1、广西科学Guangxi Sciences 2011，18(1)：1721一类SEIR传染病模型周期解的存在性Periodic Solution of a SEIR Epidemic Model徐翠翠XU CuiCUi(陕西铁路工程职业技术学院基础课部，陕西渭南 714000)(Shannxi Railway Institute，Weinan，Shaanxi，714000，China)摘要：通过研究一类传染率为周期函数且具有双线性传染项的SEIR模型的等价系统、子系统和其它的一些变换形式，两次利用拓扑度理论和连续性定理证明该模型至少存在一个正周期解，并通过数值模拟验证该结论是正确的关键词：传染病
2、模型周期解稳定性中图法分类号：017513 文献标识码：A 文章编号：10059164(2011)01-0017-05Abstract：We obtained the existence of one periodic solution of SEIR model with periodic infeetious parameter and bilinear incidence by using the coincidence degree theorem，continuous theorem，and other transformations twiceMeanwhile，numerical
3、 simulations verified our theoretical resultsKey words：epidemic model，periodic solution，stability周期现象是疾病传播过程中的一种常见现象温度、降雨等季节性变化常会导致一些疾病在每年相同的时间爆发。如流感等呼吸道疾病冬季是高发期探讨生物模型周期解存在性已成为众多生物数学家的研究方向，过去传统的方法是利用常微分方程以及常微分定性理论中的极限环理论来证明微分方程周期解的存在性，方法相对比较单一拓扑度理论的引入给周期解存在性证明打开了新天地，周期解理论的研究一度成为生物数学研究的热点，但是对生物模型的研究还
4、基本上局限在生态模型上15本文研究一类传染率为周期函数。具有双线性传染项的SEIR模型，通过研究其等价系统、子系统和一些变换，两次利用拓扑度理论和连续性定理得出系统至少存在一个正周期解的结论，并且通过数值模拟验证了这一结论，同时对周期解的稳定性也进行了数值模拟1 SEIR模型SEIR模型为收疆日期：2010-07-15修回日期：201009-29作者简介：徐翠翠(1984-)女，助教主要从事生物数学研究广西科学 2011年2月 第18卷第1期fS7(f)=A一口(t)S(t)J()一dS(f)，悟嚣嚣拦tZd；了棼D-，I J 7()=拉()一(+y+艿)J(f)， IR 7(t)=yI()一
5、dR(f)S()，J()，尺(f)，E(f)分别为易感者、感染者、恢复者、潜伏者的数量，A，d，y分别为单位时间内外界人口迁入量、自然死亡率、染病者恢复并具有免疫的比率，均为正常数，口，艿分别为单位时间内潜伏者向感染者的转化率和染病者的因病死亡率令K=ad，易得系统的基本再生数为R。() =石霸i兮之即感染者在平均病程期间传染率呈周期性变化设厂()为R上有界连续函数，卢()一 ，芊为tO一周期函数记卢：=一1 If(t)dt叫喘2 SElR模型的理论分析定理l 若R。2石可石苡警而1，则系统(11)至少存在一个正的叫一周期解定理1的生物学意义：感染者在平均病程期间传染的病人数，即基本再生数为周
6、期函数，当基本再生数的平均数尺。大于1时。疾病就会持续，且染病者数量会出现周期性变化1 7万方数据证明 系统(11)前3个方程与第4个方程独立，仅考虑新系统：fS(f)一A一口()S(f)J()一dS()，E7(f)=口(f)S()J()一(d+口)E(f)， (21)I，(t)=aE(t)一(d+y+艿)J()为方便运算，令S(f)=exp“()，E()=expu(f)，J()=exp硼()，不影响正周期解存在性，系统(21)化为fU 7(f)=Aexp一M()一卢exp叫(f)一d，ju(”，i擘xP、“()一口()+叫()一(22) (d+口)， 、l训7()=aexpu(f)一叫()一
