1、期权、期货及其他衍生产品 2013-05-10 1 Black-Scholes-Merton模型2 Black-Scholes-Merton模型 如何对期权进行定价与对冲 促进金融工程领域的发展 与现实情况不完全相符 “Nevertheless, BlackScholespricing is widely used in practice”：easy to calculate 、modeling the relationship of all the variables 、explicitly、robust3 基本假设 无套利 无风险利率为常数，且允许以无风险利率进行借贷 交易连续进行；可交易
2、任何数量的证券不必整数也 不必正数 无交易费用和税收 标的股票在期权期限内不支付红利； 股票价格模型：漂移率为 波动率为 的几何布朗运动4 股票价格模型 ：S T 为对数正态分布5 股票价格的对数正态分布性质 对数正态：) 1 ( ) ( var) ( 2 2 2 0 0 T T T T T e e S S e S S E 6 期望收益率与收益率的期望 股票0到T的收益率（连续复利形式）： 收益率的分布： 收益率期望： 期望收益率 ：) ( 0 T T e S S E 7 波动率 波动率：一年内收益率的标准差 度量股票收益的不确定性 考虑若 非常小，期间 的标准差约为8 利用历史数据估计波动率
3、 1. Take observations S 0 , S 1 , . . . , S n at intervals of years 2. Calculate the continuously compounded return in each interval as: 3. Calculate the standard deviation, s , of the u i s 4. The historical volatility estimate is: u S S i i i ln 1 s 9 利用历史数据估计波动率 选择合适的样本量n n越大，包含信息越多，估计越精确 波动率随时间发
4、生变化，久远的历史数据不适用 如何计量 例如观察区间为1天，若认为 ， 研究结果表明交易时波动率大于休市时 估计波动率及计算期权期限时往往去掉休市时间10 Black-Scholes-Merton微分方程 回忆Delta对冲 Delta is the ratio of the change in the price of a stock option to the change in the price of the underlying stock ： Delta 对冲： 只标的股票+ 期权空头 无风险组合 连续时间： 投资组合瞬时无风险组合，连续调整11 Black-Scholes-Mer
5、ton微分方程 z S t S S 股票价格离散形式 z S S t S S t S S 2 2 2 2 2 1 衍生品价格（若为f(t,S)）离散形式 投资组合： 只股票+衍生品空头 组合价值：S S 12 Black-Scholes-Merton微分方程 组合在 时间内的变化量：S S 由无套利假设： t r Black-Scholes-Merton微分方程13 满足BSM微分方程的f均可作为可交易衍生产品的 理论价格； 若某衍生品价格f=f(t,S)，则f满足BSM微分方程； 不同的产品，定解条件不同： 欧式看涨期权： 欧式看跌期权： 远期合约： Black-Scholes-Merton
6、微分方程14 利用风险中性定价公式定价 BSM微分方程中不含 体现投资者们对风险的态度，对风险补偿的要求 衍生品的价格由无套利原则给出 在风险中性世界利用风险中性定价公式定价 如欧式看涨期权价格15 Black-Scholes公式 T d T T r K S d T T r K S d d N S d N e K p d N e K d N S c rT rT 1 0 2 0 1 1 0 2 2 1 0 ) 2 / 2 ( ) / ln() 2 / 2 ( ) / ln() ( ) ( ) ( ) ( 其中 欧式期权定价公式16 Black-Scholes公式 N(d 2 )表示期权会被执行的
7、概率（风险中性世界中）17 Black-Scholes公式 BS公式与期权价格性质相一致 S 0 很大，看涨期权几乎肯定会执行，公式计算的 c 趋近于S 0 Ke -rT S 0 很小，看涨期权几乎不会执行，而 c 趋近于0 Put-Call parity 18 隐含波动率 实际应用中，利用BS定价公式通常采用隐含波动率 隐含波动率指隐含在期权市场价格中的波动率，即 使得BS定价与市场价格相等的波动率 隐含波动率体现市场对股票波动率的看法 与根据历史数据估计波动率的差别： forward looking vs backward looking19 Warrant的价格 回忆与普通期权的区别：执
8、行导致发行新股 If little or no benefits are foreseen by the market the stock price will reduce at the time the issue of is announced. There is no further dilution 股票市值+权证价值=公司权益价值 Before they are issued we can calculate the cost of each option as N/(N+M)times the price of a regular option with the same terms20 例13-7 公司发行100万股票，股价$40，公司考虑发行20万份 权证，5年后到期，敲定价格$60，费用？（假设利率 3%，波动率30%） 由BS公式，普通期权价格$7.04，故权证价格为$5.87
