1、莱西市数学公开课教案课 题：二项式定理及应用课 型：复习课教学目标： 1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点：能利用二项式定理解决相关问题 教学难点：二项展开式系数的性质及应用教学方法：讲练
2、结合教 具：多媒体教学过程：一、课前练习1、设 n 为自然数，则 等于（ D nknknn CCC)1(2)1(210 ）（A） （B ）0 （C）1 （D）12、(2007 江西) 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于（C nx)3(）（A）4 （B）5 ( C)6 (D)73、(2007 重庆) 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 （B ）nx)1(（A）10 （B）20 （C ）30 （D）1204、 （2007 安徽）已知 a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a 0+a2+a4)(a1+a3+a5)= -2565)
3、(小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。二、复习提问：1.二项式定理： nrnrnnn bCabaCaCb 210)(教师强调展开式的特点： （1）项数 n+1 项 （2）二项式系数 依次为 ,C ,C ,C012n(3)指数的特点 1)a 的指数 由 n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由 0 n（升幂）,b 的指数与该项组合数的上标相等。 3）a 和 b 的指数和为 n。
4、抓住特点会逆用。说明：（1） 、a n-kbk 相当于从 n 个(a+b)中取出 k 个 b，其余 n-k 个(a+b)中都取 a，共 种取法,故 an-kbkknC的系数为 ，叫做二项式系数。 nC(2) 与 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的。)(n)(（3）展开式是一个恒等式，a，b 可取任意的复数，n 为任意的正整数。由这个恒等式 a，b 取值的任意性，我们可以令 a，b 分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法” 。2.二项式通项公式： （r=0,1,2,n）反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内rrnrbaCT1在联系3.二项式系数的性质：（1）在二
5、项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。（2）二项式系数 ，当 k 时，是递减的;因此kn2121n如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，为 nC如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大，为 和 2121n（3） nnnn CC212210 （奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式153142 系数之和） 4. 注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。（2）区分“某项” 、 “某项的二项式系数” 、 “某项的系数” ，如 的展开式中，第 r+1 项nx)2(为 ，二项式系数为 ，项的系数为 。rnrrxCT1 rnCrn设计目的：
6、（1）理解并掌握二项式定理，从几个特征熟记它的展开式。 （2）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。三、典例分析类型一 二项展开式及通项公式的应用二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数等。例 1、已知在 的展开式中，第 6 项为常数项。nx)21(3（1）求 n；（2）求含 x2 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项点拨：求指定项应借助通项公式确定 r 值解析：（1）通项公式为 =331)21(rnr xCT32)1(rnnxC因为第 6 项为常数项，所以 r=5 时,有 =0,即 n=10(2)令 =
7、2，得 r=32rn2)610(2)6(1n所求项的系数为 45210C（3）据通项公式，由题意 Zr,103令 =k(kZ),10-2r=3k,r=5- k,210r2rZ,k 为偶数。k 可取 2，0，-2，即 r 可取 2，5，8所以第 3、6、9 项为有理项，分别为 ，210)(xC2810510)(,)(xC回顾总结：（1）解此类问题分两步：1、据所给条件和通项公式列方程求指数 n，2、利用通项公式求指定项 （2）区别有理数、有理项、无理项、整式项反馈练习：求 的展开式里有多少个有理项？103)(yx解：设展开式的第 项为有理项，则r32501C)()(rrrryxT对于一切有理项，
8、 、 必为整数，则 r 必是 6 的倍数。又 ，0r 96,126解得 。)(9n17n故 展开式中的有理项有 17 个。103yx思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？设计目的：使学生掌握利用通项公式求指定项的一般方法，渗透转化思想。类型二：项的系数、二项式系数的性质及应用例 2、已知 的展开式中，某一项的系数是它前一项的系数的 2 倍，而等于它后一项系数的 。nx)1( 65（1） 求该展开式中二项式系数最大的项；（2） 求该展开式中系数最大的项。（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不一定是中间一项）解析：（1）第 r+1 项系数为 ，第 r 项系数为 ，第 r+2 项
