1、第26卷 第5期V0126 No5广东教育学院学报Journal of Guangdong Education 1nstitute2006年10月oct2006亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究江俊勤(广东教育学院物理系，广东广州510303)摘要：用Mathematica研究了亥姆霍兹线圈中心区域磁场的均匀性给出了多种区域所对应的取(z，y)和B，(z，y)的三维分布图，从而求出了这些区域内磁场的均匀度关键词：亥姆霍兹线圈；磁场；均匀度中图分类号：0 441文献标识码：A文章编号：10078754(2006)05一006l06引言匀强磁场在物理学的理论分析和实验研究中都起着十分重要的作用亥姆霍兹线
2、圈是由一对半径都为R、同轴放置且间距n等于半径R的圆线圈构成的12，由于它结构简单又能产生均匀性较好的磁场，因而成为磁测量等物理实验的重要组成部件虽然已经有人对亥姆霍兹线圈磁场的均匀性问题做过专门的研究3“，但由于亥姆霍兹线圈的磁感应强度不能用初等函数表示，因此人们采用了各种近似方法进行研究其中文献3用离散的求和近似代替连续的积分(格点法)，编写程序进行数值计算，其过程复杂，但结果却很不直观；文献4则用级数展开法计算磁感应强度，计算过程也比较复杂而且其计算方法只适应于近心区(即l z IR和I y IR)，在非近心区其结论是不对的Mathematica是wolfram Research公司开发
3、的一套专门进行数学计算的软件，自从1988年问世至今，已经在科学技术的各个领域中发挥了重要作用本文利用Mathematica强大的数学运算能力和杰出的绘制三维图形的功能，对亥姆霍兹线圈中心区域磁场的均匀性进行研究，以达到计算过程自动化、计算结果可靠而且形象直观的目的1 一对共轴圆线圈的磁场先计算单个圆线圈的磁感应强度吾。由于载流线圈具有轴对称性，不妨设场点P在zoy平面内，如图1所示，则有，图l 单线圈一z+(yRcos驴)7一Rsin蕾，d 7一(一RcosP7十Rsin妒蓐)dP，代人毕奥一萨伐尔定律得 置。一射学=豇圳)了+瓠训)了，式中。 既e训)一艨毗，y)一静(zB1，(训)=牒静
4、(刎)其中收稿日期：200607一08基金项目：广东省高校自然科学基金资助项目(z02083)；广东教育学院教授博士专项经费资助项目作者简介：江俊勤(1962一)，男，广东揭阳人，广东教育学院物理系教授万方数据62 广东教育学院学报 第26卷，y) 杏1幕繇。图2 亥姆霍兹线圈毗=R3r丽再下孝瓦研，(1)“五y)=戤J。面干万再墨丽丽， (1)疗r，、一R3f2” 曼Q璺碰翌 f9、肌，y)_R3j。画i本嵩瓣。 现在计算一对共轴圆线圈的磁感应强度B设两线圈的间距为口，取如图2所示坐标系，则两线圈的圆心坐标分别为(一口2，o)和(口2，o)，考虑在驯平面内的场点(z，y)，则点(z，了)处的
5、磁感应强度为B(z，y)一躲口(z一号，y)一静(z一号，y)+口(z+号，y)一静(z+号，y)，B，(z，y)一等妻(素一号)卢(z一号，3，)+(素+詈)p(z+号，y)，其中a(za2，y)和风zn2，y)分别由(1)式和(2)式决定(3)(4)由于载流线圈具有轴对称性，所以点(z，y)代表了圆柱面上，与掣z平面的距离为z的一个点(圆柱面以吡为中心轴、以lDI y f为半径)也就说，段(z，3，)为磁感应强度的轴向分量，日(z，y)为磁感应强度的径向分量(无垂直于径向的螺旋分量)2 亥姆霍兹线圈的磁场均匀度的研究所谓匀强磁场，是指磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同(可定为芏方向)所
6、以在讨论亥姆霍兹线圈磁场的均匀度时必须从两个方面来考虑：1)在各点处B(z，y)大小的均匀性；2)在各点处磁感应强度方向的同一性21 nR取何值时磁场的均匀度最好当两线圈的间距口与线圈半径R满足什么关系时，中心区域的磁场最均匀呢?本文用绘制三维图形的方法，形象直观地说明这个问题为了求成(z，y)和B，(z，y)的值，必须计算积分口(z口2，3，)和风z口2，y)，这4个积分不能用初等函数表示，必须用椭圆积分表示在Mathematica中，椭圆积分(有多种类型)是常用的内部函数，对它们的调用如同初等函数(sin，cos等)一样方便、快捷和准确；更重要的是，在Mathematica中对这类积分的计
7、算是由软件自动完成的，若以R作为z和y的单位长度，以玩一胁，(2尺)(玩是单个线圈时圆心处的磁感应强度的大小)作为B(z，y)的基本单位，并输入适当的z。和y。值，就可快捷地画出在区域一勘zRz。和一yoyRyo内，各种口值所对应的精美三维图形(计算并画出每幅图只需约5秒钟)图3图5分别给出了当口Ro6，nR一13，nR一1时及(z，y)的分布图，图6给出了当口R一1时B，(z，y)的分布图由图3图6以及其它更全面的计算(限于篇幅，未画出)可知：1)在中心区域内(例如：一o5zRo5和一o43，Ro4)，B，(z，y)比髓(z，3f)小得多，所以B，(z，y)的大小就是B(z，y)的大小了(例
