能量守恒问题，试题没有说明磁场的阻尼作用如何产生，但给出了磁场，容易让我们产生运用磁场的知识解决问题的错觉。对两个金属球的运动过程，题中的描述并非一目了然。特别是在多次碰撞的每次碰撞过程中，绝缘球的动能损失并不是常量，因此给问题解决带来不少困难。而这个“绝缘小球的动能损失” ，可用
13、数学归纳法来找出，其遵循的规律即通项表达式。【例题 6】一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m ，若一次直M m图 7-8图 744接起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？【解析】若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。首先，原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在 s 的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则当车头起动时，有： 21)(mvsgF然后，拉第一节车厢时，设列车的速度为 ：1)(v故有：sgmFv )(
14、2412接下来，拉第二节车厢时设列车的速度为 ：2v21)2( mvsgF1vm故同样可得： sgFv )35(2942依次类推，拉第 n 节车厢时列车的速度，可得： sgnmFv )312(2由 的条件，可得：02nv另由题意，已知mgF31代入上式，可解得：n 46。因此该车头倒退起动时，能起动 45 节相同质量的车厢。【点拨】这里 就是车头拉上若干车厢后， “瞬时速度的sgmFvn )312(2平方”的某种通项表达式。【例题 7】（10 北京）如图 745 所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为 、 、 的若干个球沿直线静止相间排列，给第 1个球初能 ，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第
15、 个球经过依次碰撞后获得的动能与 之比为第 1 个球对第 个球的动能传递系数 。求：（a） （b）若 、 、为确定的已知量。求 为何值时，值最大【解析】 （a）由上问中式，考虑到 和 得2101vmEK2vEK根据动能传递系数的定义，对于 1、2 两球同理可得，球 和球 碰撞后，动能传递系数 k13 应为依次类推，动能传递系数 k1n 应为解得图 745（b）将 、 代入式可得为使 k13 最大，只需使由 可知【例题 8】在玻尔的氢原子模型中，电子第一条轨道半径为 ，则由此向外的第十条可能轨道半径 是多大？电子在第十条可能轨道上运动时的动能 有多大？已知元电10r 10KE荷为 ，静电力恒量为
16、 。ek【解析】对玻尔氢原子而言，由于原子半径和能级均为量子化的，原子的可能半径和对应的能级可分别组成数列，其通项表达式为 )3,21(/,2112 nErnn再将 n=10 代入上述公式，可得 10021Err由库仑定律可得 1022rvmek。12102rkeEK二用数列求和公式求未知量有不少复杂、困难的问题，往往需要先根据题设初始条件，借助于递推关系，找出某个量的通项表达式，再依该式写出相应的数列，应用公式解决有关物理量“求和”的问题。【例 9】用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为 L ，横截面是边长为 h（h = ）的正方
17、形，要求此桥具L4有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值。【解析】为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为 1 、2 、 、n ，显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为：x 1 = L2第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 x2（如图 746 所示） ，则：G x2 = ( x 2) GL得： x2 = =4同理可得第 3 块的最大伸出量：x3 = L2最后归纳得出：
18、xn = 2所以总跨度： k = 2 = 11.32h9n1x跨度与桥孔高的比值为：= =1.258H.3h9【例 10】锤子打击木桩，如果锤每次以相同的动能打击木桩，而且每次均有 80的能量传给木桩，且木桩所受阻力 Ff 与插入深度 x 成正比，试求木桩每次打入的深度比。若第一次打击使木桩插入了全长的 1/3，那么木桩全部插入必须锤击多少次？【解析】该题中木桩受到的阻力 Ff 为变力，且与位移 x 成正比。我们可以作出如图577 所示的 Ff x 图象，用 “面积法”可以求解该题。因为图中“面积”S 1、S 2表示 1次、2 次锤子击中木桩克服阻力做的功，等于锤传给木桩的能量为 W0。由图可
19、得 00022321:nWxx则 。:231每次打入深度 1iix故木桩每次被打入的深度比为 )1(:)23(:)12(:1 nn由上述比例关系，可知，)(h最后，不难求出以下的结果（次） 。9,3n【点拨】显然，本例中应用了相似三角形面积与对应边的平方成正比的几何关系。【例题 11】(07 江苏)如图 748 所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为 H，上端套着一个细环棒和环的质量均为 m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 kmg(k1) 断开轻绳，棒和环自由下落假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计求：(1)棒第一次
20、与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程 s(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功 W【解析】 (1)设棒第一次上升的过程中环的加速度为 a 环 ，由牛顿第二定律则有a 环 (k 1)g，kmg mgm方向竖直向上(2)棒第一次落地前瞬间的速度大小为v1 2gH设棒弹起后的加速度为 a 棒 ，由牛顿第二定律有图 748图 747a 棒 (k1)gkmg mgm故棒第一次弹起的最大高度为 121kHv待求棒运动的路程 sH2H 1 Hk 3k 1(3)设棒第一次弹起经过 t1 时间后与环达到共同速度 v1环的速度v1