7、l (d+y+艿)易得，系统(11)、(21)正一周期解与系统(22)cc，一周期解的存在性等价分析系统(22)。可以令z(f)=可(z)一仞()，从而能简化计算，减少维数，得z7(f)=辟xp“()一z()一aexpz(f)+(y+艿一a)，与系统(22)第l式组成系统：fU()一Aexp一“()一辟xp硼()一d，z 7()一雕xp“(f)一z()一aexpz(f)+【 (y+t?-口)(23)研究系统(23)叫一周期解存在性对任意的A(O，1)，考虑系统：fU(f)=AAexp一“(f)一J辟xpp似幻_引， (24)lz7()=A辟xp扰(f)一z()一【 aexpz(z)+(y+艿一
8、口)设存在A(0，1)使得(“()，z()丁为系统(24)的一周期解估计系统解的范围对系统(11)，令N(f)=S()+E()+J()+R()，则有A一(d+d)N()T时有S()一exp“()uM-f l“龟)I dln赤一2(d+胚)山=赴，赴0即得IexPxj(7-F B-a)q-4砭(7+B事-a)z五q-4flexp(sza，k酞心盟簟乒五五，z()ln盟丝_丛笪皿警生丝丝咀业：文，础)+m肛一雎础+一Lr。0，使得当tT时有 研寰两案(d+口)(d十y+艿)(d+口)(d+)，+艿)一一“从而jo，使得当Tltel“，有刁可i焦岩竿歹干面一1成立，可得L7()=研景笋!一1)绁等等
9、世洮，cL(f)从而L(t)Loexpet一00，t一与L()=aE()+(d+口)J()一0矛盾，因此得E(f)0，J(f)0，从而3 el0，使得L()。由(27)式，E=expz(f)J得 E(幻再可i蔫丽剐xP慨)“D蕊灭方i百而-exP瓶)从而得Wang M;Zeng X W Existence of two peri-odic solutions of a ratio-dependent predator-preymodel with exploited term 2005(03)2.Xamxinur A;Teng Z D On the persistence and extinc
10、-tion for a non-autonomous SIRS epidemic model期刊论文-生物数学学报 2006(02)3.胡新利 具有常数输入的非自治SIR流行病模型周期解的存在性期刊论文-纯粹数学与应用数学 2007(03)4.Doedel E J;Govaerts W;Kuznetsov Y A Computation of periodic solution bifurcation in ODES usingbordered systems外文期刊 2003(02)5.Li M Y;Graef J R;Wang L Global dynamics of a SEIR mod
11、el with varying total population size外文期刊 1999本文读者也读过(10条)1. 李静.俞军 具有强非线性传染率的SEIR模型全局性态会议论文-20052. 戴启学.柳合龙.张萍.DAI Qi-xue.LIU He-long.ZHANG Ping 一类带有生理年龄和传染年龄的传染病模型期刊论文-信阳师范学院学报（自然科学版）2006,19(4)3. 刚毅.王莲花.GANG Yi.WANG lian-hua 具有常数输入的SEIR和SEIS组合传染病模型期刊论文-河南理工大学学报（自然科学版）2009,28(2)4. 胡新利.王凯明.金上海 一类SIR流行
12、病模型的周期解的全局存在性期刊论文-纺织高校基础科学学报2004,17(3)5. 周玲丽.胡新利.孙传姣 具有脉冲接种的传染病模型的渐近分析期刊论文-纺织高校基础科学学报2003,16(2)6. 潘金仁.陈坤 应用时滞SEIR离散模型评价水痘暴发疫情控制效果会议论文-20107. 代丽霞.陈清江 一类年龄结构SEIR流行病模型的阈值分析期刊论文-信阳师范学院学报(自然科学版)2004,17(2)8. 王定江 时变年龄结构的SEIR传染病模型解的存在性期刊论文-数学的实践与认识2003,33(8)9. 李军红.崔亮.俞元洪.张礼刚.LI Jun-hong.CUI Liang.YU Yuan-hong.ZHANG Li-gang 一类总人口变化的传染病模型的极限环及混沌期刊论文-数学的实践与认识2008,38(10)10. 李学志.代丽霞.Li Xuezhi.Dai Lixia 总人口规模变化的年龄结构SEIR流行病模型的稳定性期刊论文-系统科学与数学2006,26(3)本文链接：http:/
