1、21.2 函数的表示方法,知识整合,1表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法 (1)解析法就是_ _. (2)列表法就是_ _. (3)图象法就是_ _. 2在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围对应关系不同，这样的函数通常称为_分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数,3函数的图象可能是连续的曲线，也可能是点，也可能是曲线的一部分 4分段函数的定义域是各段定义域的_，分段函数的值域也是各段函数值域的_ 5如果一些点的集合是一个函数yf(x)的图象，需满足两个条件：_； _.,特别警示：(1)解析法的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量
2、所对应的函数值 (2)列表法的优点：可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 (3)图象法的优点：形象直观地表示出函数的变化情况,答案：1.用一个代数式(或解析式)来表示自变量与因变量的函数关系 通过列出表格来表示两个变量间的函数关系 用函数图象表示两个变量之间的关系 2分段函数 4并集 并集 5图象上的任意一点坐标(x，y)都满足关系式yf(x) 满足关系yf(x)的点(x，y)都在图象上,名师解答,1函数的图象都是连续的曲线吗？凡是图象都是函数的图象吗？函数的图象对解题有用吗？ (1)函数的图象不一定都是连续的曲线一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数
3、，但如果自变量的取值是一些孤立点，那么它的图象就是一些孤立点例如：y3x(x1,2,3,4,5)有时函数的图象由几条线段组成,(2)检查一个图形是否为某个函数的图象，只要用一条垂直于x轴的直线沿x轴方向左右平移，观察图形与该直线交点个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数图象这是因为，直线xa(aR)与图形有两个或两个以上交点时，表示变量x取实数a时对应两个(或)两个以上的y值，这与只有唯一y值与x对应矛盾，故不是函数图象,如下图所示， 在图中，当自变量x在(1,1)上取任一个值时，y有两个值与之相对应，不符合函数的定义；而图中，当自变量x分别在R上和1,1上取一个值，函数值y有
4、唯一的值与之对应，故中y与x具备函数关系,(3)函数的图象对于今后解题的用途是非常大的，应逐步学会利用函数的图象来解题如某些函数图象较易画出来，就可以利用函数图象直接求出其值域我们还可以利用函数的图象来比较某两个数值的大小等等,深入学习,题型一 求函数解析式 解析法就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式求函数解析式的常见方法有：待定系数法、换元法、赋值法、列方程法等,分析：求一个函数的解析式，就是弄清和找出对接受法则的对象实施什么样的运算,评析：本题首先将x21视为一个整体，代入f(x)，然后使用换元法得g(x)，层层深入，从而解决问题,评析：对于复合函数的有关运算
5、，可以本着“先外后内”，或“先内后外”的原则，灵活进行计算关键是树立整体思想，把每一层视为一个整体，不断换元，层层“剥皮”，从而化解问题,评析：本题关键是画出图象，求出交点，从而正确地分段，再在各段上写出符合要求的解析式，最后写出分段函数的解析式,答案：C,题型二 函数图象的应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数的图象能够掌握函数的重要性质，如单调性、奇偶性、有界性、极值性、周期性等等掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象 作函数图象的基本方法： 1描点法：描点法的作图步骤：(1)列表：计算要正确，取值要具有代表性、典型性；(2)描点：坐标要准
6、确；(3)连线：用光滑曲线连接起来,2用计算机作图 3图象变换法 函数图象的五要素：x轴、y轴、两轴上的长度单位和坐标原点这五个要素缺一不可，一般情况下，要求两轴上的长度单位要统一，特殊题目中，依题意也可以出现两坐标轴上长度单位不统一的情况 画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域 此外，要熟悉各种基本初等函数的图象,分析：(1)为直线上孤立的点；(2)、(3)先去掉绝对值符号化为分段函数；(4)要注意定义域,所以函数图象分别如下图(1)(4)所示：,评析：对于利用基本函数加工而成的新函数，能化简的需先化简，再画图象在作图时应注意以下四个要点：(1)在定义域内作图；(2)