21、v 1a 环 t1棒的速度v1v 1a 棒 t1由此解得：t11k 2Hgv12gHk环的位移h 环 1v 1t1 a 环 t12 H12 k 1k2棒的位移h 棒 1v 1t1 a 棒 t12 H12 k 1k2x1h 环 1h 棒 1由此解得x12Hk在棒、环一起下落至地时，有：v22v 122gh 棒 1由此解得v22gHk同理，环第二次相对棒的位移为：x2h 环 2h 棒 22Hk2xn2Hkn故环相对棒的总位移xx 1x 2 xn2Hk 1所以，待求摩擦力对环和棒做的总功 WWkmgx 2kmgHk 1【提示】从优选法角度看，此例第(3)问最好用“整体法” 解决。亦即：经过足够长的时
22、间棒和环最终静止，设这一过程中它们相对滑动的总路程为 l，由能量的转化和守恒定律有mgHmg( H l)kmgl由此解得l2Hk 1故待求摩擦力对环和棒做的总功为Wkmgl 2kmgHk 1【例题 12】一弹性小球自 4.9 m 高处自由落下，当它与水平桌面每碰撞一次后，速度减小到碰前的 7/9，试计算小球从开始下落到停止运动所用的时间. 每碰撞一次后所做竖直上抛运动，可分为上升和回落两个阶段，不计空气阻力，这两段所用时间和行程相等.【解析】小球原来距桌面高度为 4.9 m，用 h0 表示，下落至桌面时的速度 v0 应为v0= =9.8 m/s.9.4820g由此可解得下落时间为t0= =1
23、s./h首先用演绎法：小球第一次和桌面碰撞，那么，第一次碰撞桌面后小球的速度v1=v07/9 m/s.第一次碰撞后上升、回落需用时间2t1=2v1/g=(2v0/g)7/9=27/9 s.小球第二次和桌面碰撞，那么，第二次碰撞桌面后小球的速率v2=v17/9=(v07/9)7/9=v0(7/9)2 m/s.第二次碰撞后上升、回落需用时间2t2=2v2/g=2(7/9)2.再 用 归 纳 法 ： 依 次 类 推 可 得 ： 小 球 第 n 次 和 桌 面 碰 撞 后 上 升 ， 回 落 需 用 时 间2tn=2(7/9) n (s)可解得小球从开始下落到经 n 次碰撞后静止所用总时间T=t2+2
24、t1+2t2+2tn=1+27/9+2(7/9)2+2(7/9)n=1+27/9+(7/9) 2+(7/9)n括号内为等比级数求和，首项 a1=7/9,公比 q=7/9,由于|q|1,可解得无穷递减等比级数的和,279/1qa最后求出小球从开始下落到停止运动所用的时间为T=1+27/2=8 s.【点拨】 高考压轴题中常涉及多个物体多次相互作用的问题，求解这类题往往需要应用数学的通项表达式或数列求和知识一对滑动摩擦力做功的总和 Wf s 总 ，s 总 为相对滑动的总路程对于涉及两个对象的运动过程，规定统一的正方向也很重要【例题 13】有 n 块质量均为 m ，厚度为 d 的相同砖块，平放在水平地
25、面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图 749 所示，人至少做多少功？【解析】将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2 = mgd将第 3 、4 、 、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3 = mg2dW4 = mg3d图 749W5 = mg4dWn = mg (n 1)d所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n 1)dmgdn)(【例题 14】如图
26、 7410 所示，质量 m = 2kg 的平板小车，后端放有质量 M = 3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数 = 0.50 。开始时，车和铁块共同以 v0 = 3m/s 的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程。【解析】小车与墙撞后，应以原速率弹回。 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后，它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况。 以后车与墙就这样一次次碰撞下去。 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向
27、前滑动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和。设每次与墙碰后的速度分别为 v1 、 v2 、 v3 、 、 vn 、 车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为 s1 、 s2 、 s3 、 、 sn 、 。 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第(n1)次碰后到发生第 n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有：(M m)vn 1 = (M + m)vn所以：115nnnvmMv由这一关系可得： ,.,512312一般地，有速度通项式：图 741015vn由运动学公式可求出车与墙发生第 n 次碰撞后向左运动的最远距离为
28、： 212nnas类似地，由这一关系可递推到： 2142132121 5,.5, nnavsavsvsa所以车运动的总路程：2451)1.(2124213avavsssn总因为 v1 = v0 = 3m/s ， /.7smMg不难求出小车走过的总路程。s25.1总【例题 15】 （08 四川）如图 7411 所示， 一倾角为 45的斜血固定于地面，斜面顶端离地面的高度 h01m ，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量 m0.09kg 的小物块（视为质点） 。小物块与斜面之间的动摩擦因数 0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度 g10 m/s2。在小物块与挡
