1、1汕头市金山中学 2017 届高三上学期期中考试数学（文科）本试题分第 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，时间 120 分钟.第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集 UR，集合 |23Ax ， |14Bx或 ，那么集合)(BCA等于（ ）A 3, B |34或 C ),2 D ),22 “ ba0”是“ 1”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.数列 n的前 项和为 nS，若 5418a，则 8S（ ）A.
2、 18 B. 36 C. 54 D.724. 已知 2log,)31(52.02.1cba，则 a，b ，c 的大小关系为（ ）Ac=cxaf的解集为 )1,2-(，那么函数 (-)yfx的大致图象是( ) 28.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 231，则 a的值为（ ） A13 B12 C11 D109已知函数 2lnxfx，则函数 yfx的大致图像为（ ）10. 已知 3,2，满足 tan2tan0，则 tan的最小值是（ ）A 4 B 4 C 34 D 32411. 如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图为直角三角形，俯视图是等边三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）
3、A 203 B 193 C D 812. 设函数 ()fx的定义域为 R , (),()2)fxfxf, 当 0,1x时，3()fx，则函数 cos(g在区间 13上的所有零点的和为（ ）A 4 B 3 C 2 D第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13 函数 3)2-1ln()xf的定义域是 14函数 a（ 在 处 的 切 线 经过点 2,0(P，则 a 15已知 yx,满足约束条件 01y4-2x，则 yxz4的最小值为 16已知函数 )(,3ln)(2axgf ，若对任意的3OMDCBA2,0(1x，存在 2,1x，使得 )(2
4、1xgf成立，则 a的取值范围是 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）已 知 ABC 内 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 为 a、 b、 c,满足 ： aAccos3sin（1）求 角 C； （2）若 c= ， 且 sinB=5sinA， 求 ABC 的 面 积 18 （本小题满分 12 分）如图，在多面体 DM中， 是等边三角形， CD是等腰直角三角形， 90MD，平面 平面 ， 平面 ，点 O为CD的中点（1） 求证： O平面 AB；（2） 若 2C，求三棱锥 ABDM的体积19 （本小题满分 1
5、2 分）某种商品的成本为 5 元/ 件，开始按 8 元/件销售，销售量为 50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件；而降价后，日销售量 Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：239(07)x (5)x865 8（1）求总利润（利润销售额成本）y（元）与销售价 x（元/件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.20.（本小题满分 12 分）如图，椭圆2:1(0)xyEab经过点 (,1)A，且离心率为 2.（1）求椭圆 E的方程；（2）经过点 (,1)，且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不
6、同两点 ,PQ（均异于点 A） ，证明：直线 AP与 Q的斜率之和为 2.Q421 （本小题满分 12 分）已知函数 21lnfxax， R. 求函数 f(x)的单调区间; 是否存在实数 a，使得函数 f(x)的极值大于 0？若存在，求 a的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：平面几何证明选讲如 图 ， ABC 内 接 于 直 径 为 BC 的 圆 O， 过 点 A 作 圆 O 的 切 线
7、交 CB 的 延 长 线 于 点 P， BAC 的 平 分 线 分 别 交 BC 和 圆 O 于点 D、 E， 若 PA=2PB=10（ 1） 求 证 ： AC=2AB； （ 2） 求 ADDE 的 值 23 （本题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy中，以原点 为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线1C： cos,3int （ 为参数）， 2C： 6cos,iny（ 为参数）.（ 1） 化 ， 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2） 若 1上的点 P对应的参数为 t， Q为 2上的动点，求线段 PQ的中点M到直线 3:cosin83
8、 距离的最小值 . 24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 (),0()fxmfx的解集为 ,2,（ 1） 求 的值； （ 2） 若 R，使得 23()1ft成立，求实数 t的取值范围5HOMDCBA数学（文科）参考答案AADAD ACCAB BB13. ）21，3-（ ;14. 21)(21yx或 02yx;15. ;16. 8a17.解 ： （1） ， 由 正 弦 定 理 可 得sinCsinA= sinAcosC， 2 分 sinA0， ，得 ， 4 分 C （ 0， ） ， 5 分（2） sinB=5sinA， 由 正 弦 定 理 可 知 b=5a （ 1） 7