7、图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)宜标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心点；(4)若函数是分段函数，则应在同一坐标系内分段画出要熟悉一些基本初等函数的图象,分析：可利用特殊点排除法求解，也可用分段函数求解 答案：C,【例3】 作出下列函数的图象并写出它们的值域 (1)y|x1|x1|； (2)yx，xZ且|x|2； (3)在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B开始向点A运动，如右图设点P运动的路程为x，APB的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式并画出图象 分析：先化简，再作图， 根据图
8、象写值域， 这是函数图象的一个重要应用,评析：若解析式中有绝对值号，化简的目标就是去掉绝对值号，就要分类讨论要注意分界点是图象上的点，用实心点表示整个函数的图象是一个图形，且是由三段构成的，是一个分段函数,(2)显然x2，1,0,1,2 相应地有y2，1,0,1,2. 函数的图象是由五个点构成的，如图 y2，1,0,1,2评析：特别注意函数的定义域是什么本题函数的图象是位于直线yx上的五个点，注意不要错画成直线yx.我们称这样的函数为“点函数”,评析：在实际问题中，自变量x的范围应使实际问题有意义，明确了定义域，才能进一步写对应关系，画图象 作函数的图象尽管使用的方法是列表描点法，但这是建立在
9、对一些常见函数的图象很熟悉的基础上例如：一次函数的图象是直线，二次函数的图象是抛物线，反比例函数的图象是双曲线等因此，作图题要充分发挥这些基本函数的性质，从而正确地作出图象,变式训练 3 如下图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD2，BC1，BAD45，直线MNAD交AD于M，交折线ABCD于N，记AMx，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域分析：求函数的关系式是解决其他问题的关键，根据题意，此题应对点N分别是AB、BC、CD三段上分三种情况写出函数的关系式,A(1)(2)(3) B(1)(4) C(2)(4) D(4) 分析：深入理解分段函数的概
10、念，分段函数是指定义域不同的部分，有不同的对应法则的函数,解：(1)(4)正确；(2)(3)错误(2)中定义域重合部分x2，其解析式不同(取值不同)，不满足分段函数的定义，如x2时，f(x)3或4，不是函数，当然更不是分段函数；(3)中例如x1时，有f(x)5或1，不是函数，更不是分段函数故选B. 答案：B 评析：分段函数仍是一个函数，首先要符合函数本身的定义，再结合分段函数的特点解题,(1)分析：求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式,答案：1,(2)解析：当x0时，f(x)x1. fff(1)1. 答案：1 评析：(1)明确分段函数和复合函
11、数的意义，是解本题的关键，而ff(x)的意义是以f(x)为变量的函数的解析式 (2)求分段函数的函数值的关键是看自变量是在哪个范围内取值，然后再“分段归类”,整体探究解读,题型一 求复合函数解析式 【例1】 已知f(x1)x23x2，求f(x) 解法一：(配凑法)f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6.令x1t，则f(t)t25t6.一般地，我们常用x表示自变量，所以写成f(x)x25x6. 解法二：(换元法)设x1u，则xu1，代入f(x1)x23x2，得f(u)(u1)23(u1)2u25u6，用x表示自变量，即f(x)x25x6. 评析：当已知复合函数fg(x)的表达
12、式时，可以采用“配凑法”和“换元法”求函数解析式,答案：B 分析：本题是分段函数，不妨画出它们的图象，由图象找出适合题意的选项,答案：A,评析：数形结合的方法直观生动，有助于理解题意，但要熟悉基本图形的画法分类讨论条理分明、逻辑性强，也值得提倡,题型三 数形结合思想的应用 【例4】 |x2|x1|a的解集是空集，求实数a的范围 解：令y1|x2|x1|， 即当x2时，y13； 当21时，y13. 令y2a，其图象如右图所示 欲使图象中y1y2的解集为空集，也即y1y2恒成立，显然a3.,【例5】 当m为怎样的实数时，方程x24|x|5m有四个互不相等的实数根？,评析：函数图象直观形象地帮助我们
13、解决有关问题，数形结合是研究数学的一个重要手段,题型四 图象在实际生活中的应用 【例6】 图甲表示某年12个月中每月的平均气温，一般地，家庭用电量(kWh)与气温()有一定的关系图乙表示某家庭在此年12个月的用电量根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是 ( ),甲,A气温最高时，用电量最多 B气温最低时，用电量最少 C当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加 D当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 分析：逐月分析图象的升降趋势和变化率，排除干扰选项便能确定答案,乙,解：比较两图可以发现，2月份用电量最多，而2月份气温不最高，因此排除A.同理可排除B.8至12月份气温一直下降，但用电量有增减，排除D.由6、7、8三个月的气温和用电量可得出C正确故选C. 评析：解决函数图象问题的常用方法有：定性分析法；定量分析法；函数模型法要加强自我训练，提高读图能力,