8、如：当nR一1时，I B，(z，y)I段(z，y)7，见图5和图6，而B=B：1+(B，B，)2，故聩B10024B。)，即B(z，了)的均匀性由轴向分量眈(z，y)的均匀性决定；2)当口一R时，中心区域磁感应强度的轴向分量段(z，y)(即B(z，y)最均匀万方数据第5期 江俊勤：亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究 63图3 当口R=06时。风(x，y)的分布图 图4 当口R=13时。甄(膏。y)的分布图图5 当nR=l时。玫(工。y)的分布图 图6 当nR=l时，B，(x。岁)的分布图22成(x，y)的均匀度B，(丁，y)的均匀度可以通过B(z，y)与B(o，o)的相对偏差艿一I盟等意她 (5)来
9、表征，称艿为“磁场大小的偏差率”，艿越小，均匀度越高当日一R时，用Mathematica软件(或解析法)容易求得B。(o，o)一16125 Bd一1431 08成，为了方便，记B0一日(o，o)计算结果表明，越靠近中心点(o，o)，均匀度越高给定艿的值，取B。的允许取值范围为1一艿，B，B(】1+艿调节z。和弘的值，使段B。的下限为l一艿，上限为1+占，就求出了满足相对偏差小于艿的均匀区图7图10分别给出了当艿5，d2，艿1和艿o1时B，(z，y)的分布图Mathematica画图时，z轴和y轴的刻度是自动设定的，从图7图10只看出zR和yR大致的范围，但在调节z。和帅的值的过程中清楚可知：图
10、7 当nR=l。65时。风(工，j，)的分布图 图8 当nR=1，62时。质(x，y)的分布图万方数据若要求艿5，则一O49zRo49，一o43yRo43；若要求艿2，则一o38zRo38，一o33yRo33；若要求艿1，则一o31zRo31，一o27yRo27；若要求艿o1，则一o17zRo17，一o15yRo15图9 当4Rl。61时。风(z。y)的分布图 图10 当口R=l，6O1时风(工，j，)的分布图23 磁感应强度方向的同一性在各点处磁感应强度方向的同一性，是磁场均匀度的重要指标之一，但在过去的文献中3“1都没有讨论实际上，由于中心区域内磁感应强度B(z，y)的方向主要指向奎方向(
11、如图2所示)，所以径向分量目(z，y)与轴向分量B。(z，y)的比值描写了磁感应强度方向的同一性，令 r=I嬲ll嚣涨I则r越小表示磁场方向的同一性越好，r称为“磁场方向的偏差率”图11图14分别给出了下列4种区域中B，(z，y)的分布图：1)一049zR049，一043yR043；2)一O38zR038，033yR033；3)一031zR031，一O273RO27；4)一017zR017，O15yRO15；从图11图14所对应的B，(z，y)值，可求得上述4种区域的r值分别为：1)r7；2)r2；3)r1；4)r007图ll 当口R=l。一049xRO49。一043yR043时。马(工，y)
12、的分布图图12当nR=l，一038xR038。一O33yR033时。马(工，j，)的分布图万方数据第5期 江俊勤：亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究 65图13 当口R=l。一03l工RO31一O27yRO27时，玛【x。y)的分布图图14 当口R=l。一O17枷017，一O15j，RO15时。马(x。y)的分布图3 结论与讨论本文利用Mathematica强大的数学运算能力和杰出的绘制三维图形的功能，画出了各种区域内亥姆霍兹线圈磁场的轴向分量眈(z，y)和径向分量日(z，y)的立体分布图形象直观地说明“当两线圈的间距等于线圈半径(口一R)时，中心区域的磁场最均匀”；并进一步求出了各种区域内“磁场大
13、小的偏差率艿”和“磁场方向的偏差率r”为了实验上应用的方便，现将4种区域内占和r的值统一列在表1中表1 4种区域内8和r的值(pI y l为圆柱体的半径)值得指出的是：文献4不但没有讨论磁场方向的偏差率f，而且B，(z，y)的计算是用级数展开法进行的，其结果是不可靠的在文献4中，级数展开分两步进行：第一步，令M一2Ry(z士z。)2+岁2+R2(其中z。一R2)，把a(za2，y)和J|9(z口2，y)中的被积函数展开成“的幂级数，并计算到1 r2“击l(1一甜cos9)-32如1+o9375“2+o922852“4厶7【J 01 r2E去J。cos9(卜姗s9)q俚如o75“+o820313
14、“3第二步，把上述结果代人Br(z，y)并展开成zR和yR的幂级数至4次方以上做法只有在近心区(I z IR和I y lR)才是可行的对于一般的场点，级数展开的第一步已造成了很大的误差，例如：当zo4R和yo5R时，“一o793651(对应于负号)，这时1+09375“2+1 r2“o922852“4=195666(但是麦l(1一甜co叩)_372如的正确值应为25728)，o75“+o820313“3一厶7【J O1 r2“100532(但去J。cos妒(1一“c08妒)_3肥如的正确值应为173699)再加上第二步级数展开所带来的误差，文献4的做法所造成的误差是很大的本文的结果表明：即使当