9、分由 余 弦 定 理 c2=a2+b2 2abcosC， ， （ 2） 8 分由 （ 1） （ 2） 解 得 a=5， b=1， 10 分 12 分18.（1）证明： CMD是等腰直角三角形，90，点 O为 的中点， OMCD 平面 平面 B，平面 平面 ，平面 CD， M平面 4 分 AB平面 , O AB 5 分 平面 , 平面 , O平面 6 分（2）法 1：由（1）知 平面 , 点 到平面 D的距离等于点 到平面 D的距离 7 分 2C， 是等边三角形,点 O为 C的中点 23484312BCSBDBOD 8 分 OBDABDABDMVV0 10 分6323131ABSOD 12 分法
10、 2：由（1）知 M平面 , 点 到平面 的距离等于点 到平面 ABD的距离 7 分过 作 H，垂足为点 H， AB平面 C, 平面 , O 平面 D, 平面 , ， O平面 9 分 2， B是等边三角形， B， 1， 3sin602OH 10 分 ABDMABV32BD132 三棱锥 的体积为 12 分19.解：（1）据题意得 239(107)(5.7)86. 85().()xxy x3 分32295376()(8)10860xxx5 分（2）由（1）得：当 57x时， 329(53)yx 234()234(6)yxx当 56时， 0y， f为增函数当 7x时， ,()x为减函数当 时， m
11、ax()1695ff 8 分当 8x时， 3)0,y 9 分当 时， 20(x7当 9x时， max160y 11 分综上知：当 时，总利润最大，最大值为 195 12 分20. （1）椭圆2:(0)yEab经过点 (,1)A，且离心率为 2. 2,ceb 2 分 )(2baa b 故椭圆 E的方程为21xy4 分（2）由题设知，直线 PQ的方程为 ()1(2)kx， 5 分代入21xy，得2()4()2()0kxk， 6 分由已知 0，设 1,PyQ， 12x则 122()()xxkk， 8 分从而直线 A与 的斜率之和12121PQyxxkkx9 分21212()()kkx10 分4()(
12、). 12 分21（本小题满分 12 分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1） 解：函数 fx的定义域为 0,. 211axfx. 81 分 当 0a时， 1xf， 0, 0fx 函数 fx单调递增区间为 ,. 2 分 当 0a时，令 0f得210ax， x0 210ax. =1+4a.（）当 ，即 4时，得 2，故 f， 函数 fx的单调递增区间为 0,. 3 分（）当 0，即 14a时，方程 210ax的两个实根分别为12x， 2x. 若 04a，则 12,0，此时，
13、当 0,x时， 0fx.函数 fx的单调递增区间为 ,， 4 分若 0a，则 12,0，此时，当 x时， fx，当 2,x时， 0,fx函数 f的单调递增区间为 140,a，单调递减区间为 ,2a. 5 分综上所述，当 0时，函数 fx的单调递增区间为 140,2a，单调递减区间为 14,2a；当 0时，函数 fx的单调递增区间为 0,，无单调递减区间. 6 分（2） 解：由(1)得当 0a时，函数 fx在 上单调递增，故函数 f无极值； 7 分 9当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 140,2a，单调递减区间为14,2a；则 fx有极大值，其值为 2221()lnfxax，其中 2
14、14ax. 8 分而 210a，即 2a， 22()lnf. 9 分设函数 ()ln(0)xh，则 10hx， 则 2x在 ,上为增函数. 又 (1)0，则 ()x等价于 1x. 2fx2ln0等价于 2. 10 分 即在 a时，方程 ax的大根大于 1， 设 2()1x，由于 ()的图象是开口向上的抛物线，且经过点 (0,1)，对称轴 0a，则只需 0，即 0a解得 2a，而 ，故实数 的取值范围为 ,2. 12 分22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：平面几何证明选讲（ 1） 证 明 ： PA 是 圆 O 的 切 线 PAB= ACB 又 P 是 公 共 角 ABP CAP 2 分
15、=2， 4 分 AC=2AB 5 分（ 2） 解 ： 由 切 割 线 定 理 得 ： PA2=PBPC， PC=20 6 分又 PB=5， BC=15 7 分又 AD 是 BAC 的 平 分 线 ， =2， 8 分 CD=2DB， CD=10， DB=5又 由 相 交 弦 定 理 得 ： ADDE=CDDB=50 10 分23 （本题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程解:（） 221:()(3)1,xy， 2:1364xyC101C为圆心是 (4,3)，半径是 1的圆. 3 分2为中心在坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长是 6，短半轴长是 2的椭圆. 4 分（）当 t时， (,)P，5 分设 (6cosinQ 则 (23cos,in)M， 3C为直线 (8)0xy，7 分M到 的距离cs(i)(823)2d3cosin623os()63cos()6从而当 ()1,时， d取得最小值 10 分24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲解： 13fxm，所以 30fxm，0m， 或 x ， 2 分又 fx的解集为 ,2, 故 2 . 4 分23()1fxt等价于不等式2331xt，5分 4,31()3212,xgxx， 7 分故 max17()()2g， 8 分则有73t，即 2310t，解得12t或 t 11即实数的取值范围1,2 10 分