9、系数为 ，rnC212rnC12rnC由题意得 整理得 即 求得 n=7 1rn2Crn1rnC)1(3(52rn二项式系数最大的项是第 4 项和第 5 项，即（）假设第项的系数最大，则即 即 解得17r72Cr12)!6(72r)!-(78!rrr 12r-78361又rN,第六项的系数最大，展开式中系数最大项为 255766)2(xCT回顾总结：求展开式中系数最大项步骤是：先假定第 r+1 项系数最大，则它大于等于相邻两项的系数，列出不等式组求解。反馈练习：在二项式 的展开式中，求系数最小的项的系数。1)(x解：因为在 的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项
10、式系数最大的项有两项，分别为第六项 、第七项 ，所以系数最小的项的系数5651)(Cx6561)(Cx为 .462C51设计目的： 区分并掌握求二项式系数最大项和系数最大项的基本方法，提高灵活应用能力，锻炼运算能力及转化思想。类型三：赋值法在二项展开式中的应用例 3、设(2x) 7=a0+a1x+a2x2+ +a7x7，求：（1）a 1+a2+ +a7 的值（2）a 0+a2+a4+a6 的值（3）|a 0|+|a1|+|a2|+ +|a7|的值 .解析：令 x=1，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 令 x= 1，则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
11、(1)a 0= 27=128,a 1+a2+ a8=127.C(2) ( +)2 得：a 0+a2+a4+a6= =109437（3） （法一）( -)2 得： a1+a3+a5+a7= =10932(2x )7 展开式中 a0，a 2，a 4，a 6 大于零，而 a1，a 3，a 5，a 7 小于零24723374 60)(,80)( xTxT|a 0|+|a1|+|a2|+ +|a7|=（a 0+a2+a4+a6）（a 1+a3+a5+a7） =2187（法二）|a 0|+|a1|+|a2|+ +|a7|即 (2+x)7 展开式中各项系数和|a 0|+|a1|+|a2|+ +|a7|=37
12、=2187回顾总结：【1】求二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,an 的和或奇数项偶数项系数和用“赋值法” ，设f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn 则 a 0+a1+a2+a3+an=f(1) a 0-a1+a2-a3+(-1)nan=f(-1) a 0+a2+a4+a6= a 1+a3+a5+a7= a 0=f(0) )(f )1(f【2】注意化归思想、整体思想应用，锻炼发散思维，提高应变能力。反馈练习：设： 。求： 的值。32103)( xxx 23120)()(解：在 32aa令 ，得 1x 3120 )()()(令 ，得 3两式相乘得 。1)()( 32120
13、aa设计目的：进行化归思想、整体思想的渗透，锻炼发散思维，提高应变能力。四、课堂小结：本节主要复习了二项式定理的展开式的特点及其二项式定理在解题中的应用。1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数； 3、求系数和或部分系数和时，通常用赋值法；4、运用二项式系数最大值性质时应注意区分 n 是偶数还是奇数；5、通项公式及其应用是复习二项式定理的基本问题，要达到熟练的程度。五：能力自测1、(x 3+ 展开式中，只有第 6 项的系数最大，展开式中的常数项是_.2102)n2、设 S=(x1) 4+4(x1) 3+6(x1) 2+4(x1)+1，它等于下式
14、中的（ C ）（A）(x2) 4 （B）( x1) 4 （C）x 4 （D ）(x+1) 43、求(1+x)+(1+x )2+(1+x)3+(1+x)15 的展开式中 x3 的系数解：（法一） 163554315543 CC（法二）原式= xx)()()(116展开式中 x3 的系数为 464、求 的展开式中 项的系数。52)()2x解：在 中 项的系数为 ，常数项为 131x3)1(C3在 中 项的系数为 ，常数项为 152)1(x202C4故在 的展开式中 项的系数为 。53)(x303（另解） 2x 个共 52)1()(1)(x由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展
15、开式中 项的系数为2x132C1)(75623六、思考：有关三项式的问题例题：求(x 2+3x+2)5 展开式中含 x 项的系数。点拨：三项式的展开式问题一定可以通过变形，转化为二项式的问题。解法 1： 5252 )3()3(x。5542458150 )23(C)(C(C xx显然只有 中含有 x 项，其系数为)2x。40345解法 2：由于 5552 )2(1)(xx )2CC5454545415 xx 展开式中含 x 项的系数是。2063245解法 3：(x 2+3x+2)5=(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)； 含 x 项可
16、从其中一个因式选 3x,其余因式选 2 相乘即得展开式中含 x 项的系数是 3 =24015C4回顾总结：（1）研究多项式展开式中的问题可用化归法、组合法；（2）注重化归思想的应用和发散思维的锻炼，提高应变能力。六、课后作业1、若 ，则 n=（ ）02432nnnCC（A） 5 （B）6 （C ）7 （D）82、(1+x)(2+x)(3+x)(20+x )的展开式，x 19 项的系数_.3、已知 的展开式中 x 的系数为 19，求：)N(1)( mnm、（1）展开式中 系数的最小值；（2）当 的系数最小时，求 的系数。274、已知二项式 中， 但 。若展开式中的最大系数项是12)(nmbxa02,0nmba常数项，求 的取值范围。5、 展开式中的常数项是（ ）.31(|2)|x（A）20 （B）12 （C ）8 （D）20