15、I z Io3R和I y Io3R(但不是l z IR和I y IR)时，文献4万方数据66 广东教育学院学报 第26卷的做法也会产生较大的误差，例如：当要求艿1时，文献4所得结果为一o23794尺zo23794R和一o19857Rj，o19857R，这个区域比本文的正确结果一o31zRo31和一o27yRO27窄了许多(文献4的第一位有效数字已经不对，保留五位有效数字是没有意义的)；当给定do1时，文献4所得结果为和一o1338Rzo1338R和一o11166Ryo11166R，也比本文的正确结果一o17zRO17和一o15yRo15窄了不少参考文献：1赵凯华电磁学(上册)M北京：高等教育出
16、版社，1981：2852882程守洙，江之永普通物理学(第2册)M北京：高等教育出版社，1982：1511523王森，罗成亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析J大学物理，1998，17(3)：17204曾晓英亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析及误差估算J物理实验，2000，20(5)：3839A Study on the Uniformity of the MagneticField of the Helmholtz CoilJIANG J un-qin(Deptof Physics。Guangdong Education Institute，Guangzhou，Guangdong，510303，PRChi
17、na)Abst陇ct：The unifomity of the magnetic field of the Helmholtz coil is studied by using themathematica The three_dimensional pictures of B工(z，y)and By(z，y)in various regions are showedKey words：Helmholtz coil；magnetic field；uniformity万方数据亥姆霍兹线圈磁场均匀性的研究作者： 江俊勤， JIANG Jun-qin作者单位： 广东教育学院,物理系,广东,广州,51
18、0303刊名： 广东教育学院学报英文刊名： JOURNAL OF GUANGDONG EDUCATION INSTITUTE年，卷(期)： 2006,26(5)被引用次数： 4次参考文献(4条)1.赵凯华;陈熙谋 电磁学 19812.程守洙;江之永 普通物理学 19823.王森;罗成 亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析期刊论文-大学物理 1998(03)4.曾晓英 亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析及误差估算期刊论文-物理实验 2000(05)本文读者也读过(10条)1. 宋起柱.王文俭.张骏驰.Song Qizhu.Wang Wenjian.Zhang Junchi 亥姆霍兹线圈场均匀性的仿真研究期刊论
19、文-安全与电磁兼容2010(2)2. 罗兴垅.LUO Xing-long 圆环电流及亥姆霍兹线圈磁场的一种数值解法期刊论文-赣南师范学院学报2006,27(3)3. 曾晓英 亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析及误差估算期刊论文-物理实验2000,20(5)4. 曾晓英.ZENG Xiao-ying 亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析期刊论文-长沙交通学院学报1999,15(4)5. 张昌莘.席伟.何颖君 圆电流和亥姆霍兹线圈磁场的研究期刊论文-安徽师范大学学报(自然科学版)2004,27(1)6. 李君良.吕玉祥.魏循.杨慧岩.杨周琴.LI Jun-Liang.L Yu-xiang.WEI Xun.YAN
20、G Hui-yan.YANG Zhou-qin 亥姆霍兹线圈的磁场及其测量期刊论文-太原理工大学学报2005,36(5)7. 何冰心.王瑞东.孟凡茂.HE Bing-xin.WANG Rui-dong.MENG Fan-mao 霍尔效应法测量亥姆霍兹线圈空间磁场均匀区期刊论文-沈阳师范大学学报（自然科学版）2005,23(4)8. 王森.罗成.Wang Sen.Luo Cheng 亥姆霍兹线圈磁场的均匀性分析期刊论文-大学物理1998,17(3)9. 朱业俊.陶小平.孙腊珍.ZHU Ye-jun.TAO Xiao-ping.SUN La-zhen 亥姆霍兹线圈磁场的探究期刊论文-物理实验2010,30(3)10. 张伟.ZHANG Wei 基于有限元法对亥姆霍兹线圈磁场的分析期刊论文-现代电子技术2009,32(10)引证文献(4条)1.张伟 基于有限元法对亥姆霍兹线圈磁场的分析期刊论文-现代电子技术 2009(10)2.张伟 基于有限元法对亥姆霍兹线圈磁场的分析期刊论文-西安文理学院学报（自然科学版） 2009(3)3.李达.陈文幸 三线圈磁场均匀性的分析期刊论文-重庆文理学院学报（自然科学版） 2008(5)4.司文建.周楠.曹玉松 基于MATLAB的亥姆霍兹线圈轴线磁场均匀分布的动态仿真期刊论文-许昌学院学报2010(5)本文链接：http:/
