1、 l 2011-01-23Te8, o, =, V 3,C1V Y Z T。doi:10.3969 /j.issn.1673-1409.2011.03.003BF T ZE8 =Sv S, Z ! 830054 Z ! v$, Z ! 830001K1 组合恒等式是组合数学的一个重要部分。用数学归纳法、 组合分析法、 概率分析法、 几何法、 母函数法等方法来证明一个常见的组合恒等式, 并从母函数法得到 Vandermonde恒等式, 同时提出了 WZ方法来证明组合恒等式。1oM 组合恒等式;数学归纳法;组合分析法;概率分析法;几何法;母函数法ms | O157 DS M A cI| 1673-
2、1409 (2011)03-0007-03F ,V UF W1“ TF T。 sW,i O ZE“, 2。yN,F T ZE 5。F l F T KnZE。/ 3) B ,E、FsE、 qsE、+ E、 f EZE BnF T:rk=0nkmr -k =n +mr (n +m r) (1)iV f EVandermonde T, H4 WZZE F T。1 证明方法1.1 FsE/BF :BQ ,n,m,CVr “F,5m +nrE; 6, V Ak(0 k r) “,Vr -k “, rk=0nkmr -kE。 rk=0nkmr -k =n +mr 。FsE1 F M T H T0 BF59
3、 。 8 5 Til1 ABH/BF5 , FE E 6BHs。 + (F )MF T, V/F5 as , + (F )M T,5 as9 , f / P。1.2 qsE/B q : O n ,mD ,V |r, 7 M XV U | ,5:P(X =i)= nk mr -k m +nr (i =0,1,2, ,r)5 qsri =0P(X =i)=1,rk=0nkmr -km +nr=1,5:rk=0nkmr -k =n +mr7v(1 S) 2011 M38 3 JournalofYangtzeUniversity (NatSciEdit) M ar.2011, Vol.8 No.31.
4、3 B ,EnB ,。n =1 H,PH= 10 mr + 11 mr -1 = mr + mr -1 = m +1r =H。L !n =t H, T 。:rk =0tkmr -k =t +mr , Or-1k=0tkmr -k =t +mr -1 。n =t +1 H,5:rk=0t +1kmr -k =t +10mr +t +11mr -1 +t +12mr -2 +t +1rm0= t0 mr + t0 + t1 mr -1 + t1 + t2 mr -2 +tr -1 + tr m0= t0 mr + t1 mr -1 + t2 mr -2 + tr m0+ t0 mr -1 + t1
5、 mr -2 + t2 mr -3 + tr -1 m0= t +mr + t +mr -1 = t +1 +mrn =t +1 H, T 。1.4 + Em1 V(0,0)(n,m) m2 V(0,0)(m+n-r, r) 1 F+ il1,2 。 m1,US“,VXYsYXY2B L, MlZ, 3F US“,/S2US,i?0 +00 =1,5 MF 。,VH(n,m)K |L ( ) n +mn 。BHV(0,0)(n,m)K |L B1 LnM F|L,i O BHL B US(X y )1 -B9FB。m2 V, V(0,0)(m +n -r,r) n +mr ,N T 。yV(0
6、,0)(m +n -r,r)AVLPQ, Vs2:1(0,0)(m -r +l, ,r -l),mr -k;2(m -r +l,r -l)(m +n -r,r),nk。E ,V(0,0)(m +n -r,r) mr -k nk , k VV0 |r , V ?FF , V。1.5 f Ey(1+x)n =k=0nk xk , (1+x)n+m =r=0n +mr xr 。y:8 v(1 S) 2011 M3(1+x)n+m = 1 +x n 1 +x m =k=0nk xk j=0mj xj =r=0 rk=0nkmn -k xr:(1+x)n+m =r =0n +mr xr =r=0 rk=
7、0nkmn -k xr1xr“ :rk=0nkmr -k =n +mr2 Vandermonde恒等式和WZ方法T 7m =r =n,5rk=0nknn -k =n +nn ,nk=0nk2= 2nn ,N Vandermonde T。WZZE WilfZeilberger1990 M7 B + TZE。NZE|B k=0F(n ,k)=a(n)( F(n,k)1n,k (+ ,1a(n)1n+ )+ T (9 ) pB f R(n,k), s R(n ,k),:F(n ,k)=F(n,k)a(n) ( a(n)0)。 7:G(n,k)=R(n ,k)F(n,k) (2)5/ WZZ :F(n
8、 +l,k)BF(n,k)=G(n ,k +1)BG(n,k) (3)L !limkG(n,k)=0,5k=0F(n +1,k)= k=0F(n,k),k=0F(n,k)n1, |n =0,k=0F(0,k)=1, :k=0F(n,k)= nk=0F(n ,k)a(n) =1 k=0F(n ,k)=a(n)。WZZE Vandermonde Tk=0nk2= 2nn H,Maple Vs aR(n ,k)=-12 k2(3n +3 -2k)(n +1-k)2(2n +1),i OBWZ 3 :F(n,k)= nk2 2nn G(n,k)= (2n +3 -2k)k23n3 -7n2 +5n +
9、1-8kn2 -12kn +4k2n -4k +2k2n +1k22n +2n +1-nk22nnOlimk+G(n,k)=0,#k=0F(0,k)=1, VF(n,k)、G(n,k)R(n,k) (1)(2), 5。(9 )s“ f ,i ? 1 T ,N H V I n P ZE 。N?C, WZZE p T H r, Kv E,Maplel2Mathematica6.0M1。 + T H, WZZEA 1 eL。 ID1 , .F T+ E J . , 1989 (1):8-10.2 .F M .: 2 v, 2000.3 (, . 2 F1+ ) TWZZE J . =S, 2009, 31 (1):30-33.I f98 3 8:BF T ZE
