1、,第一章 命题逻辑,第八讲,回 顾,一、 蕴含公式定义1-13 设A，B是命题公式, 若AB是重言式, 则称AB是蕴含重言式，记为AB ，读作“A永真蕴含B”。简称A蕴含B 即 AB iff AB 1注意: 与 是意义不同的符号。,二、证明A永真蕴含B的方法,方法一：用真值表法或等价变换(推导)法证明AB 1,方法二：通过分析的方法来证明一个条件命题是蕴含式,方法二：由于原 命题等值于其逆反 命题，即 ABBA ，所以用分析法证明AB ， 有如下两种方法: (1) 假设前件A为真时, 推出后件B也为真, 则AB ; (2) 假设后件B为假时, 推出前件A也为假, 则AB 。,证明下列各式: (
2、PQ)Q(PQ) (PP Q) (PP R) QR,推理理论定义1-27 设 是命题公式，当且仅当 则称C是前提集合 的有效结论。 判别有效结论的过程就是论证的过程，论证方法千变万化，但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。,（一）真值表法,（二）构造证明法 (1)推理规则 常用的推理规则有：P规则： 在推导的任意一步都可以引入一个前提。T规则： 如果公式S等价于或被重言蕴含在一个或多个前提或中间结果命题中，则推导中可以引入S。CP规则： 如果能从R及一组前提推导出C，则可从这组前提推导出RC。 设前提 若 则,(2)推理定律 在推导过程除推理规则外,还需要推理定律,这些推理定律就是前面所讲
3、的常用的蕴含式（用I表示）和命题定律（用E表示）。现在将蕴含式和命题定律再次显示如下。,化简1,附加,化简2,化简2,假言推论,拒取式,假言三段论,二难推论,常用的命题等 价公式：,交换律 E1,结合律 E2,分配律 E3,同一律 E4,互否律 E5,双否律 E6,等幂律 E7,零一律 E8,吸收律 E9,德摩根律 E10,联结词归化,E12,E13,E11,E14,E15,（3）推理方法 直接证明法 利用推理规则和已知的等价式和蕴含式，从前提集合中直接推导出有效结论。例1-29 证明 证明：,PT(1)E11 联结词归化 PT(2)(3)I13 假言三段论T(4)E14 PT(5)(6)I1
4、3 假言三段论T(7)E11 联结词归化,PT(1)E11 联结词归化PT(2)(3)I12 拒取式 PT(5) E10 德.摩根公式T(6)E11 联结词归化T(4)(7)I12 拒取式,例1-30 推理证明,前提：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。结论：羊不吃草。 （注意：一般以分号“；”或句号“。”表示一个完整独立的前提语句）,解 首先将命题符号化。设P： 马会飞 ； Q： 羊吃草；R： 母鸡是飞鸟； S： 烤熟的鸭子还会跑； 则上述命题符号化为：前提：PQR，RS，S；结论：Q。,证明： (1) S P (2)RS P (3)
5、R T(1),(2) I (4)PQR P (5)(PQ) T(3),(4) I (6)PQ T(5) E (7)Q T(6) I,前提：PQR，RS，S；结论：Q。,例1-31 张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎，问张三、李四、王五三人到底谁说真话，谁说假话？解: 设 P：张三说真话; Q：李四说真话; R：王五说真话,则依题意可得前提:,推理过程如下：,PPT(1)(2)I13PT(3)(4)I13T(5)E11T(6)E9PT(7)(8)I11PT(9)(10)I11T(7)(9)(11)I9,推导结果:李四说真话,其余两人说假话。,【案例】公安局审理一起盗窃案
6、,已知:（1）甲或乙盗窃了电脑。（2）若甲盗窃电脑，则作案时间不可能发生在午夜前。（3）若乙证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭。（4）若乙证词不正确，则作案时间发生在午夜前。（5）午夜时屋里灯光灭了。问：谁是盗窃犯？解: 设p：甲盗窃了电脑， Q：乙盗窃了电脑， R：作案时间发生在午夜前， S：乙证词正确， T：午夜时屋里灯光灭了。前提：pQ ，pR ，ST ，SR，T推理过程如下：,PPT(1)(2)I12 拒取式PT(3)(4)I11 假言推论PT(5)(6)I12 拒取式PT(7)(8)I10,推导结果：乙盗窃了电脑。,前提：pQ ，pR ，ST ，SR，T, 间接证明法 1.间接证明法1
7、 设前提集合为 如果 ，则 为1。 因为 ，所以 为1。 又因为 ， 为永真式， 为矛盾式。所以只要证明 为矛盾式，则论证有效。 方法：在推导过程中，将结论的否定作为附加前提引入，与前提一起推导出矛盾的结果。,例 推理证明证明：,P附PT(1)(2)I11 假言推论PT(4)E10 德.摩根公式T(5)I1 化简式T(3)(6)I9 矛盾,故论证有效。,练习 在意甲比赛中，假如有四只球队，其比赛情况如下： 如果国际米兰队获得冠军，则AC米兰队或尤文图斯队获得亚军；若尤文图斯队获得亚军，国际米兰队不能获得冠军；若拉齐奥队获得亚军，则AC米兰队不能获得亚军；最后，国际米兰队获得冠军。所以，拉齐奥队
8、不能获得亚军。,证明 首先将命题符号化，设P：国际米兰队获得冠军；Q：AC米兰队获得亚军；R：尤文图斯队获得亚军；S：拉齐奥队获得亚军；则原命题可符号化为：前提：P（QR） （QR） ， RP，SQ，P结论：S,使用反证方法（1） (S) 附P（2） S T(1)，E（3） SQ P（4）Q T(2)，(3)，I（5） P P（6） P（QR） （QR） P（7）（QR） （QR） T(5)，(6)，I（8） R T(4)，(7)，I（9） RP P（10）P T(8)，(9)，I（11） PP T(6)，(10)，I 矛盾因此假设不成立，原结论成立，即拉齐奥队不能获得亚军。,2.间接证明法2
9、 如果结论是一个条件命题，如 要证明 为永真式，只须证明 为永真式即可。这就是前面所说的CP规则。 设前提集合 ，因为 方法：在推导过程中，把结论的前件作为附加前提引入，然后按直接证明的方法推导出结论的后件。,例 推理证明证明：,附PT(1)I1 化简式PT(2)(3)I11 假言推论PT(1)I2 化简式T(5)(6)I11 假言推论T(4)(7)I9CP,课 后 作 业,下周上交作业,判断下述论述是否正确：,如果张伟的学期论文得到优，即使不做课堂报告，她也能通过考试。不幸的是，她的学期论文没有得到优，所以她要想通过考试，就不得不做课堂报告了。,堂上练习推理证明(形式证明)下列各式: (1) (2) AB, CB AC (3)(AB)(CD),BE, DF,(EF),ACA (4) SQ,RQ,R(RS),