29、板的前 4 次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？【解法一】设小物块从高为 h 处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为 v。由功能关系得 sinco21hmgvgh以沿斜面向上为动量的正方向。由动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量)(vI设碰撞后小物块所能达到的最大高度为 h，则图 7411sinco21hmghv同理，有sinco21hgvhg)(mI式中，v 为小物块再次到达斜面底端时的速度，I为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由 式得kI式中 。由此可知，小物块前 4 次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级tank数，首项为)cot1(201ghmI总冲量为 )1(3243
30、21 kIII 由 得 )12kknn)cot1(2104ghmI代入数据得 Ns )63(.0【点拨】此例先用碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律，然后用数学归纳法找出通项公式，即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系，从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系。然后用等比数列求和公式解决。【点拨】此例先用碰撞中的动量守恒定律以及能量守恒定律，然后用数学归纳法找出通项公式，即绝缘小球每一次碰撞前与碰撞后的动能关系，从而找到了绝缘小球每次碰后的动能与初动能的关系。然后用等比数列求和公式解决。【例题 16】使一原来不带电的导体小球与一带电量为 Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量 q
31、。今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值 Q 。求小球可能获得的最大电量。【解析】两个孤立导体相互接触，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电 Q1 、Q 2 ，由于两个导体球对地电压相等，故有 ，易得21CQkCQ2121因此 Q = k (Q1 + Q2) ，k 为常量，此式表明：带电（或不带电）的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值 k 等于第一次带电量 q 与总电量 Q 的比值，即 qk可改记作 kQq根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量。设第 1 、 2 、 、 n 次接触后小球所带的电量分别为 q1 、
32、q2 、 ，有：q1 = kQ = qq2 = k (Q + q1) = q + kqq3 = k (Q + q2) = kQ + kq2 = q + kq + k2q由此，可得通项表达式qn = k (Q + qn 1) = q + kq + k2q + + k n 1q由于 k 1 ，上式为无穷递减等比数列，根据求和公式得： qQkn 1即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为 。【点拨】此例先用电容定义推论式，求出第一次带电量 q 与总电量的关系式Q ，然后应用归纳法求出通项式，再用等比数列求和公式解决。kq【例题 17】 （06江苏）如图 7412 所示，顶角 =45，的金属导轨 MO
33、N 固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON 垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r，导体棒与导轨接触点的 a 和 b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0 时，导体棒位于顶角 O 处，求： （1）t 时刻流过导体棒的电流强度 和电流方向。 I（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F 的表达式。 （3）导体棒在 0t 时间内产生的焦耳热 Q。 （4）若在 时刻将外力 F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x。【解析】 (1)0 到 t 时间内，导体棒的位
34、移 tvx0t 时刻，导体棒的长度 xl导体棒的电动势 0BvE回路总电阻 rxR)2(电流强度 vI)(0电流方向 ab(2) rtvBIlF20)(3)t 时刻导体棒的电功率 rtvRIP230/2)( trtvBPtQ230)(4)撤去外力后，设任意时刻 t 导体棒的坐标为 ，速度为 ，取很短时间 或很短距xvt离 x在 时间内，由动量定理得ttvmBIlvtlr)(2(则 0)(S如图所示，扫过面积 22)(000xx)(0tv图 7412得 2020)()(tvBrmx或设滑行距离为 d则 tvS2)(00即 02Sdt解之 (负值已舍去)20tvv得 200tSdtx 2020)()tvBrm解法二： 在 段内，由动能定理得x(忽略高阶小量)vvmF22)(1得 SrB)(02)(v【点拨】显然对大部高中生而言，运用充满微积分思想的解法二不易想到，求解也有些困难，但其比之于数列法倒有思路单纯、处理简捷的独到之处。综上所述，可知在高中物理习题解决领域，等差或等比数列如通项表达式、求和公式等知识的应用，也是十分广泛的。（此文节选自高中物理思维方法集解第七章数理思维方法，文字有所修改）2017-12-24-17：22 于南开区风湖里
